高中数学人教A选修11课件333函数的最大小值与导数

1、3.3.3函数的最大(小)值与导数,1,2,1.函数在闭区间的最值 一般地,如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.,1,2,1,2,做一做1下列说法正确的是() A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 答案D,1,2,2.函数在闭区间a,b上最值的求法 一般地,求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最

2、大值,最小的一个是最小值.,1,2,1,2,做一做2函数y=x3-3x+3在区间-3,3上的最小值为() A.1B.5C.12D.-15 解析y=3x2-3, 令y=0,得3x2-3=0,x=1或x=-1. 当-11或x0, y极小值=1,y极大值=5. 又当x=-3时,y=-15;当x=3时,y=21, ymin=-15. 答案D,1,2,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的曲线,则f(x)在a,b上存在极值和最值. () (2)函数的最值有可能在极值点处取得. () (3)若f(x)在区间(a,b)上的图

3、象是连续不断的曲线,则f(x)在(a,b)上存在最值. () (4)如果函数f(x)在(a,b)上只有一个极值,那么这个极值就是相应的最值. () 答案(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一求函数在闭区间上的最值 【例1】求下列函数在相应区间上的最值: 分析求函数的导数,得到函数的极值点,求出极值,然后结合定义域,将所有极值与区间端点的函数值进行比较求得最值. 解(1)f(x)=3x2-6x=3x(x-2), 令f(x)=0,得x=0(x=2舍去). 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,探究一,探究二,探究三,思想方法,所以当x=-1时,函数取最小值f

4、(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=-10. (2)f(x)=2cos x-1, 根据x1,x2列表,分析f(x)的符号和函数的单调性:,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究二求函数在开区间或无穷区间上的最值 【例2】 求下列函数的最值: (2)f(x)=(x2-3)ex. 分析没有给定相应的闭区间,因此应分析函数在其定义域上的单调性与极值情况,根据单调性与极值画出函数的大致图象,结合图象求出最值.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,(2)函

5、数的定义域是R,且y=2xex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3), 令y0,得x1或x-3; 令y0,得-3x1, 所以函数f(x)在(-,-3)和(1,+)上递增,在(-3,1)上递减, 因此函数f(x)在x=-3处取得极大值,极大值等于f(-3)=6e-3; 在x=1处取得极小值,极小值等于f(1)=-2e.,探究一,探究二,探究三,思想方法,从函数图象可得函数f(x)的最小值就是函数的极小值f(1)=-2e,而函数无最大值.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究三与最值有关的参数问题 【例3】已知函数f(x)=

6、2x3-6x2+a在-2,2上有最小值-37,求a的值,并求f(x)在-2,2上的最大值. 分析先由f(x)=0求出极值点,再求出极值点与区间端点的函数值,通过比较可找出最大值点与最小值点,利用最小值求出a的值后,即可确定最大值.,探究一,探究二,探究三,思想方法,解f(x)=6x2-12x=6x(x-2), 令f(x)=0,得x=0或x=2. 又f(0)=a,f(2)=a-8,f(-2)=a-40. f(0)f(2)f(-2), 所以当x=-2时,f(x)min=a-40=-37,得a=3. 故当x=0时,f(x)max=3.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方

7、法,变式训练3已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,若f(x)在区间-2,2上的最大值为20,则它在该区间上的最小值等于() A.7B.-7C.3D.-3 解析因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以f(2)f(-2). 因为在(-1,3)上f(x)0,所以f(x)在-1,2上单调递增. 又由于f(x)在-2,-1上单调递减,因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上的最大值和最小值. 于是有22+a=20,解得a=-2. 故f(x)=-x3+3x2+9x-2. 因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间-2

8、,2上的最小值为-7. 答案B,探究一,探究二,探究三,思想方法,分类讨论思想在求函数最值中的应用 (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)求函数f(x)在区间a,2a上的最小值. 【审题视角】 对于(1),可利用导数通过解不等式求得单调区间;对于(2),由于函数的最值只能在极值点和端点处取得,因此比较极值点和端点处的函数值的大小即可,最后再将讨论的情况进行合并整理.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练已知函数f(x)=ax-ln x,是否存在实数a,使得函数在(0,e上的最小值等于2?若存在,求出实数a的值;若不存在,说明理由.,探究一,探究二,探究三,思想方法,1,2,3,4,5,1.函数f(x)=x3-3x2+2在区间-1,1上的最大值是 () A.-2B.0C.2D.4 解析对函数求导f(x)=3x2-6x=3x(x-2), 则f(x)在区间-1,0上递增,在0,1上递减,因此最大值是f(0)=2. 答案C,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,4.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值和最小值的和是. 解析f(x)=6x2-6x-12,令f(x