方程组迭代法.ppt

1、数值分析 主讲教师 谭高山,1,2.0 引言,数值分析 主讲教师 谭高山,2,2.1 求实根的二分法,数值分析 主讲教师 谭高山,3,数值分析 主讲教师 谭高山,4,局限性：只能求一个实根，不能辨识重根或求复根，收敛速度对任何函数均一样且慢，对多元方程的情形须做修改。,数值分析 主讲教师 谭高山,5,数值分析 主讲教师 谭高山,6,INPUT a,b;TOL; maximum number of iteration N.OUTPUT approximation solution p or message of failure.Step 1 Set i=1;FA=f(a),give N Step

2、 2 while i0 then set a=p ;FA=FP else set b=pStep 7 OUTPUT(method failed after N iteration,N=,N)STOP,Describe the Algorithm of Bisection,数值分析 主讲教师 谭高山,7,2.2 迭代法及收敛性,迭代法 求非线性方程f(x)=0的根的迭代解法是指从给定的 一个或者几个初始值出发，按某种方法产生一个解的序列， 该序列称为迭代序列，使得此序列收敛于非线性方程f(x)=0的 一个根。 迭代法可分为两类： （1）从任何初始值出发都收敛（全局收敛）； （2）只有初始值充分接

3、近于所求根时才收敛（局部收敛）。,数值分析 主讲教师 谭高山,8,方程f(x)=0改为等价形式x=g(x)，若x1满足x1=g(x1) 则称x1为g(x)的一个不动点， x1也是f(x)=0的一个根。 构造不动点迭代法： ，g(x)成为迭代函数， 若,固定点迭代：,数值分析 主讲教师 谭高山,9,迭代法的几何意义,通常将方程 f(x)=0 化为与它同解的方程 的方法不止一种,有的收敛,有的不收敛,这取决于 的性态。,(a),(b),数值分析 主讲教师 谭高山,10,2.2 迭代法及收敛性,数值分析 主讲教师 谭高山,11,2.2 迭代法及收敛性,数值分析 主讲教师 谭高山,12,2.2 迭代法

4、及收敛性,上式的最后两项分别用于事后估计和事先估计。,数值分析 主讲教师 谭高山,13,局部收敛性,定义：,定理：,（例题中迭代公式的选取）,数值分析 主讲教师 谭高山,14,局部收敛性,证明：,数值分析 主讲教师 谭高山,15,局部收敛性,数值分析 主讲教师 谭高山,16,局部收敛性,例：试用不同迭代法,数值分析 主讲教师 谭高山,17,收敛阶,收敛阶（刻画收敛速度的标准之一）：,数值分析 主讲教师 谭高山,18,收敛阶,定理：,数值分析 主讲教师 谭高山,19,收敛阶,证明：,数值分析 主讲教师 谭高山,20,2.3 Newton迭代法,数值分析 主讲教师 谭高山,21,几何意义（切线法）

5、,数值分析 主讲教师 谭高山,22,Newton迭代法几何解释,几何意义,数值分析 主讲教师 谭高山,23,数值分析 主讲教师 谭高山,24,Newton法局部收敛定理,证明:注意到,数值分析 主讲教师 谭高山,25,Newton下山法,从Newton迭代法的收敛性可见，他仅是局部收敛的，为扩大收敛范围，可改进迭代公式为：,数值分析 主讲教师 谭高山,26,数值分析 主讲教师 谭高山,27,弦截法Secant Method,Newton迭代法有一个较强的要求是 且存在。因此，用弦的斜率 近似的替代 。,数值分析 主讲教师 谭高山,28,几何意义,数值分析 主讲教师 谭高山,29,弦截法的几何解

6、释,数值分析 主讲教师 谭高山,30,数值分析 主讲教师 谭高山,31,例题,例 用快速弦截法求方程 在区间（1，2）内的实根。 解：取x0=1,x1=2,代入公式2.4.2计算结果,如表2.4.1所示。,数值分析 主讲教师 谭高山,32,数值分析 主讲教师 谭高山,33,2.5* 解非线性方程组的Newton迭代法,数值分析 主讲教师 谭高山,34,数值分析 主讲教师 谭高山,35,据此抽出不动点形式，进而构造Newton迭代公式：,数值分析 主讲教师 谭高山,36,2.6 最速下降迭代法（规划法）解非线性方程组,数值分析 主讲教师 谭高山,37,数值分析 主讲教师 谭高山,38,数值分析 主讲教师 谭高山,39,数值分析 主讲教师 谭高山,40,数值分析 主讲教师 谭高山,41,习题,1.误差传播（例1） 2.二分法（例2） p53 3(a) 3.迭代法（例3、4、5、6） p63 3(b) 12(b) 4.牛顿迭代法 （例7） p74 1 2,数值分析 主讲教师 谭高山,42,例 3 试用迭代法求方程 在区间(1，2)内的实根。 解：由 建立迭代关系 k=10,1,2,3. 计算结果如下:,数值分析 主讲教师 谭高山,43,精确到小数点后五位,数值分析 主讲教师