微分方程习题课.ppt

1、微分方程 习题课,内容小结 典型例题 习题选讲,1、基本概念,微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶,微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解,内容小结,通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解,特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解,初始条件用来确定任意常数的条件.,初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题,说明: 通解不一定是方程的全部解 .,有解,后者是通解 , 但不包含前一个解 .,例

2、如, 方程,y = x 及 y = C,(1) 可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,2、一阶微分方程的解法,则有,(2) 一阶线性微分方程,上方程称为齐次的,上方程称为非齐次的.,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,解法,非齐次微分方程的通解为,（常数变易法）,3、二阶常系数齐次线性方程解法,n阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,解法,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,特征方程为,4.二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比

3、较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法待定系数法.,例1,解法 1 分离变量,即,( C 0 ),解法 2,故有,积分,( C 为任意常数 ),所求通解:,典型例题,例2. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,例3. 求下述微分方程的通解:,解: 令,则,故有,即,解得,( C 为任意常数 ),所求通解:,解,例4,例5 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,

4、所求曲线为,例6,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解 .,解:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,故,再积分得通解,复习: 一阶线性微分方程通解公式,提示：调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解.,化为,例7. 求下列方程的通解,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例8,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例9,例10.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例11. 求解初值问题,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,例12.,的一个特解.,解: 本题,而特征方程为,不是特

5、征方程的根 .,设所求特解为,代入方程 :,比较系数, 得,于是所求特解为,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例13,例14. 求微分方程,的通解 (其中,为实数 ) .,解: 特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,例15.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为,解：特征根为,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,原方程通解为,例16.求下列微分方程的通解,例17

6、. 已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解: 将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,例18 求以,为通解的微分方程 .,解: 由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,例19.,且满足方程,解:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,例20：求方程,的通解 .,解:,通解为,通解为,通解为,例21. 已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 .,提示: 设曲线上的动点为 M (x,y),令 X = 0, 得截距,由题意知微分方程为,即,定解条件为,此点处切线方程为,它的切线在纵,例1.

7、 求方程,的通解 .,解: 注意 x, y 同号,由一阶线性方程通解公式 , 得,故方程可,变形为,所求通解为,习题选讲,解：,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,例2:写出微分方程,的待定特解的形式.,例3.,设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+),内满足以下条件:,(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;,(2) 求出F(x) 的表达式 .,解: (1),所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:,(2) 由一阶线性微分方程解的公式得,于是,的解.,例4.,设函数,内具有连续二阶导,(1) 试将 xx( y) 所满足的微分

8、方程,变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;,(2) 求变换后的微分方程满足初始条件,数, 且,解:,上式两端对 x 求导, 得:,(1) 由反函数的导数公式知,(03考研),代入原微分方程得,(2) 方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得 A0,从而得的通解:,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,P366题4. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8m ,另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦,力, 求链条滑下来所需的时间 .,解: 建立坐标系如图.,设在时刻 t , 链条较长一段,下垂 x m ,又设链条线密度为常数,此时链条受力,由牛顿第二定律, 得,课后习题,由初始条件得,故定解问题的解为,解得,当 x = 20 m 时,(s),微分方程通解:,思考: 若摩擦力为链条 1 m 长的重量 , 定解问题的,数学模型是什么 ?,摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为,不考虑摩擦力时的数学模型为,此时链条滑下来 所需时间为,P367 题6. 已知某车间的容积为,的新鲜空气,问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空,的含量不超过 0.06 % ?,解: 设