导数压轴题之导函数证明题

1、导函数证明复习题(汇编)1. （2014福建20）已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.（I）求的值及函数的极值；（II）证明：当时，；（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.本小题主要考查导数的运算及导数的应用、全称量词等基础知识的考查运用，考查抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想等。 满分14分。解法一：（I）由，得.又,得.所以.令,得.当时, 单调递减;当时, 单调递增.所以当时, 取得极小值,且极小值为无极大值.（II）令,则.由（I）得,故在R上单调递增,又,因此,当

2、时, ,即.（III）若,则.又由（II）知，当时, .所以当时, .取,当时，恒有.若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,只要成立.令,则.所以当时, 在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时，恒有.综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.解法二：（I）同解法一（II）同解法一（III）对任意给定的正数c，取由（II）知，当x0时，所以当时， 因此，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.2.（2014湖北22）为圆周率，e=2.71828，为自然对数的底(1) 求f(x)=的单调区间;(2) 求e3、3e、3、3、e、e这六个数中的最大值与最小

3、值；(1) e3、3e、3、3、e、e这六个数从小到大的顺序排列,并证明你的结论.解：（I）函数的定义域为，因为，所以，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；故函数的单调增区间为，单调减区间为.（II）因为，所以，即，于是根据函数、在定义域上单调递增，所以，故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中，由及（I）的结论得，即，由得，所以，由得，所以，综上，6个数中的最大数为，最小数为.（III）由（II）知，又由（II）知，故只需比较与和与的大小，由（I）知，当时，即，在上式中，令，又，则，即得由得，即，亦即，所以，又由得，即，所以，综上所述，即6个数从小到大的顺序为，.3.（2014

4、陕西21）设函数，其中是的导函数.（1） ，求的表达式；（2） 若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，比较与的大小，并加以证明.解：，（1），即，当且仅当时取等号。当时，当时，即数列是以为首项，以1为公差的等差数列，当时，（2）在范围内恒成立，等价于成立令，即恒成立，令，即，得当即时，在上单调递增所以当时，在上恒成立；当即时，在上单调递增，在上单调递减，所以设因为，所以，即，所以函数在上单调递减所以，即所以不恒成立综上所述，实数的取值范围为（3）由题设知：，比较结果为：证明如下：上述不等式等价于在（2）中取，可得令，则，即故有上述各式相加可得：结论得证.4（2013湖北）设是正整数,为正有理数

5、.(I)求函数的最小值;(II)证明:;(III)设,记为不小于的最小整数,例如,.令,求的值.(参考数据:,)【答案】证明:(I) 在上单减,在上单增. (II)由(I)知:当时,(就是伯努利不等式了) 所证不等式即为: 若,则 , ,故式成立. 若,显然成立. , ,故式成立. 综上可得原不等式成立. (III)由(II)可知:当时, 5（2013年大纲）已知函数(I)若时,求的最小值;(II)设数列6. (2012年湖北22) （I）已知函数f（x）=rx-xr+（1-r）（x0），其中r为有理数，且0r1.求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a10，a20，b1

6、，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2a1b1+a2b2；7.(2012天津20)已知函数的最小值为，其中.（）求的值；（）若对任意的,有成立，求实数的最小值；（）证明：.21世纪教育网8 .（2011大纲全国22）（）设函数，证明：当时，；（）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：【思路点拨】本题第（I）问是利用导数研究单调性最值的常规题，不难证明。第(II)问证明如何利用第（I）问结论是解决这个问题的关键也是解题能力高低的体现。【精讲精析】(I)所以在上单增。当时，。（II）由(I)，

7、当x0时，,即有故于是,即.利用推广的均值不等式：另解：，所以是上凸函数，于是因此，故综上：9.（2011湖北21）（）已知函数求函数的最大值；（）设均为正数，证明：（1）若，则（2）若，则。解：（）的定义域为，令，解得当时，在上是增函数；当时，在上是减函数；故函数在x=1处取得最大值（）（1）由（）知，当，有，即，从而有，得。求和得：，即 （2）先证：。令，则，于是由（1）得，即，。再证记,于是由（1）得，即，综合，（2）得证。10 （2010湖北21） 已知函数的图像在点（1，f（1）处的切线方程为yx1（1）用a表示出b，c；（2）若在1，上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：解：（）f

8、（x）=a，则有，解得（）由（）知，f（x）=ax+12a。令g（x）= f（x）-x= ax+12a-x，x1，+，则g（1）=0，g（x）= a=1）当0a时，1。若1x，则g（x）0，g（x）是减函数，所以g（x）0,g(x)是增函数，所以g(x)g(1)=0,即f(x)lnx.故当x故当x1时，f(x)lnx.综上所述，所求a的取值范围是+）。3.当a时，有f(x)lnx(x)，令a=,有f(x)= (x-)lnx,令x=，有ln即ln(k+1)-lnk注：函数导数的联合考查，第一问两个方程联立即可得出结果，第二问需要求导转化函数方程，考查一元二次方程的相关知识，容易得到范围，第三问需

9、要把对数函数进行变形，把一个对数函数转化成n个对数函数的相加减，然后裂开进行求和即可得到结果。11（2015武昌元调22）已知函数(a为常数)，曲线yf(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为1.()求a的值及函数f(x)的单调区间；()证明：当时，；()证明：当时，.解：（）由，得.又，所以.所以，.由，得.所以函数在区间上单调递减，在上单调递增.（4分） ()证明：由（）知.所以，即，.令，则.所以在上单调递增，所以，即.（8分） ()首先证明：当时，恒有.证明如下：令，则.由()知，当时，所以，所以在上单调递增，所以，所以.所以，即.依次取，代入上式，则，.以上各式相加，有所以，所以，即.（

10、14分）12（2015黄冈元调21）已知函数，其中（）若函数有极值1，求实数a的值；（）若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围；（）证明：解：（）当时，递减，无极值；当时，令，得，递增，4分（）上是增函数，恒成立，时，恒成立，当时，等价于，设递增，故的取值范围是9分（）由（）知，当时，上是增函数，令，则，故14分13（2015湖北部分重点高中第二次联考21）已知函数()若，讨论的单调性；()当时，若恒成立，求满足条件的正整数的值；()求证：解析：() ，时为常函数，不具有单调性。时，在上单调递增；()时， ，设，则。因为此时在上单调递增可知当时，；当时，当时，；当时，当时，即，所以，故正整

11、数的值为1、2或3。 ()由()知，当时，恒成立，即，令，得则（暂时不放缩），.以上个式子相加得：所以，即。14.(2015湖北省六校元调22)已知函数f(x)=ax+(1-2a)(a0)（1）若f(x)x在1，)上恒成立，求a的取值范围；（2）证明：1+（n+1）+（n1）；（3）已知S=，求S的整数部分.（，）解: ()令则（i）当若是减函数，所以即上不恒成立.（ii）当若是增函数，所以即时，综上所述，所求a的取值范围为 （4分）（II）由（I）可知：当时，有令有且当令，即将上述n个不等式依次相加得整理得（9分） ()由重要不等式,令，得，通过累加可得1+， 所以1+(n+1)+ 令n=2

12、014,得8.6079ln2014+1Sln2015+8.1所以S的整数部分为8 （14分）15（2015武汉九调21）已知函数f(x)axxlnx的图象在点xe（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3（）求实数a的值；（）若f(x)kx2对任意x0成立，求实数k的取值范围；（）当nm1（m，nN*）时，证明：解：（）求导数，得f (x)alnx1 1分由已知，得f (e)3，即alne13a12分（）由（），知f(x)xxlnx，f(x)kx2对任意x0成立k对任意x0成立，4分令g(x)，则问题转化为求g(x)的最大值求导数，得g(x)，令g(x)0，解得x15分当0x1时，g(x)0，g

13、(x)在(0，1)上是增函数；当x1时，g(x)0，g(x)在(1，)上是减函数6分故g(x)在x1处取得最大值g(1)1k1即为所求8分（）令h(x)，则h(x)9分由（），知x1lnx（x0），h(x)0，10分h(x)是(1，)上的增函数nm1，h(n)h(m)，即，11分mnlnnnlnnmnlnmmlnm，12分即mnlnnmlnmmnlnmnlnn，即lnnmnlnmmlnmmnlnnn，即ln(mnn)mln(nmm)n， 13分(mnn)m(nmm)n，14分16. （2014五调22）已知函数（）求函数的单调区间；（）当时，函数恒成立，求实数k的取值范围;（）设正实数满足，求

14、证：17.（2014武汉四调22） 已知函数. （I）求的最大值； （II）设，是曲线的一条切线,证明：曲线 上的任意一点都不可能在直线的上方； （III）求证：（其中为自然 对数的底数，）.18（2014武汉二调22）（）已知函数f(x)ex1tx，x0R，使f(x0)0，求实数t的取值范围；（）证明：ln，其中0ab；（）设x表示不超过x的最大整数，证明：ln(1n)11lnn（nN*）解：（）若t0，令x，则f()e110；若t0，f (x)ex10，不合题意；若t0，只需f(x)min0求导数，得f (x)ex1t令f (x)0，解得xlnt1当xlnt1时，f (x)0，f(x)在(

15、，lnt1)上是减函数；当xlnt1时，f (x)0，f(x)在(lnt1，)上是增函数故f(x)在xlnt1处取得最小值f(lnt1)tt(lnt1)tlnttlnt0，由t0，得lnt0，t1综上可知，实数t的取值范围为(，0)1，+)4分（）由（），知f(x)f(lnt1)，即ex1txtlnt取t1，ex1x0，即xex1当x0时，lnxx1，当且仅当x1时，等号成立，故当x0且x1时，有lnxx1令x，得ln1（0ab），即ln令x，得ln1（0ab），即ln，亦即ln综上，得ln9分（）由（），得ln令ak，bk1（kN*），得ln对于ln，分别取k1，2，n，将上述n个不等式依次

16、相加，得lnlnln1，ln(1n)1 对于ln，分别取k1，2，n1，将上述n1个不等式依次相加，得lnlnln，即lnn（n2），11lnn（nN*） 综合，得ln(1n)11lnn易知，当pq时，pq，ln(1n)11lnn（nN*）又1lnn1lnn，ln(1n)11lnn（nN*）14分19（2014湖北八校第二次联考22）已知函数 （）当时，求曲线在点处的切线方程； （）求的单调减区间； （）当时，设在区间上的最小值为，令， 求证：1)当时， 2分 曲线在点处的切线方程为： 即 3分20（2014武汉十一调21）已知函数f(x)的导函数为f (x)，且对任意x0，都有f (x)（）

17、判断函数F(x)在(0，)上的单调性；（）设x1，x2(0，)，证明：f(x1)f(x2)f(x1x2)；（）请将（）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论解：（）对F(x)求导数，得F(x)f (x)，x0，xf (x)f(x)，即xf (x)f(x)0，F(x)0故F(x)在(0，)上是增函数4分（）x10，x20，0x1x1x2由（），知F(x)在(0，)上是增函数，F(x1)F(x1x2)，即x10，f(x1)f(x1x2)同理可得f(x2)f(x1x2)以上两式相加，得f(x1)f(x2)f(x1x2)8分（）（）中结论的推广形式为：设x1，x2，xn(0，)，其中n2，则f(

18、x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn)x10，x20，xn0，0x1x1x2xn由（），知F(x)在(0，)上是增函数，F(x1)F(x1x2xn)，即x10，f(x1)f(x1x2xn)同理可得f(x2)f(x1x2xn)，f(x3)f(x1x2xn)，f(xn)f(x1x2xn)以上n个不等式相加，得f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn)14分21（2014武汉九调21）已知函数f(x)aln(x1)（aR）（）若f(x)在2，)上是增函数，求实数a的取值范围；（）当a2时，求证：12ln(x1)2x4（x2）；（）求证：lnn1（nN*，且n2）解：（）由已知，得f(x)1aln(x1)，求导数，得f (x)f(x)在2，)上是增函数，f (x)0在2，)上恒成立，即a在2，)上恒成立，a()maxx2，01，a1故实数a的取值范围为1，)4分（）当a2时，由（）知，f(x)在2，)上是增函数，当x2时，f(x)f(2)，即12ln(x1)0，2ln(x1)1令g(x)2