医用高等数学课件：函数的连续性

1、医用高等数学,一、函数连续的概念,第三节 函数的连续性,二、初等函数的连续性法,三、闭区间上连续函数的性质,一、函数连续的概念,如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的函数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映,连续变化的变量反映在图像上为连续曲线，连续曲线对应的函数为连续函数,1函数的增量,把函数,在点,附近的点,记为,，这,时,称为自变量由,变到,的增量（或称,自变量的改变量）,当自变量,由,变到,时，函数值由,变到,则我们称,为函数,在点,处的增量（或称函数的改变量），记为,2函数连续性的定义,定义19设函数,在点,及其附近有定义，,

2、当自变量,在,的增量,时，有,则称函数,在点,处连续，,称为,的连续点,函数,在点,处连续可以等价定义为：,因此，函数,在,处连续的必要充分条件是：,在,处有定义；,存在；,单侧连续,显然,即：,解：,连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例1-26,证明,3函数的间断点,函数的不连续点称为函数的间断点,即满足下列三个条件之一的点 为函数 的间断点.,函数的间断点通常分为两类,左、右极限都存在的则,称为第一类间断点,第一类间断点以外的其他间断点统称,为第二类间断点,例1-27函数,在点,处

3、无定义，所以函,数在点,处是间断点，由,可知属于第一类间断点如果定义,则函数,在点,处连续这种情况的第一类间断点,称为可去间断点,例1-28,在 的连续性。,解:,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,解:,例1-29,讨论函数,，在,处的连续性。,例1-30,讨论函数,在,处的连续性。,解：因为,所以,为函数,的第二类间断点，,这种间断点称为,无穷间断点。,例1-31,讨论函数,在,处的连续性。,解：因为函数在,处没有意义，且极限不存在，,所以,为函数,的第二,类间断点，,这种间断点称为,振荡间断点。,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间

4、断点,二、初等函数的连续性,（1）一切基本初等函数在其有定义的点都是连续的,（2）若函数,与,在,处连续，则函数,及,在,点连续,（3）若函数,在点,处连续，设,而函数,在点,处连续，则复合函数,在点,处连续,由以上结论可知，初等函数在其定义区间内都是连续的,由于函数在其连续点,满足,所以初等函数在其有定义的点处求极限的问题就转化为求这一点的函数值,例1-32 求,解：,例1-33 求,解：虽然当,时函数没有定义，但是因为,所以,例1-34 求,解：,三、闭区间上连续函数的性质,定理1-3（最值定理） 设函数,在闭区间,上连,续，则,在该区间必有最大值和最小值。,a,b,推论（有界性定理） 若函数 闭区间 上连续，则 在闭区间 上必有界。,定理1-4（介值定理）设函数,在闭区间,上连,续，则对介于,和,之间的任何值,，在开区间,内至少存在一点,，使,此定理的几何意义是：连续曲线,与水平直线,至少相交于一点，如图所示。,特别地，若,与,异号（即,），则,连续曲线,与,轴至少有一个交点，亦即方程,在区间,内至少有一个实根。,注意：根不一定唯一。,而,由根的存在定理知，存在 (0