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1、质点运动学的练习题类型,1、质点运动学关于速度、加速度基本概念,2、质点运动学两类问题,3、速度、加速度的自然坐标系,4、角量和线量的关系,注意,在直角坐标系中,路程：质点在轨道上所经过的曲线长度s,位移矢量反映 t内质点位置的移动(大小、方位),矢量的“差之模”和“模之差 ”一般是不相等的,一运动质点在某瞬时位于位矢 的端点处，其速度大小为,（A）,（B）,（C）,（D）,讨论,注意, B , D ,例：对于沿仰角以初速度 v0 斜向上抛出的物体，以下说法中正确的是： （A）物体从抛出至到达地面的过程，其切向加速度保持不变 （B）物体从抛出至到达地面的过程，其法向加速度保持不变 （C）物体从

2、抛出至到达最高点之前，其切向加速度越来越小 （D）物体通过最高点之后，其切向加速度越来越小,分析：加速度 g 沿切向与法向的分量随速度的方向变化而变化. 斜抛物体在最高点时，切向加速度最小., C ,例 对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的： （A）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）； （C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零； （D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零； （E）若物体的加速度 为恒矢量，它一定作匀变速率运动 .,解:,位移,例 一物体作直线运动，其运动方程为 ，求 0 5 秒内物体走过的路程、位移和在第5秒的速

3、度,t = 5 时, v = 6 ms-1,t = 2s 时, v = 0，x = - 2m ; t 2s 时, v 0 .,路程 s =(4+9)m = 13 m,（1）求 时的速度 （2）作出质点的运动轨迹图,例1 设质点的运动方程为,其中,式中x，y的单位为m(米)，,t 的单位为s(秒)，,速度 的值 ，它与 轴之间的夹角,解 (1) 由题意可得,时速度为,已知：,（2）运动方程,消去参数 可得轨迹方程为,解,两边求导得,因,选如图的坐标轴,即,例 一快艇正以速度 v0 行驶，发动机关闭后得到与速度方向相反大小与速率平方成正比的加速度. 试求汽车在关闭发动机后又行驶 x 距离时的速度.

4、,解：,求 的关系，可作如下变换,例 求加速度为恒矢量时质点的运动方程.,已知一质点作平面运动, 其加速度 为恒矢量, 有,积分可得,写成分量式,积分可得,例3有一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度 ，它在液体中的加速度为 ，问：(1)经过多少时间后可以认为小球已停止运动； (2)此球体在停止运动前经历的路程有多长？,解,解得：,解得：,例4：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边, 如图。如果绞车以恒定的速率u拉动纤绳, 绞车定滑轮离水面的高度为h, 求小船向岸边移动的速度和加速度。,解：以绞车定滑轮处为坐标原点, x 轴水平向右, y 轴竖直向下, 如图所示。,设小船到坐标原点的距离为l, 任意时

5、刻小船到岸边的距离x总满足 x 2 = l 2 h 2,两边对时间t 求导数, 得,绞车拉动纤绳的速率, 纤绳随时间在缩短, 故 ; 是小船向岸边移动的速率。,负号表示小船速度沿x 轴反方向。,小船向岸边移动的加速度为,例题6 有一学生在体育馆阳台上以投射角=30和速率v0=20m/s向台前操场出一垒球。球离开手时距离操场水平面的高度h=10m。试问球投出后何时着地？在何处着地？着地时速度的大小和方向各如何？,解：以投出点为原点，建立x，y坐标轴如图所示。,运动方程的分量式,把已知条件y=-h=-10m, =30, v0=20m/s代入方程得,着地时速度大小,此速度和水平面的夹角,解：,例 物

6、体作斜抛运动如图，在轨道A点处速度的大小为v，其方向与水平方向夹角成 30. 求（1）物体在A点的切向加速度 at ；（2）轨道的曲率半径 .,思考 轨道最高点处的曲率半径？,例 一质点沿x 轴运动，其加速度为 a = 4t (SI制),当 t = 0 时， 物体静止于 x = 10m 处. 试求质点的速度，位置与时间的关系式.,解：,例 有一质点沿 x 轴作直线运动， t 时刻的坐标为 x = 5t2 - 3t3 (SI). 试求（1）在第2秒内的平均速度；（2）第2秒末的瞬时速度；（3）第2秒末的加速度.,解：,例 质点沿 x 轴运动，其加速度 a 与位置坐标的关系为 a = 3 + 6x

7、2 (SI)，如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。,解： 设质点在 x 处的速度为v,已知:,解：取坐标如图,例：一人在灯下以 匀速度行走，已知条件如图所示，求头顶影子 M 点的移动速度。,解题思路,解法一,问：雪撬做什么运动 ？,雪撬速度,补例1 已知质点的运动方程为,求：（1）轨道方程；（2）t =2s 时质点的位置、速度 以及加速度； （3）什么时候位矢恰好与速度垂直？,解：,(1),消去时间参数,（2）,方向沿 y 轴的负方向,（3）,（4）,两矢量垂直,例7 子弹(质点)射入固定在地面上的砂箱内， 假设射入时刻定为 t =0 ，子弹速率为v0 。,加速度与速率成正比

8、，比例系数为k，即,求：1) 2),解：1)建坐标系如图,由,有式,分离变量：,两边分别积分：,得结果:,2) 由式,有,即,两边分别积分,得结果：,例8 求如图所示的抛体轨道顶点处的曲率半径,解：在轨道顶点,由,得,例9: 半径为r = 0.2 m的飞轮，可绕 O 轴转动。已知轮缘上一点M的运动方程为 = -t2+4t ，求在1秒时刻M点的速度和加速度。,解：,解：由题意，可得该点的速率为：,*例题10 . 一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的 关系为 ，v0、b都是正的常量。 （1）求该点在时刻 t 的加速度；（2）t 为何值时，该点的切向加速度与法向加速度的大小相等？已知 飞轮的半径为R

9、。,上式表明，速率随时间t而变化，该点做匀变速圆周运动。,（1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:,加速度方向由它和速度的夹角确定为,（2）令at= an，即,得,例11:汽车在半径为,的圆弧形公路上刹车,运动学方程,（单位：秒，米）。求:,时的加速度。,解：,例12一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过秒增加a0，求经过t秒后质点的速度和运动的距离。,解：,解：质点的切向加速度和法向加速度分别为：,这就是所要求的速率与时间的关系。,例13: 质点以初速 沿半径为R 的圆周运动, 其加速度方向与速度方向夹角为恒量, 求质点速率与时间的关系。,分离变量,得,积分,解：,例：如图质点在半径 的圆周运动，其角位置为 ，求 时的,O,解：,2）在上述时间内，质点所经