专题5导数的应用-含参函数的单调性讨论(答案)

1、最新 料推荐专题 5导数的应用含参函数的单调性讨论“含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视一、思想方法：f ( x)0xAf ( x)0xCxD时f ( x)0x D时f ( x) 0x D时f ( x) 0B .f ( x)增区间为和A, B .D .f (x)增区间为 C, D和.f (x)在区间 D上为增函数f ( x)在区间 D上为减函数f (x)在区间 D上为常函数讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等

2、式问题的讨论二、典例讲解a典例 1讨论 f ( x)x的单调性，求其单调区间x解： f ( x)xa(,0)(0,)的定义域为xf ( x) 1ax 2ax2a 同号 )x 2x 2(x 0) (它与 g( x)I）当 a0时， f (x)0( x0) 恒成立，此时f ( x) 在 (,0) 和 (0,) 都是单调增函数，即 f( x) 的增区间是 (,0) 和 (0,) ;II) 当 a0 时f (x)0( x0)xa或 xaf ( x) 0(x 0)ax 0或 0 xa此时 f ( x) 在 ( ,a ) 和 (a,) 都是单调增函数，f ( x) 在 ( a,0)和 ( 0,a) 都是单

3、调减函数，即 f (x) 的增区间为 (,a ) 和 (a , ) ;f (x) 的减区间为 (a,0) 和 ( 0,a ) .步骤小结： 1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并变式练习1讨论 f ( x)xa ln x的单调性，求其单调区间1最新 料推荐解： f (x)f (x)1I）当 a0 时，此时 f ( x)x a ln x 的定义域为 ( 0, )ax a (x 0) (它与 g( x)x a 同号

4、 )xxf (x) 0( x 0) 恒成立，在 (0,) 为单调增函数，即 f ( x)的增区间为(0,) ，不存在减区间 ;II) 当 a 0时f (x)0( x0)xa ;f ( x) 0(x0)0 xa此时 f ( x) 在 (a,) 为单调增函数，f ( x) 在 (0, a) 是单调减函数，即 f (x) 的增区间为 (a,) ; f ( x) 的减区间为 (0,a) 典例 2讨论 f ( x) axln x 的单调性解： f ( x)ax ln x 的定义域为 (0,)1ax1(它与 g ( x)ax 1同号 )f (x) a( x 0)xxI）当 a0 时， f ( x)0(x0

5、)恒成立（此时 f ( x)0x1没有意a义）此时 f (x) 在 (0,) 为单调增函数，即f (x) 的增区间为 (0,)II ）当 a0 时， f ( x)0( x0) 恒成立，（此时 f ( x)0x1不在定义域内，没有意义）a此时 f ( x) 在 ( 0,) 为单调增函数，即f ( x) 的增区间为 (0,)III)当 a0 时 , 令 f ( x)0x1a于是，当 x 变化时， f (x),f (x) 的变化情况如下表： (结合 g(x) 图象定号 )x(0, 1 )1( 1 ,)aaaf ( x)0f ( x)增减所以，此时 f ( x) 在 (0,1 ) 为单调增函数，f (

6、 x) 在 ( 1 ,) 是单调减函数，aa2最新 料推荐即 f ( x) 的增区间为 (0,1 ) ; f ( x) 的减区间为(1,) aa小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性即先求出f (x) 的零点，再其分区间然后定f ( x) 在相应区间内的符号一般先讨论f ( x)0 无解情况，再讨论解 f ( x) 0 过程产生增根的情况 （即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据 f (x) 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应

7、单调性变式练习 2讨论 f ( x)1 ax 2ln x 的单调性2解： f ( x)1 ax2ln x 的定义域为 (0, )2f (x)ax1ax 21 (x 0), 它与 g ( x)ax21同号 .xx令 f (x)0ax 210( x 0) ，当 a0 时，无解；当 a1a0时 , xa(另一根不在定义域内a舍去 )i) 当 a0 时， f ( x)0(x0) 恒成立（此时 f (x) 0x 21没有意义）a此时 f (x) 在 (0,) 为单调增函数，即f (x) 的增区间为 (0,)ii) 当 a0 时， f ( x)0(x0) 恒成立，(此时 方程 ax 210 判别式0 ,方

8、程无解 )此时 f ( x) 在 ( 0,) 为单调增函数，即f ( x) 的增区间为 (0,)iii) 当 a 0 时 ,当 x 变化时，f (x), f ( x) 的变化情况如下表：(结合 g(x) 图象定号 )x(0,1 )1(1 ,)aaaf ( x)0f ( x)增减所以，此时 f ( x) 在 (0,1 ) 为单调增函数，f ( x) 在 (1, ) 是单调减函数，aa即 f (x) 的增区间为 (0,1 ) ; f ( x) 的减区间为 (1 ,) aa3最新 料推荐小结： 一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果对于二次型函数（如 g ( x) ax

9、21）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论典例 3求 f ( x)a 2 x3ax 2x 1 的单调区间解： f ( x)a 2 x3ax 2x1 的定义域为 R，f ( x) 3a 2 x22ax1(3ax1)(ax 1)I)当 a0 时， f ( x)10f (x) 在 R 上单调递减， f (x) 减区间为 R，无增区间II)当 a0 时 3a 20 ， f ( x) 是开口向上的二次函数，令 f ( x)0得x11 , x21 ( a 0) ,因此可知（结合f ( x) 的图象）3aai)当 a0 时， x1x2f (x)0x1 或x1 ; f ( x)01x1a3aa3a所以此

10、时， f ( x) 的增区间为 (, 1 )和 (1 ,) ； f ( x) 的减区间为 (1 ,1 )a3aa3aii)当 a0 时， x1x2f (x)0x1 或 x1 ;3aaf (x)011x3aa所以此时， f ( x) 的增区间为 (, 1 )和(1 ,) ；f (x) 的减区间为 ( 1,1 ) 3aa3aa小结： 求函数单调区间可化为导函数的正负讨论（即分讨论其相应不等式的解区间），常见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时，一般要注意讨论两根大小（分大、小、等三种情况） 。含参二次不等式解时要先看能否因式分解，若能则是计算简单的问题，需看开口及两根大小，注意结合

11、图象确定相应区间正负变式练习3 求 f ( x)1 x 31 ax 2x1 的单调区间32解： f ( x) 的定义域为 R， f ( x)x2ax1f ( x) 是开口向上的二次函数，a 24I)当02a2 时， f (x)0 恒成立所以此时f (x) 在 R 上单调递增，f ( x) 增区间为 R，无减区间II)当0a2或a2 时令 f ( x)0得 x1aa24 , x2aa 24 , x1 x2224x1 , x2 代最新 料推荐因此可知（结合f ( x) 的图象）f (x) 与 f ( x) 随 x 变化情况如下表x( , x1 )x1( x1 , x2 )x2( x2 , )f(

12、x)00f ( x)增减增所以此时，f (x) 的增区间为 (,aa24 )和(aa 24 ,) ；22f (x) 的减区间为 (aa 24 ,aa 24 )22小结： 三次函数的导函数是常见二次函数，当二次函数开口定时对其正负进行讨论的，要根据判别式讨论：无根的或两根相等的导函数只有一种符号，相应原函数是单调的较简单应先讨论； 然后再讨论有两不等根的， 结合导函数图象列变化表， 注意用根的符号替复杂的式，最后结论才写回个别点处导数为0 不影响单调性只有在某区间内导数恒为 0 时，相应区间内原函数为常数，一般中学所见函数除分段函数和常函数外不会出现此种情况总结 ：求单调区间要确定定义域 ，确定

13、导函数符号的关键是看分子相应函数，因此讨论点有：第一是类型（一次与二次的根个数显然不同)；第二 有没有 根（二次的看判别式） ，第三是有根是否为增根（在不在 定义根内；第四有根的确定谁大 ；第五看区间内导函数的正负号 （二次函数要看开口） 确记 要数形结合 ，多数考题不会全部讨论点都要讨论的，题中往往有 特别条件 ，不少讨论点会同时确定（即知一个就同时确定另一个） 判别式与开口的讨论点先谁都可以，但从简单优先原则下可先根据判别式讨论，因为当导函数无根时它只有一种符号，相应原函数在定义域内（每个连续的区间）为单调函数较简单5最新 料推荐导数的应用含参函数的单调性讨论班级姓名1. 已知函数 f (

14、 x)ln xa ，求 f ( x) 的单调区间 .x解： 函数的定义域为（0，+）， fx1axa,xx22x令f x0得： xa若a即，则fx0 ,f在( 0 ,上单调递增；0a 0x)若a即a，则由fx得 x-a由fx得 x0, 故 f ( x) 在 (0,) 单调递增 .x若 0 a 1 1,即 1a2 时，由 f ( x)0 得， a 1x 1 ；由 f (x)0 得， 0 x a 1或x 1故 f ( x) 在 (a 1,1)单调递减，在 (0, a1),(1,) 单调递增 .若 a 11,即 a 2 时，由 f ( x)0 得， 1x a 1 ；由 f (x)0 得， 0 x 1

15、或x a 1故 f ( x) 在 (1,a 1)单调递减，在 (0,1),( a1,) 单调递增 .综上所述 ，当 a 1， f(x) 单调增区为 (1,) ,减区间是 (0,1) ;当 1a2 时， f (x) 的减区间是 (a1,1)，增区间是(0, a 1),(1,) ；当 a2时， f ( x) 在定义域上递增，单调增区为 (0,) （不存在减区间） ;当 a2时， f ( x) 的减区间是 (1,a1) ，在增区间是(0,1),( a 1,) .6最新 料推荐3. 已知函数 f (x) ax33x23x1, a R , 讨论函数 f (x)的单调性 .解： 因为 f (x)ax33x

16、23x1,aR ，所以 f / ( x)3(ax 22x1)(1)当 a0 时， f / (x)3(2 x1) ，当 x1 , 时， f / ( x)0 ；当 x1 , 时， f / ( x)0 ；22所以函数 f ( x) 在 (,1 上单调递增，在 1,) 上单调递减；22(2)当 a0 时， f / ( x)3(ax 22 x1)的图像开口向上，36(1 a)I)当 a1时，36(1a)0, 时， f / (x)0 ，所以函数f ( x) 在 R 上递增；II)当 0a1时，36(1a)0, 时，方程f /( x)0 的两个根分别为x111 a , x211 a , 且 x1x2 ,aa

17、所以函数 f (x) 在 (, 11 a ) ， (11a ,) 上单调递增，aa在 (11 a ,11a ) 上单调递减；aa(3)当 a0 时， f / ( x)3(ax 22 x1) 的图像开口向下，且36(1 a) 0方程 f / ( x)0 的两个根分别为x111a , x211 a , 且aax1x2 ,所以函数 f ( x) 在 (,11a) ， (11a,) 上单调递减，aa在 (11a ,11a ) 上单调递增。aa综上所述，当 a0 时，所以函数f ( x) 在 (11a ,1a1a ) 上单调递增，a在 (,11 a ) ， (1a1a ,) 上单调递减；a7最新 料推荐

18、当 a0 时， f ( x) 在 (,11) 上单调递减； 上单调递增，在,22当 0a1时 ，所以函数 f (x) 在 (,11a ) ，( 11 a , ) 上单调递aa增，在 (11a ,11a ) 上单调递减；aa当 a1时 ，函数 f (x) 在 R 上递增；4. 已知函数 f (x)ln xax1 a1 (aR) . 讨论 f ( x) 的单调性 .x解： 因为 f ( x)ln x ax1a)x1 的定义域为 (0,所以f (x)1aa1ax 2x1a x(0,) ，xx2x2令h( x)ax2x1a, x(0,) ，则 f ( x)与 g(x) 同号法一：根据熟知二次函数性质可

19、知g(x)的正负符号与开口有关，因此可先分类型讨论： 当 a0 时，由于 11 01， h(x) 开口向下 , 结合其图象易知ax(0,1) ， h( x)0 , 此时 f ( x) 0 ，函数 f ( x) 单调递减；x(1,) 时， h( x)0 ，此时 f ( x)0 ，函数 f ( x) 单调递增 .当 a 0时，h( x) 开口向上 , 但 x2是否在定义域需要讨论：8最新 料推荐因 110a0或 a1 所以ai)当 a1时，由于110 1， h( x) 开口向上 , 结合其图象易知ax(0,1) ， h( x)0，此时 f (x)0 ，函数 f (x) 单调递增 .x(1,) 时，

20、 h( x)0 ,此时 f ( x)0 ，函数 f ( x) 单调递减；ii)当 0a1时， g(x)开口向上且 x1 , x2 (0,) ，但两根大小需要讨论：a)当 a1时， x1x 2,h ( x ) 0恒成立，2此时f ( x) （0，+ ）f (x)0，函数在上单调递减；b)当 0a11110 ， g(x) 开口向上且在（ 0，）有两根2时，ax(0,1)时， h( x)0 ，此时 f (x)0 ，函数 f (x) 单调递减；x(1,11) 时 h( x)0 ，此时 f (x)0 ，函数 f ( x) 单调递增；ax(11,) 时， h( x)0 ，此时 f ( x)0 ，函数 f

21、( x) 单调递减；ac)当 1a1 时， 011 1 ，g(x)开口向上且在（ 0，）有两根2ax(0, 11) 时， h( x)0 ，此时 f ( x)0 ，函数 f ( x) 单调递减；ax(11,1) 时 h( x)0 ，此时 f (x)0 ，函数 f ( x) 单调递增；ax(1,) 时， h( x)0 ，此时 f (x)0 ，函数 f (x) 单调递减；小结：此法是把单调区间讨论化归为导函数符号讨论，而确定导函数符号的分子是常见二次型的，一般要先讨论二次项系数，确定类型及开口；然后由于定义域限制讨论其根是否在定义域内， 再讨论两根大小注，结合 g(x) 的图象确定其在相应区间的符号

22、，得出导函数符号。讨论要点与解含参不等式的讨论相应。法二：9最新 料推荐110a0或 a1ai)当 a0 时，由于 110 1， h( x) 开口向下 , 结合其图象易知ax(0,1)， h( x)0, 此时 f ( x) 0 ，函数f ( x) 单调递减；x(1,) 时， h( x)0 ，此时 f ( x)0 ，函数 f ( x) 单调递增 .ii)当 a1时，由于 110 0)f (x)xx令 g( x) 2a(1a) x22(1a)x1 ,则 f ( x) 与 g( x) 同号（ 1）当 a1 时， g( x)1, f (x)10, f ( x)ln x 在定义域 (0,) 上为增函数x

23、(2)当 a1 时 ,4(1a)28a(1a)12 a216a44(3a1)(a1)当01a1 时， g(x) 开口向上，图象在x 轴上方，所以 g( x) 03所以 f (x)0 ，则 f ( x) 在 (0,) 上单调递增当0a1 或 a1, 此 时 令f ( x)， 解 得3x11a, x21a2a(1a)2a(1 a)由于 2a(1a)00a1g( x)开口向上且 0x1x2 ，因此可进一步分类讨论如下：i) 当 a 1 时， 2a(1a)0g( x)开口向下 ，x20x1 x 0 ， f ( x) 00 x x1 ; f ( x) 0xx1则 f ( x) 在 (0, 1a(3a1)(a 1) 上单调递增，2a(1a)11最新 料推荐在 (1a(3a1)(a1),) 上单调递减2a(1a)ii) 当 0a1( x)00xx1 或 xx2 ; f ( x) 0x1xx2时， f3则 f ( x) 在(0,1a(3a1)(a1)， 1a(3a1)(a1),)上单调2a(1 a)(2a(1a)递增，在 (1a(3a1)(a1),1a(3a1)(a 1) 上单调递减2a(1a)2a(1a)综上所述， f(x) 的单调区间根据参数a 讨论情况如下表：0a11a1a133(0, x1)( x1 , x2 )( x2,)(0,)(0, x1)( x1