上海市虹口区高考数学一模试卷

1、最新 料推荐2018 年上海市虹口区高考数学一模试卷一 .填空题（本大题共12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54 分）1（4 分）函数 f（ x）=lg（2x）定义域为2（ 4 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，则 f（ 1）+f（0）+f（1）=3（4 分）首项和公比均为的等比数列n ， Sn 是它的前n 项和，则 a=4（4 分）在 ABC中， A， B， C 所对的边分别是a，b，c，如果 a： b：c=2：3：4，那么 cosC=5（4 分）已知复数 z=a+bi（a，b R）满足 | z| =1，则 a?b 的范围是6（4 分）某学生要从物理、

2、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是7（5 分）已知 M 、N 是三棱锥 P ABC的棱 AB、PC的中点，记三棱锥PABC的体积为 V1，三棱锥 N MBC 的体积为 V2，则等于8（5 分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为9（5 分）已知 y=sinx 和 y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C 构成三角形 ABC，则 ABC的面积等于10（ 5分）设椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，过焦点 F1

3、 的直线交椭圆于 M 、 N 两点，若 MNF2 的内切圆的面积为 ，则=（分）在ABC中，D是BC的中点，点列 Pn（nN* ）在线段 AC上，且满11 5足，若 a1=1，则数列 an 的通项公式 an=12（ 5分）设 f（x）=x2+2a?x+b?2x，其中 a，bN，xR，如果函数 y=f（ x）与函数 y=f（f（x）都有零点且它们的零点完全相同，则（a， b）为1最新 料推荐二 . （本大 共4 ，每 5 分，共 20 分）13（ 5 分）异面直 a 和 b 所成的角 ， 的范 是（）AB（0，） CD（0，14（ 5 分）命 ： “若 x2=1， x=1”的逆否命 （）A若 x

4、1， x1 或 x 1B若 x=1， x=1 或 x= 1C若 x 1， x1 且 x 1D若 x=1， x=1 且 x= 115（ 5 分）已知函数， f（1）+f（ 2）+f（ 3）+f（2017）=（）A2017B1513CD16（ 5 分）已知 RtABC中， A=90，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个 点 M 和 N， 足， 的取 范 是（）AB 4，6CD三 .解答 （本大 共 5 ，共 14+14+14+16+18=76 分）17（ 14 分）如 ，在三棱 PABC中， PA=AC=PC=AB=a，PAAB，ACAB，M 为 AC的中点（ 1）求 ： PM平面 AB

5、C；（ 2）求直 PB 和平面 ABC所成的角的大小2最新 料推荐18（14 分）已知函数，其中 xR，0，且此函数的最小正周期等于（ 1）求 的值，并写出此函数的单调递增区间；（ 2）求此函数在的最大值和最小值19（ 14 分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km 的矩形，矩形两边AB、AD 紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C 修一条直线的路 l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P 和 Q（ 1）设 AQ=x（km），将 APQ的面积 S表示为 x 的函数；（ 2）求 APQ的面积 S（km）的最小值20（ 16 分）已知平面内的定点 F 到定直线 l

6、 的距离等于 p（p0），动圆 M 过点 F 且与直线 l 相切，记圆心 M 的轨迹为曲线 C，在曲线 C 上任取一点 A，过 A作 l 的垂线，垂足为 E（ 1）求曲线 C 的轨迹方程；（ 2）记点 A 到直线 l 的距离为 d，且，求 EAF的取值范围；（ 3）判断 EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由3最新 料推荐n 的各项均为正数，其前n 项和为 Sn，a1 21（ 18 分）已知无穷数列 a=4（ 1）如果 a2，且对于一切正整数，均有，求 n ；=2nS（ 2）如果对于一切正整数 n，均有 an?an+1=Sn，求 Sn；（ 3）如果对于一切正整数 n，均有 an+

7、an+1=3Sn，证明： a3n 1 能被 8 整除4最新 料推荐2018 年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与 解析一 .填空题（本大题共12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54 分）1（4 分）函数 f（ x）=lg（2x）定义域为（， 2）【解答】 解：要使函数有意义，可得2 x0，即 x2函数 f （x） =lg（ 2 x）定义域为：（， 2）故答案为：（， 2）2（ 4 分）已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数， 则 f（ 1）+f（0）+f（1）= 0 【解答】 解： f（x）是定义在 R 上的奇函数， f（ 1） = f（1），f（ 0） =0

8、，即 f（ 1）+f（0）+f（ 1） =0，故答案为： 0（分）首项和公比均为n ，Sn 是它的前 n 项和，则=3 4的等比数列 a1 【解答】 解：根据题意，等比数列 an 的首项和公比均为，则其前 n 项和 Sn=1（）n ，则=1；故答案为： 14（4 分）在 ABC中， A， B， C 所对的边分别是a，b，c，如果 a： b：c=2：3：4，那么 cosC=【解答】 解：因为 a：b：c=2：3：4，所以设 a=2k，b=3k，c=4k，5最新 料推荐则根据余弦定理得： cosC=故答案为：5（ 4 分）已知复数 z=a+bi（a，bR）满足 | z| =1，则 a?b 的范围是

9、， 【解答】 解： z=a+bi（a，bR），且 | z| =1，即 a2+b2=1，令 a=cos，b=sin ，则 ab=cos?sin =， ab， 故答案为：6（4 分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是18【解答】 解：根据题意，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，分 2 种情况讨论：、从物理、化学、生物这三门中选 1 门，政治、历史、地理这三门选 2 门，有 C31C32=9 种选法，、从物理、化学

10、、生物这三门中选 2 门，政治、历史、地理这三门选 1 门，有 C31C32=9 种选法，则一共有 9+9=18 种选法；故答案为： 187（5 分）已知 M 、N 是三棱锥 P ABC的棱 AB、PC的中点，记三棱锥PABC的体积为 V1，三棱锥 N MBC 的体积为 V2，则等于6最新 料推荐【解答】 解：如图，设三棱锥 PABC的底面积为 S，高为 h， M 是 AB 的中点， N 是 PC的中点，三棱锥NMBC 的高为，则，=故答案为：8（5 分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为【解答】 解：根据题意，抛物线y2=12x

11、的焦点为（ 3，0），若双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x 的焦点重合，则双曲线的顶点坐标为（3，0），则有 a2=9，则双曲线的方程为：y2=1，双曲线的焦点在x 轴上，则其渐近线方程为故答案为：7最新 料推荐9（5 分）已知 y=sinx 和 y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C 构成三角形 ABC，则 ABC的面积等于【解答】解：由题意正余弦函数的图象可得： y=sinx 和 y=cosx的图象的连续的三个交点 A、 B、 C 构成三角形 ABC是等腰三角形，底边长为一个周期 T=2，高为 ， ABC的面积 =2=，故答案为：10（ 5 分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，

12、过焦点 F1 的直线交椭圆于 M 、 N 两点，若 MNF2 的内切圆的面积为 ，则= 4 【解答】 解：椭圆+的左右焦点分别为F1， F2 ，a=2，过焦点 F1 的直线交椭圆于M（ x1，y1），N（x2， y2）两点， MNF2 的内切圆的面积为 ， MNF2 内切圆半径 r=1 MNF2 面积 S= 1（ MN+MF2+MF2）=2a=4，故答案为： 4（分）在中，D是n（nN*）在线段 AC上，且满11 5ABCBC的中点，点列 P足，若 a1，则数列n 的通项公式 an=1 a=【解答】 解：如图所示， D 是 BC的中点，=+=+，8最新 料推荐又=+，+=+an（+），化为：=

13、（ 1 anan+1）+，点列 Pn （nN* ）在线段 AC 上， 1 an an+1+=1，化为： an+1=，又 a1=1，则数列 an 是等比数列，首项为1，公比为 an=故答案为：12（ 5 分）设 f（x）=x2+2a?x+b?2x，其中 a，bN，xR，如果函数 y=f（ x）与函数 y=f（f （x）都有零点且它们的零点完全相同，则（a， b）为（0，0）或（ 1， 0）【解答】 解：根据题意，函数y=f（ x）的零点为方程x2+2a?x+b?2x=0 的根，如果函数 y=f（x）与函数 y=f（f （ x）的零点完全相同，则有f（ x） =x，即2+2a?x+b?2x，x=x

14、方程 x2+2a?x+b?2x的根就是函数y=f（ ）与函数y=f（）的零点，=xxfx则有，解可得 x=0，即 x2+2a?x+b?2x=0 的 1 个根为 x=0，分析可得 b=0，则 f（ x）=x2+2a?x，解可得 x1=0 或 x2=2a，9最新 料推荐f（f（ x）=（x2+2a?x） 2+2a（x2+2a?x），若函数 y=f（ x）与函数 y=f（ f（x）的零点完全相同，分析可得 a=0 或 a=1， （ a，b） （ 0，0）或（ 1，0）；故答案 （ 0，0）或（ 1，0）二 . （本大 共4 ，每 5 分，共 20 分）13（ 5 分）异面直 a 和 b 所成的角 ，

15、 的范 是（）AB（0，） CD（0，【解答】 解：异面直 a 和 b 所成的角 ，的范 是（ 0， 故 ： C14（ 5 分）命 ： “若 x2=1， x=1”的逆否命 （）A若 x1， x1 或 x 1 B若 x=1， x=1 或 x= 1 C若 x 1， x1 且 x 1 D若 x=1， x=1 且 x= 1 【解答】 解：命 ： “若 x2=1， x=1”的逆否命 “若 x1， x21”；即 “若 x 1， x1 且 x 1”故 ： C15（ 5 分）已知函数， f（1）+f（ 2）+f（ 3）+f（2017）=（）A2017B1513CD【解答】 解：函数， f（1）+f（ 2） +

16、f（3）+f（2017）10最新 料推荐=1009f（ 1）+1008 f（0）=100921+100820= 故选： D16（ 5 分）已知 RtABC中， A=90，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点 M 和 N，满足，则的取值范围是（）AB 4，6CD【解答】 解：以 AB， AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0）， C（ 0， 6）， | =2， M 的轨迹是以 A 为圆心，以 2 为半径的圆， N 是 MC 的中点设 M （2cos，2sin ），则 N（ cos，sin +3）， =（cos4，sin +3）， | | 2 （ ） 2+（sin +3）2=6sin（

17、），= cos48cos +26=10sin+26当 sin（）=1 时， | 取得最小值=4，当 sin（ ）=1 时， | 取得最大值=6故选 B11最新 料推荐三 .解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17（ 14 分）如图，在三棱锥PABC中， PA=AC=PC=AB=a，PAAB，ACAB，M 为 AC的中点（ 1）求证： PM平面 ABC；（ 2）求直线 PB 和平面 ABC所成的角的大小【解答】 证明：（1）在三棱锥 P ABC中， PA=AC=PC=AB=a，PAAB，ACAB， M 为 AC的中点 PM AC，AB平面 PAC， PM AB，

18、 ABAC=A， PM平面 ABC解：（ 2）连结 BM， PM平面 ABC， PBM 是直线 PB 和平面 ABC所成的角， PA=AC=PC=AB=a，PAAB，ACAB， M 为 AC的中点， PM=，BM=，12最新 料推荐 tanPBM=，直线 PB和平面 ABC所成的角为 arctan18（14 分）已知函数，其中 xR，0，且此函数的最小正周期等于（ 1）求 的值，并写出此函数的单调递增区间；（ 2）求此函数在的最大值和最小值【解答】 解：函数= sin x+cosx=2sin（ x ），（ 1）函数的最小正周期等于即=2可得 f （x） =2sin（2x），由2x，kZ得： x

19、故得函数的单调递增区间为， ，kZ（ 2） f（ x）=2sin（ 2x），当，13最新 料推荐（ 2x） 当 2x=时，函数 f（ x）取得最大值为2当 2x=时，函数 f （x）取得最小值为 119（ 14 分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km 的矩形，矩形两边AB、AD 紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C 修一条直线的路 l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P 和 Q（ 1）设 AQ=x（km），将 APQ的面积 S表示为 x 的函数；（ 2）求 APQ的面积 S（km）的最小值【解答】 解：（1）设 AQ=x，则由得：即 AP=故 S=（x1

20、）；（ 2）由（ 1）得： S=（x1）；当 x（ 1，2）时， S0，当 x（ 2， +）时， S 0，故 x=2 时， Smin=420（ 16 分）已知平面内的定点 F 到定直线 l 的距离等于 p（p0），动圆 M 过点 F 且与直线 l 相切，记圆心 M 的轨迹为曲线 C，在曲线 C 上任取一点 A，过 A作 l 的垂线，垂足为 E（ 1）求曲线 C 的轨迹方程；（ 2）记点 A 到直线 l 的距离为 d，且，求 EAF的取值范围；14最新 料推荐（ 3）判断 EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由【解答】 解：（1）如图，以 FK的中点为坐标原点O，FK所在的直线为

21、x 轴，过 O 的垂线为 y 轴建立直角坐标系，即有 F（ ， 0），直线 l： x= ，动圆 M 过点 F 且与直线 l 相切，可得 | AE| =| AF| ，由抛物线的定义可得曲线 C 的轨迹为 F 为焦点、直线 l 为准线的抛物线，可得方程为 y2=2px；（ 2）点 A 到直线 l 的距离为 d，可得 | AE| =| AF| =d，且，设 A（x0，y0），可得 y02=2px0，即有 d=x0+ ，则 x0=d ，即有 | EF| 2=p2+y02=p2+2p（d）=2pd，在 EAF中，cosEAF=1，可得 cos EAF，可得 arccos arccos ，则 EAF的取值

22、范围是 arccos ；（ 3） EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为 1设 A（x0，y0），可得 y02=2px0，当 A 与 O 重合时，显然一个交点；当 A 不与 O 重合，由 EAF的平分线交 x 轴于 M ，连接 EM，可得 AMF= MAF，15最新 料推荐即有 | MF| =| AF| =d，四边形 AEMF为菱形， EF垂直平分 AM，可得 AMF+ EFM=90，tanAMF=cot EFM=，可设 y0 0，则直线 AM 的方程为 yy0=（xx0），则 y0yy0 2=px px0，化为 y0y=px+px0，代入抛物线的方程 y2=2px，消去 x 可得， y22y0y+2px0=0，可得 y=y0， x=x