人教A数学选修21同课异构教学课件232双曲线的简单几何性质1精讲优练课型

1、2.3.2双曲线的简单几何性质 第1课时双曲线的简单几何性质,【自主预习】 1.双曲线的几何性质,F1(-c,0),F2(c,0),F1(0,-c),F2(0,c),|F1F2|=2c,xa或x-a,yR,ya或y-a,xR,x轴、y轴,坐标原点,(-a,0),(a,0),(0,-a),(0,a),2a,2b,2.等轴双曲线 实轴和虚轴_的双曲线,它的渐近线是_, 离心率为 .,等长,y=x,【即时小测】 1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是() A.2 B.2 C.4 D.4 【解析】选C.双曲线的标准方程为 =1, 所以a2=4,所以2a=4.,2.双曲线 的渐近线方程是() 【解析】选C

2、.焦点在x轴上,a=2,b=3,渐近线方程为: y= x,即y= x.,3.已知双曲线的焦点为(-4,0),(4,0),离心率为2,则双 曲线的标准方程为. 【解析】因为e= =2,c=4,所以a=2,所以b2=c2-a2=12, 且焦点在x轴上,故标准方程为 =1. 答案: =1,【知识探究】 探究点双曲线的几何性质 1.能不能用a,b表示双曲线的离心率? 提示:能.,2.不同的双曲线,渐近线能相同吗?其方程有何特点? 提示:能相同.双曲线 与 的渐近线 就相同,所以具有相同渐近线的双曲线可设为 =(0,R),0时,焦点在x轴上,0时,焦点 在y轴上.,【归纳总结】 1.对双曲线渐近线的四点

3、说明 (1)随着x和y趋向于无穷大,双曲线将无限地与渐近线接近,但永远没有交点.,(2)由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值,但无法确 定焦点位置. (3)求渐近线的方程,常把双曲线的方程右边的常数写 成0,分解因式即得渐近线方程,若已知渐近线方程 mx+ny=0,求双曲线的方程,常将双曲线的方程设为 =(0)求解.,(4)与双曲线 (a0,b0)共渐近线的双曲线系 的方程可设为 =(0,a0,b0).,2.离心率对双曲线开口大小的影响 以双曲线 (a0,b0)为例. ,故当 的值越大,渐近线 y= x的斜率越大,双曲线的开口越大,e也越大,所以e 反映了双曲线开口的大小,即双曲线的离心率越

4、大,它 的开口就越大.,特别提醒:渐近线是双曲线特有的几何性质,它决定着双曲线张口的开阔与否.,类型一已知双曲线的标准方程求其简单几何性质 【典例】1.(2016江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 的焦距是_.,2.求双曲线nx2-my2=mn(m0,n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.,【解题探究】1.双曲线中a,b,c的关系是什么？ 提示：c2=a2+b2. 2.典例2中求简单几何性质的关键是什么? 提示:将双曲线的方程化为标准方程,明确a,b,c的值即可求出相应的几何性质.,【解析】1.由 可得c2=a2+b2=7+3=10， 所以 故焦距是 答

5、案： 2.把方程nx2-my2=mn(m0,n0) 化为标准方程为 =1(m0,n0), 由此可知,实半轴长a= ,虚半轴长b= ,c= , 焦点坐标为( ,0),(- ,0), 离心率e= 顶点坐标为(- ,0),( ,0), 所以渐近线方程为y= x,即y= x.,【延伸探究】将典例2改为“求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”,请给出解答 【解题指南】将双曲线方程化成标准方程,然后由各个所求量的定义作答.,【解析】将9y2-4x2=-36变形为 =1, 即 =1, 所以a=3,b=2,c= , 因此顶点坐标为(-3,0),(3,0), 焦

6、点坐标为(- ,0),( ,0),实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4, 离心率e= 渐近线方程为y= x= x.,【方法技巧】由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值. (3)由c2=a2+b2求出c值,从而写出双曲线的几何性质. 特别提醒:求性质时一定要注意焦点的位置.,【变式训练】求双曲线 =1的实轴长、虚轴长、 顶点坐标、焦点坐标. 【解析】由题意知a2=3,b2=4, 所以c2=a2+b2=3+4=7,解得a= ,b=2,c= . 因此,双曲线的实轴长2a=2 ,虚轴长2b=4. 顶点坐标为(-

7、 ,0),( ,0), 焦点坐标为(- ,0),( ,0).,类型二利用几何性质求双曲线的方程 【典例】1.(2016天津高考)已知双曲线 (a0,b0)的焦距为 且双曲线的一条渐近线与 直线2x+y=0 垂直，则双曲线的方程为( ),2.(2016长春高二检测)已知双曲线过点(3 ,4), 它的渐近线方程为y= x, (1)求双曲线的标准方程. (2)设F1和F2是该双曲线的左、右焦点,点P在双曲线 上,且|PF1|PF2|=55,求F1PF2的余弦值.,【解题探究】1.题1中的等量关系如何得出？ 提示：由焦距为 及渐近线方程，得等量关系.,2.典例2中题(1)由渐近线方程求标准方程的一般思

8、路是什么?(2)中由条件|PF1|PF2|=55可想到什么? 提示:(1)可分焦点在x轴上、y轴上分别设出方程,再由渐近线方程建立a,b的关系求解,或利用共渐近线的双曲线方程求解. (2)一般考虑双曲线的定义,|PF1|-|PF2|=2a.,【解析】1.选A.由题意得 双曲线的渐近线为 因为渐近线与直线2x+y=0 垂直，所以 所以 又因为c2=a2+b2，解得a=2, b=1，所以双曲线的方程为,2.(1)当焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程为 (a0,b0), 由题意得 解得a2=9,b2=16. 所以双曲线的方程为 .,当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为 (a0,b0),由题意得 此

9、方程组无解, 所以双曲线的方程为 .,(2)由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=6,在F1PF2中, 由余弦定理:cosF1PF2=,【延伸探究】将典例2中的条件改为“顶点间距离为6, 渐近线方程为y= x”,求双曲线的标准方程.,【解析】当焦点在x轴上时,因为 且a=3,所以 b= ,所以所求双曲线方程为 =1. 当焦点在y轴上时,因为 且a=3,所以b=2. 所以所求双曲线方程为 =1.,【误区警示】解答本题时容易忽视焦点的位置而只得到一个答案.,【方法技巧】求双曲线的标准方程的方法与技巧 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的

10、位置,从而正确选择方程的形式.,(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧 焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为 (a0,b0). 焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为 (a0,b0). 与双曲线 共焦点的双曲线方程可设为 (0,-b2a2).,与双曲线 具有相同渐近线的双曲线方程 可设为 =(0). 渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2= (0). 渐近线为axby=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2= (0).,【变式训练】(2015广东高考)已知双曲线C： 的离心率 且其右焦点F2(5,0)， 则双曲线C的方程为( ),【解析】选B.因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且 离

11、心率为 所以c=5，a=4，b2=c2-a2=9，所以所 求双曲线的方程为,【补偿训练】已知双曲线的焦点在x轴上,离心率 为 ,且经过点M(-3,2 ),求双曲线的方程.,【解析】设所求双曲线的方程为 (a0,b0). 因为e= ,所以e2= 所以,由题意得 解得 所以所求的双曲线的方程为 =1.,类型三与双曲线有关的离心率问题 【典例】1.(2015全国卷)已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为(),2.(2016长沙高二检测)设F1,F2是双曲线C: (a0,b0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a, 且PF1

12、F2的最小内角为30,则C的离心率为.,【解题探究】1.典例1中求离心率的突破点是什么? 提示:求离心率的关键是利用a表示出M点的坐标,利用M在双曲线上建立等式.,2.典例2中条件|PF1|+|PF2|=6a的作用是什么? 提示:利用定义得|PF1|-|PF2|=2a,借助条件|PF1|+|PF2|=6a,可求得|PF1|,|PF2|的值.,【解析】1.选D.设双曲线方程为 (a0,b0), 如图所示,|AB|=|BM|,ABM=120,过点M作MNx轴,垂足为点N, 在RtBMN中,|BN|=a,|MN|= a,故点M的坐标为(2a, a),代入双曲线方程得a2=b2=c2-a2,即c2=2

13、a2,所以 e= .,2.不妨设|PF1|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+ |PF2|=6a,得|PF1|=4a,|PF2|=2a,|F1F2|=2c,则在 PF1F2中,PF1F2=30,由余弦定理得(2a)2= (4a)2+(2c)2-2(4a)(2c)cos30,整理得(e- )2=0, 所以e= . 答案:,【延伸探究】1.将典例2条件“若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2的最小内角为30”改为“若PF1PF2,且PF1F2=30”,结果如何?,【解析】在RtPF1F2中,由题意可知:|F1F2|=2c, |PF2|=c,|PF1|= c,又|PF1|-

14、|PF2|=2a,所以2a= c-c,e= 答案: +1,2.将典例2条件改为“已知双曲线 (a0,b0) 的左、右焦点分别为F1、F2,点P为双曲线上一点,且 PF1F2=30,PF2F1=60”,则双曲线的离心率 为.,【解析】如图所示, 在PF1F2中,F1PF2=90, 所以|PF2|= |F1F2|=c, |PF1|= c, 根据双曲线的定义, 有|PF1|-|PF2|= c-c=2a, 故离心率e= 答案: +1,【方法技巧】 1.求双曲线离心率的常见方法 (1)依据条件求出a,c,再计算e= .,(2)依据条件建立参数a,b,c的关系式,一种方法是消去 b转化成离心率e的方程求解,另一种方法是消去c转化 成含 的方程,求出 后利用e= 求离心率.,2.求离心率的范围技巧 (1)根据条件建立a,b,c的不等式. (2)通过解不等式得 或 的范围,求得离心率的范围.,【补偿训练】双曲线 (a0,b0)的两焦点分别为F1,F2,以F1F2为边作等边三角形,若双曲线恰平分三角形的另两边,则双曲线的离心率为.,【解析】如图所示, |NF1|= 2c= c, |NF2|=c.而|NF1|-|NF2|=2a,即( -1)c=2a, 所以e