数学建模～最短路问题(课件ppt).ppt

1、最短路问题,二、最小生成树问题及其解法,三、最短路问题及其解法,一、图论的基本概念,图 论 的 基 本 概 念,一、 图 的 概 念,1图的定义,2顶点的次数,3子图,二、 图 的 矩 阵 表 示,1 关联矩阵,2 邻接矩阵,返回,图的定义,定义,定义,返回,顶点的次数,例2 在一次聚会中，史密斯先生和他太太邀请四对夫妻参加晚会。每个人到的时候，房间里的一些人都要与别的一些人握手。当然，每个人都不会与自己的配偶握手，也不会跟同一个人握手两次。 之后，史密斯先生问每个人和别人握了几次手，他们的答案都不一样。那么史密斯太太和别人握了几次手呢？,返回,例1 在一次聚会中，认识奇数个人的人数一定是偶数

2、。,由图可知， 8号的配偶是0号。 7号的配偶是1号。 6号的配偶是2号。 5号的配偶是3号。 史密斯太太是4号，所以史密斯太太和别人握了4次手。,返回,邻接矩阵,注：假设图为简单图,返回,最 短 路 问 题 及 其 算 法,一、 基 本 概 念,二、固 定 起 点 的 最 短 路,三、每 对 顶 点 之 间 的 最 短 路,返回,基 本 概 念,返回,返回,求图的最小生成树最常用的两种算法： （1）Prim算法 （2）Kruskal算法,注意：在一个加权连通图G中，权最小的那棵生成树称为图G的最小生成树。,返回,Prim算法思想： 输入加权图的带权邻接矩阵 （1）建立初始候选边集B， ； （

3、2）从候选边中选取最短边（u,v）， ； （3）调整候选边集B； （4）重复（2）、（3）直到T含有n-1条边。,Prim算法的实现过程,1 1 1 1 2 3 4 5 8 inf 1 5,4 3 9,4 5 3,5 2 7,2 3 6,实现Prim算法的MATLAB程序： a=0 8 inf 1 5;8 0 6 inf 7;inf 6 0 9 10;1 inf 9 0 3; 5 7 10 3 0; T= ; e=0; v=1; n=5; sb=2:n; %1代表第一个红点，sb代表白点集。 for j=2:n %构造初始候选边的集合 b(1,j-1)=1; b(2,j-1)=j; b(3,j

4、-1)=a(1,j); end,while size(T,2) n-1 min,i=min(b(3,:); %在候选边中找最短边。 T(:,size(T,2)+1)=b(:,i); e = e + b(3,i); v = b(2,i); v表示新涂的红点。 temp = find(sb = b(2,i); sb(temp) = ; b(:,i) = ; for j =1:length(sb) %调整候选边 d = a(v,b(2,j); if db(3,j) b(1,j) = v; b(3,j) = d; end end end,Kruskal算法思想： 假设给定了一个加权连通图G，G的边集合

5、为E，顶点个数n，则假设最小生成树T中的边和顶点均涂为红色，其余为白色。初始时G中的边均为白色。 （1）将所有的顶点涂成红色； （2）在白色边中，挑选一条权最小的边，使其与红色边不形成圈，将该白色边涂红。 （3）重复（2）直到n-1条红色边，这n-1条红色边就构成了最小生成树T的边集合。 注意：在用Kruskal算法求最小生成树时，在第（2）步判断是否形成圈在程序实现时比较麻烦。,实现Kruskal算法的MATLAB程序： %加权图的存储结构采用边权矩阵b(i,j)m3 b=1 1 1 2 2 3 3 4 2 4 5 3 5 4 5 5 8 1 5 6 7 9 10 3; B,I=sortro

6、ws(b,3); B=B; m =size(b,2); n=5; t=1:n; k=0; T= ; c = 0;,for i= 1:m if t(B(1,i)=t(B(2,i) %判断第i条边是否与树中的边形成圈。 k=k+1; T(k,1:2) = B(1:2,i); c=c+B(3,i); tmin = min(t(B(1,i),t(B(2,i); tmax = max(t(B(1,i),t(B(2,i); for j=1:n if t(j) = tmax t(j)= tmin; end end end if k=n-1 break; end end T,c,Kruskal实现过程： 初始

7、化后排序： B=1 4 1 2 2 1 3 3 4 5 5 3 5 2 4 5 1 3 5 6 7 8 9 10； 第一轮：tmin=1;tmax=4;t=1 2 3 1 5; 第二轮：tmin=4;tmax=5;t=1 2 3 1 1; 第三轮：t(1)=t(5)直接进入下一轮 第四轮：tmin=2;tmax=3;t=1 2 2 1 1; 第五轮：tmin=1;tmax=2;t=1 1 1 1 1;,求最短路径的最常用的两种算法： （1）Dijkstra算法 （2）Floyd算法,注意：普通路径长度定义为该路径所包含的全体边的长度之和。 最短路径是指在图中，从顶点u到顶点v的路径中普通路径长

8、度最短的路径称为u到v的最短路径。,固 定 起 点 的 最 短 路,最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路,假设在u0-v0的最短路中只取一条，则从u0到其余顶点的最短路将构成一棵以u0为根的树,因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点的最短路,算法步骤：,TO MATLAB(road1),1,2,3,4,5,6,7,8,返回,Dijkstra算法的MATLAB实现： w=0 2 1 8 inf inf inf inf;2 0 inf 6 1 inf inf inf;1 inf 0 7 inf inf 9 inf;. 8 6 7 0 5 1 2 inf;inf 1 inf 5 0

9、 3 inf 9;inf inf inf 1 3 0 4 6;. inf inf 9 2 inf 4 0 3;inf inf inf inf 9 6 3 0 n=size(w,1); w1=w(1,:); %赋初值 for i=1:n l(i)=w1(i); z(i)=1; end s=; s(1)=1; u=s(1); k=1；,while kl(u)+w(u,i) l(i)=l(u)+w(u,i); z(i)=u; end end end end l,z,%求v* ll=l; for i=1:n for j=1:k if i=s(j) ll(i)=ll(i); else ll(i)=inf

10、; end end end,lv=inf; for i=1:n if ll(i)lv lv=ll(i); v=i; end end lv, v s(k+1)=v k=k+1 u=s(k) end l,z,每 对 顶 点 之 间 的 最 短 路,1求距离矩阵的方法,2求路径矩阵的方法,3查找最短路路径的方法,（一）算法的基本思想,（三）算法步骤,返回,（二）算法原理,算法的基本思想,返回,算法原理 求距离矩阵的方法,返回,算法原理 求路径矩阵的方法,在建立距离矩阵的同时可建立路径矩阵R,即当k被插入任何两点间的最短路径时，被记录在R(k)中，依次求 时求得 ，可由 来查找任何点对之间最短路的路径

11、,返回,算法原理 查找最短路路径的方法,pk,p2,p1,p3,q1,q2,qm,则由点i到j的最短路的路径为：,返回,算法步骤,TOMATLAB(road2(floyd),返回,Folyd算法的MATLAB实现： functionD,R=floyd(a) n=size(a,1); D=a for i=1:n for j=1:n R(i,j)=j; end end,for k=1:n for i=1:n for j=1:n if D(i,k)+D(k,j)D(i,j) D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); R(i,j)=R(i,k); end end end k, D, R end,在命

12、令窗口中输入： a=0 9 inf 3 inf;9 0 2 inf 7;inf 2 0 2 4;3 inf 2 0 inf;inf 7 4 inf 0; floyd(a),一、 可化为最短路问题的多阶段决策问题,二、 选 址 问 题,1 中心问题,2 重心问题,返回,可化为最短路问题的多阶段决策问题,返回,选址问题-中心问题,TO MATLAB(road3(floyd),S(v1)=10, S(v2)=7, S(v3)=6, S(v4)=8.5, S(v5)=7, S(v6)=7, S(v7)=8.5,S(v3)=6,故应将消防站设在v3处.,返回,选址问题-重心问题,返回,实验作业,生产策略问题：现代化生产过程中，生产部门面临的突出问题之一，便是如何选取合理的生产率.生产率过高，导致产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会.可见，生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，以便