归一归总问题

1、归一归总问题教学目标本讲主要学习归一及归总问题通过本节课的学习，学生应了解归一及归总问题的类型，以及解决归一及归总问题的一般方法，掌握归一及归总问题的基本关系式，并会将这种方法应用到一些实际问题中.知识点说明：一、归一问题归一问题是一类典型应用题，这类问题是用等分除法求出一个单位的数值(单一量)之后，再求出题目所要求解的问题，解答归一问题的方法叫做归一法。归一问题可以分为两种：一种是求总量的，求出一个单位量之后，然后利用乘法求出结果，这种问题叫做正归一问题（也称正归一）；如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？解决此类问题的关键是先求出单位数量，再求几个单位数量是多少；另一

2、种是求份数的，求出一个单位量后，再用包含除法求出所求的结果，这类问题叫做反归一问题（也称反归一）。如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？解决此类问题的关键是先求出单位数量，再求一共包含多少个单位数量？正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步，正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题 中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。有的问题一次归一不能解决，需要两次归一或与倍比相结合才能解决。归一问题的基本关系式：总工作量每份的

3、工作量(单一量)份数 (正归一)份数总工作量每份的工作量(单一量) (反归一)每份的工作量(单一量) 总工作量份数二、归总问题与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等例题讲解板块一、归一问题 【例 1】 某人步行，3小时行15千米，7小时行多少千米？【解析】 （千米）。 答：7小时行35千米。【巩固】 一艘轮船4小时航行108千米，照这样的速度，继续航行270千米，共需多少小时？【解析】 先求每小时航行多少千米，再求航行270千米需要几小时，最后求出共需多少小时。每小时航行多少千

4、米：1084=27（千米）270千米需航行多少小时：27027=10（小时）共需多少小时：10+4=14（小时）综合算式：270（1084）+4=27027+4=10+4=14（小时）。【例 2】 小红骑车3分钟行600米，照这样的速度她从家到学校行了10分钟，小红家到学校有多少米？【解析】 （米）。答：小红家到学校有2000米。【例 3】 一个打字员15分钟打了1800个字，照这样的速度，1小时能打多少个字？【解析】 先求1分钟能打多少个字，再求1小时能打多少个字。1分钟能打多少个字：（个）。1小时能打多少个字：（个）综合算式：（个）。【巩固】 2台机器20分钟造纸80吨，照这样计算，1台机

5、器1小时造纸多少吨？【解析】 1台机器1分钟造纸：(吨)，1小时=60分钟，也就是1台机器1小时造纸：(吨)【例 4】 绿化队3天种树210棵，还要种420棵，照这样的工作效率，完成任务共需多少天？【解析】 （方法一）倍比思想因为工作的效率是一定的，所以可以求出种420棵树需要的天数是种210棵树的倍数为：(倍)，所以种420棵树需要的天数为：(天)，也就是完成任务共需（天）（方法二）归一思想先求出一天种多少棵树，再求共需几天完成任务单一数：（棵），总共的天数是：（天）【巩固】 绿化队天种树200棵，还要种400棵，照这样的工作效率，完成任务共需多少天？【解析】 倍比思想因为工作的效率是一定的

6、，所以可以求出种400棵树需要的天数是种棵树天数的：(倍)，所以种400棵树需要的天数为：(天)，也就是完成任务共需（天）【巩固】 绿化队4天种树200棵，还要种400棵，照这样的工作效率，完成任务共需多少天？【解析】 （方法一）倍比思想因为工作的效率是一定的，所以可以求出种400棵树需要的天数是种200棵树的倍数为：(倍)，所以种400棵树需要的天数为：(天)，也就是完成任务共需（天）（方法二）归一思想先求出一天种多少棵树，再求共需几天完成任务单一数：（棵），总共的天数是：（天）口诀归一问题要记牢，寻找单一量最重要，题中总量是条件，结果最终能找到【例 5】 一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这

7、样的速度，30分钟爬行多少分米？【解析】 本题属于正归一，有两种解题思路 (方法一)归一思想为了求出蜗牛30分钟爬多少分米，必须先求出1分钟爬多少分米(单一数)，“照这样速度”说明小蜗牛每分钟爬行的速度是相等的，然后以这个数目为依据按要求算出结果小蜗牛每分钟爬行(分米)，30分钟爬(分米)(方法二)倍比思想仔细观察题目中所给的条件，已知30分钟正好是6分钟的5倍，爬行的距离也应是12的5倍即(分米)【例 6】 先根据条件提出问题，使它成为一步计算的应用题，再口头列式解答孙悟空3天吃了45个桃子， ？学学买2支钢笔用了18元钱， _ ？【解析】 建议老师可以先让学生提出问题使它成为一步计算的应用

8、题：每天吃多少个？每只钢笔多少元？再让学生提出问题使它成为两步计算的应用题如：7天吃多少个桃子？54元可以买多少只钢笔？使本道例题成为归一问题的最典型的题目，使学生感受归一问题的题型【例 7】 一个工人在森林中锯木头，他用8分钟把一根树干锯成了3段，那么把树干锯成8段需要多长时间？ 【解析】 前面我们已经学习过植树问题，把一根木头锯成段，实际上只需要锯（下），所以锯一下需要(分钟)，现在要把树干锯成8段，也就是要锯（下），需要时间为：(分钟)【巩固】 一个工人在森林中锯木头，他用12分钟把一根树干锯成了4段，如果保持工作速度不变，要把每段木头再锯成两段，还需要多少分钟？【解析】 把一根木头锯成

9、4段，实际上只需要锯（下），所以锯一下需要(分钟)，现在要求把每段木头再锯成两段，也就是还需要锯4下，则还需要：(分钟)【巩固】 一个工人在森林中锯木头，他用40分钟把一根树干锯成了5段，如果保持工作速度不变，要把每段木头再锯成两段，还需要多少分钟？【解析】 把一根木头锯成5段，实际上只需要锯（下），所以锯一下需要(分钟)，现在要求把每段木头再锯成两段，也就是还需要锯5下，则还需要：(分钟)小结 总工作量每份的工作量(单一量)份数 (正归一)例如题份数总工作量每份的工作量(单一量) (反归一)例如题每份的工作量(单一量) 总工作量份数口诀归一问题要记牢，寻找单一量最重要，题中总量是条件，结果最

10、终能找到【例 8】 一个工人要磨面粉200千克，3小时磨了60千克照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？【解析】 (方法一)通过3小时磨60千克，可以求出1小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几小时，所以剩下的量除以1小时磨的数量，得到问题所求(小时)(方法二)通过3小时磨60千克，可以求出1小时磨粉数量.磨完200千克面粉需要的时间为：(小时)，那么磨剩下的面粉需要时间即为：(小时)小结 解决正归一的问题首先要求出单位数量，解决反归一的问题同样也是要先求出单位数量【例 9】 3名工人5小时加工零件90个，要在10小时完成540个零件的加工，需要工人多少名？【解析】 (方法一)3名工人5小时加工零

11、件90个，就是说每人每小时加工（个），那么一 个人10小时可以加工个，540个零件在10小时做完就需要(人)(方法二)3名工人5小时加工零件90个，假设在时间相同的情况下3名工人10小时加工零件180个零件，要完成540个零件用倍比的思想，540个零件是180的3倍，时间相同，完成零件的数量是3倍，那么工人也是3倍的关系，(人)【巩固】 3名工人5小时加工零件90个，10名工人10小时加工零件多少个？【解析】 3名工人5小时加工零件90个，就是说每人每小时加工（个），那么一个人10小时可以加工（个），10名工人10小时加工零件：（个）【巩固】 某车间用4台车床5小时生产零件600个，照这样算，

12、增加3台同样的车床后，（1）8小时可以生产多少个零件？（2）如果要生产6300个零件几小时可完成？【解析】 此题要求的两个问题都需知1台1小时生产的零件数，因条件中有小时和台数两个量，需用“两次归一”，即先求出4台1小时生产多少，再求1台1小时生产多少。60054（43）830781680（个）630060054（43）630030730（小时）答：（1）8小时可以生产1680个零件。（2）如果要生产6300个零件30小时可以完成。【例 10】 3名工人5小时加工零件90个，要在10小时完成540个零件的加工，需要工人多少名？【解析】 (方法一)3名工人5小时加工零件90个，就是说每人每小时加

13、工（个），那么一 个人10小时可以加工个，540个零件在10小时做完就需要(人)(方法二)3名工人5小时加工零件90个，假设在时间相同的情况下3名工人10小时加工零件180个零件，要完成540个零件用倍比的思想，540个零件是180的3倍，时间相同，完成零件的数量是3倍，那么工人也是3倍的关系，(人)【巩固】 3名工人5小时加工零件90个，10名工人10小时加工零件多少个？【解析】 3名工人5小时加工零件90个，就是说每人每小时加工（个），那么一个人10小时可以加工（个），10名工人10小时加工零件：（个）【例 11】 7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土现有沙土560吨，要求5趟运完，求需

14、要增加同样的卡车多少辆？【解析】 (方法一)要想求增加同样卡车多少辆，先要求出一共需要卡车多少辆；要求5趟运完560吨沙土，每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土一辆卡车一次能运沙土：(吨)；560吨沙土，5趟运完，每趟必须运走：(吨)；需要增加同样的卡车：(辆)(方法二)在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时，可以列出两种不同情况的算式： ，.算式先除以6，先求出7辆卡车1次运的吨数，再除以7求出每辆卡车的载重量；算式，先除以7，求出一辆卡车6次运的吨数，再除以6，求出每辆卡车的载重量在求560吨沙土5次运完需要多少辆卡车时，有以下几种不同的计算方法：(辆) (其中112是所需的卡车

15、一趟运走的吨数)(辆) (其中70是运走560吨沙土需要的车次)(辆) (其中40是一辆卡车5次运走的吨数)【巩固】 4辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨现有沙土420吨，增加了3辆相同的卡车，问：几趟可以运完？【解析】 1辆卡车1趟运沙土：(吨)，现在有(辆)卡车，需要(趟)就可以运完【例 12】 孙悟空组织小猴子摘桃子开始时，16只小猴子2小时摘桃子640个，照这样计算，孙悟空要求它们在3小时内继续摘桃子1200个，那么需要增加多少只小猴子一起来摘桃子呢？【解析】 要求增加多少只小猴子，必须先求出需要多少只小猴子去完成孙悟空布置的任务根据要求，3小时摘桃子1200个，可以先求出1小时共

16、摘桃的个数，即：(个)再根据每只小猴每小时摘的个数，即：(个)单一量，就可以求出所需要的小猴数量，即：(只)，最后求出增加的小猴只数：(只)【例 13】 用一个杯子盛满水向一个空罐里倒水如果倒进2杯水，连罐共重6千克；如果倒进5杯水，连罐共重9千克这个空罐重多少千克？【解析】 根据倒进2杯水，连罐共重6千克；如果倒进5杯水，连罐共重9千克，可知重量由6千克增加到9千克是因为多倒进了杯水，因此可先求出1杯水的重量，最后再减去水的重量，即空罐的重量：每杯水的重量：(千克)空罐的重量：(千克)或(千克)【例 14】 10辆小车和3辆卡车一次运货32吨，15辆小车和3辆卡车一次运货42吨每辆卡车和每辆

17、小车每次各运货多少吨？【解析】 摘录条件：10辆小车3辆卡车32吨 15辆小车3辆卡车42吨比较条件，看看什么量变了，什么量没变，两个变化的量之间的关系是什么？从对应量的变化，可以看出吨正好与辆小车的载重量相对应，因此每辆小车每次可以运货：(吨)，那么每辆卡车每次可以运货4吨其实这就是二元一次方程的思想【巩固】 30辆小车和3辆卡车一次运货75吨，45辆小车和6辆卡车一次运货120吨.每辆卡车和每辆 小车每次各运货多少吨？【解析】 摘录条件： 30辆小车+3辆卡车75吨 45辆小车+6辆卡车120吨 比较条件，转化为： 60辆小车+6辆卡车150吨 45辆小车+6辆卡车120吨从对应量的变化，

18、可以看出（）吨正好与（）辆小车的载重量相对应，因此每辆小车每次可以运货吨，那么每辆卡车每次可以运货吨.【巩固】 阿呆去商店买了2个笔袋，3支圆珠笔，用去25元；小新去商店买了1个笔袋，2支圆珠笔，用去14元；那么买1个笔袋，1支圆珠笔，分别需要多少元？【解析】 摘录条件： 2个笔袋+3支圆珠笔=25元 （1）式 ；1个笔袋+2支圆珠笔=14元 （2）式 ；由第2个式子知道：2个笔袋+4支圆珠笔=28元 （3）式 ；由1和3式可以知道：1支圆珠笔=3元，那么再由2式可以知道：1个笔袋=8元。【巩固】 有A、B、C三种货物，甲购A物3件、B物5件、C物1件付款20元；乙购A物4件、B物7件、C物1

19、件付款25元；丙购A、B、C三种货物各1件，应付多少元？【解析】 摘录条件：（1）3 A + 5 B +1 C = 20 （2）4 A + 57B +1 C = 25（2）（1）可得条件（3）：1 A+ 2 B = 5 ；（3）2可得条件（4）：2 A + 4 B = 10 ；（1）（4）可得：1A + 1 B +1 C = 10 （元）。【例 15】 王奶奶家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可生产牛奶多少千克？【解析】 以1头奶牛1天产的牛奶为单一量，1头奶牛1天产奶：(千克)，8头奶牛1天产奶：(千克)，8头奶牛15天产奶：(千克)【巩固】 王奶奶家养了5头奶

20、牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛12天可生产牛奶多少千克？【解析】 以1头奶牛1天产的牛奶为单一量，1头奶牛1天产奶：(千克)，8头奶牛1天产奶：(千克)，8头奶牛12天产奶：(千克)。 【例 16】 花果山上桃树多，5只小猴分200棵.现有小猴60只，按刚才的分法分后还余90棵，请算出桃树有几棵？【解析】 每只小猴分：(棵)，现在一共分：(棵)，一共有桃树：(棵)【例 17】 学校买来一些足球和篮球.已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？【解析】 要求5个足球和4个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球

21、和每个篮球各多少元.根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差(个)，总价差(元).74元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问题得解列式为： 一个篮球的价钱：(元） 一个足球的价钱：(元) 共花多少元？(元)【巩固】 妈妈买了2斤苹果，4斤菠萝，花去14元；爸爸买了3斤苹果，2斤菠萝，花去13元；那么1斤苹果，1斤菠萝各多少钱？【解析】 1斤苹果3元，1斤菠萝2元【巩固】 2个篮球的价钱可以买6个排球，6个足球的价钱可以买3个篮球。买排球、足球、网球各一个的价钱可以买1个篮球。那么，买1个篮球的价格可以买多少个网球？【解析】 6

22、个篮球的钱可以买排球、足球、网球各6个。即可买5（=2+3）个篮球及6个网球。因此买1个篮球的价格可以买6个网球。【例 18】 一列火车从甲地开往乙地，开出2.5小时，行了150千米。照这样的速度，再行驶3小时到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？【解析】 先求火车每小时行多少千米，再求共行了几小时，最后求出共行了多少千米（即甲、乙两地距离）。火车每小时行多少千米：1502.5=60（千米）火车共行了多少小时：2.5+3=5.5（小时）甲乙两地相距多少千米：605.5=330（千米）综合算式： 1502.5（2.5+3）=1502.55.5=605.5=330（千米）。小结 归一问题的关键是用除法

23、求出单位数量，但有时也要注意观察分析题目所给的条件，注意数的特点，利用倍比的思路解题更简单如果直接用归一法求单一量是不能得出整数的，应该根据题目所给数据的特点，采用倍比的方法解题，就像拓展中的题目板块二、归总问题【例 19】 8个人10天修路840米,照这样算,20人修4200米,要_天.【解析】 先进行两次归一，求出每人每天修多少米，然后再求出20人每天修多少米。综合算式：4200(84010820)=20(天).【巩固】 5个人2小时植树20棵，6个人3小时植树多少棵？【解析】 要求6个人3小时植树多少棵，必须先求出5个人1小时植的棵数，再求出1个人1小时所植的棵数。20526326336

24、（棵）答：6个人3小时植树36棵。【例 20】 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5小时到达若要4小时到达，则每小时需要多行多少千米？【解析】 从甲地到乙地的路程是一定的，以路程为总量从甲地到乙地的路程是多少千米？ (千米) 4小时到达，每小时需要行多少千米？ (千米) (3)每小时多行多少千米？ (千米)【巩固】 学校买4套课桌椅，共用去480元，如果买同样的课桌椅7套，共需多少钱？如果有3000元，可以买进这样的课桌椅多少套？【解析】 1套课桌椅的价钱是：（个），7套的价钱是：（个），3000元可以买到：（套）【例 21】 一项工程，8个人工作小时可以完成，如果12个人工作，多少小

25、时可以完成？【解析】 工程总量相当于1个人工作多少小时？ (小时) 12个人完成这项工程需要多少小时？ (小时)【巩固】 5个人挖3米长的沟需要用3个小时，那么用50个小时挖50米的沟需要多少名工人？ 【解析】 因为5个人挖3米长的沟需要用3个小时，那么5个人用1个小时就可以挖1米长的沟，所以5个人用50个小时也就挖了50米长的沟【巩固】 王师傅2小时加工了62个零件，照这样计算，他每天工作8小时可以加工多少个零件？如果要加工372个零件，需要几小时？【解析】 王师傅1小时加工零件：(个)，8小时可以加工零件：(个)，加工372个零件需要时间：(小时)【例 22】 有20人修筑一条公路，计划1

26、5天完成动工3天后抽出5人植树，留下的人继续修路如果每个人的工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天？【解析】 有20人修筑一条公路，计划15天完成，说明这条公路的总工作量有：人次，动工3天后抽出5人植树，20人修3天完成了人次，那么总工作量还剩下人次，这些剩下的工作给15人做，每人就还需要工作（天），这样，实际工作就有（天）【巩固】 修一条公路，原计划60人工作，80天完成现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的工作再用多少天可以完成？【解析】 修完这条公路共需要：(个)劳动日，60人工作20天后，还剩下：(个)劳动日，剩下的工作又增加30人，也就是90人需要再用：（天）【例 23】

27、学校买来一批粉笔，原计划18个班可用60天，实际用45天后，有3个班外出了，剩下的粉笔够用多少天？【解析】 剩下的粉笔18个班可用（天），现在有（个）班级，可用的天数为：（天）【巩固】 某厂运来一批煤，计划每天用5吨，40天用完，如果改进锅炉，每天节约1吨，这批煤可以用多少天？【解析】 从“计划每天用5吨，40天用完”中，可求出煤的总吨数，把总吨数除以改进锅炉后每天用煤量，可得用煤天数。540（51）200450（天）答：这批煤可以用50天。【例 24】 某工程队预计30天修完一条水渠，先由18人修了12天后完成工程的一半，如果要提前9天完成，还要增加多少人？【解析】 18人修12天水渠共：个

28、劳动日，故总工程量为个劳动日，还剩216个劳动日，现需（天）完成，故需（人），所以还需补6人【例 25】 小红生病住院了，为了祝她早日康复，三(一)班和三(二)班一起为她叠千纸鹤两个班的同学3天一共叠了2400只千纸鹤，现在两个班级的同学同时开始叠，在相同的时间内，三(一)班叠了2430只千纸鹤，三(二)班叠了2370只千纸鹤那么三(一)班和三(二)班每天各叠多少只千纸鹤？【解析】 （方法一)三(一)班和三(二)班每天共叠千纸鹤：(只)，“相同时间”是：(天)，三(一)班每天叠的个数：(只)，三(二)班每天叠的个数：(只)(方法二)这道题的已知条件可以分两层第一层：两个班的同学3天一共叠了24

29、00只千纸鹤，第二层：在相同的时间内，三(一)班叠了2430只千纸鹤，四(二)班叠了2370只千纸鹤.由这两个条件可以求出在相同的时间内，两个班共叠千纸鹤(个)；叠2400只用3天，叠4800只用几天呢？先求出4800是2400的几倍，也一定是3天的几倍，即“相同时间”“相同时间”是：(天)，三(一)班每天叠的个数：(只)，三(二)班每天叠的个数：(只)【例 26】 甲、乙、丙三人在外出时买了8个面包，平均分给三个人吃甲没有带钱，乙付了5个面包的钱，丙付了3个面包的钱后来，甲带来了他应付的四元八角钱，请问，应还给乙、丙各多少钱？【解析】 由已知条件可知，甲要付出的钱是4元8角，即48角因为甲没

30、有带钱，而三个人吃的面包一样多，可知乙、丙都应付48角这样三个人应付的总数是3个48角，正好是8个面包的总价这样就可以求出面包的单价，同时也可求出乙付的5个面包与丙付的3个面包的钱最后以每人应付的48角为标准，多付的就是应收回的钱即：8个面包的总价是：(角)面包的单价是：(角)乙应收回的钱是：(角)元2角丙应收回的钱是：(角)【例 27】 某车间需要加工3960个零件，3个工人10小时加工了1320个，其余的要求在15小时内完成，需要增加多少个工人？【解析】 每个工人每小时加工：（个），现在还剩下：（个）零件，15小时内完成需要工人（个），即需要增加1个工人【巩固】 5台拖拉机24天耕地120

31、00公亩要18天耕完54000公亩土地，需要增加同样拖拉机多少台？【解析】 1台拖拉机1天耕地：(公亩)，18天耕完54000公亩土地需要拖拉机：(台)，需要增加 (台)拖拉机【巩固】 家具厂生产一批桌椅，原计划每天生产30套，12天完成实际只用原来时间的一半就完成了任务，那么实际每天比计划多生产多少套？【解析】 这批桌椅一共有：(套)，实际上用了(天)，实际每天生产：(套)，实际每天比计划多生产：(套)【例 28】 某工厂一个车间，原计划20人4天做1280个零件，刚要开始生产，又增加了新任务，在工作效率相同的情况下，需要15个人7天才能全部完成，问增加了多少个零件？【解析】 要求增加了多少个零件，只需先求出每人每天生产多少个零件，然后求出15个人7天生产的零件数，最后用它减去1280个零件就可得出所要求的问题。（1）每人每天生产的零件数1280204=16（个）（2）15人7天生产的零件数16157=1680（个）（3）增加的零件数1680-1280=400（个）综合算式（1280204）157-1280=16157-1280=1680-1280=400（个）答：增加了400个零件【巩固】 光华机械厂一个车间，原计划15人3天做900个零件。生产开始后，又增加一批任务，在工作效率相同下，要10个人8天完成。问增加了几个零件?【解析】 先求出每个