线性变换的值域与核_第1页
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1、6 线性变换的值域与核一、定义 设 A是线性空间的一个线性变换，A的全体像组成的集合称为A的值域，用A表示. 所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，用A表示.若用集合的记号则A=, A=这里用 表示 A，公式里打不出来.1线性变换的值域与核都是的子空间.2A的维数称为 A的秩，A的维数称为A的零度.二、如何求值域、核1如何求线性变换的值域 ？定理10 设A是维线性空间的线性变换，是的一组基，在这组基下A的矩阵是，则1）A的值域A是由基像组生成的子空间，即A=2）A的秩=的秩.定理10说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变.A=，实质上是求它的一个线性极大无关组，即求矩阵 的列向量组的

2、一个极大线性无关组例1 在线性空间中，令D则D 的值域就是 .例2 令 ， 定义变换 ，对于 ， （1）证明 是线性变换 （2）求 的秩证明：（1）对于任取， 我们有 ，从而 是一个线性变换（2）显然 是 的一组基。， ， 从而 的像空间 由 生成，再证它们线性无关，得到 的秩是 2，2如何求线性变换的核对于 ，是的一组基，在这组基下 A的矩阵是，则， ， 我们得到 。从而 ， 即 的坐标满足这个齐次线性方程组；反之亦然 当且仅当 的坐标满足 在 例1中，D 的核就是子空间.在 例2 中, 求 的核 对于, 我们有 . 因为 从而有 得到 即:, 我们找到 的一组基 : , 三、 定理 设A是

3、维线性空间的线性变换，则A 的一组基的原像及A的一组基合起来就是的一组基. 由此还有A的秩+ A的零度=1推论 对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充要条件是它是满射.例：注意在上述推论中，要求是有限维线性空间，对于无限维线性空间，推论不一定成立，在线性空间中，令D则D 是满射，但不是单射.2虽然子空间A与A的维数之和为，但是A+ A并不一定是整个空间. 见例 1 例3 设是一个矩阵，证明相似于一个对角矩阵 证法1：设 是 维线性空间, 是的一组基，在这组基下矩阵对应着线性变换，即: =, 我们有 (1) 任取 , 我们有 , 即: (2) , 从而 (3) 在 中选取一组基 , 在 中选取一组基 ,则线性变换 在该基下的矩阵就是 , 从而 相似于它.证法2: 对于没有学过高等代数知识, 只学过线性代数可以这样做(1) , 我们得到 的特征值是0和 1(2) 下面证明 有 个线性无关的特征向量, (i) 矩阵 属于特征值 0的特征向量是 的非零解, 即 的非零解. 它的基础解系含 个解向量, 也就是 属于特征值 0的线性无关的特征向量有 个.(ii) 矩阵 属于特征值1的特征向量是 的非零解, 它的基础解系含 个解向量, 也就是 属于特征值 1的线性无关的特征向量有 个两者合起来, 矩阵 有线性无关的特征向量 个, 所以我们只须证明

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