2012年江西高考数学理科试卷(带详解)

1、2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科） 第I卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合，则集合中的元素的个数为（ ）A B. C. D. 【测量目标】集合的含义.【考查方式】考查了集合的互异性.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】集合、中元素两两相加得到，由集合的互异性可知集合中的元素的个数为.2.下列函数中，与函定义域相同的函数为 （ ）A B. C. D. 【测量目标】函数的定义域.【考查方式】考查了有关对数函数、指数函数、分式函数的定义域.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】函数的定

2、义域为,而答案中只有的定义域为.故选D.3.若函数，则 （ ）A. B.2 C. D. 【测量目标】分段函数. 【考查方式】考查分段函数的求值.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】，.4.若,则 （ ）A B. C. D. 【测量目标】二倍角.【考查方式】考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】，.5下列命题中，假命题为 （ ） A存在四边相等的四边形不是正方形. B为实数的充分必要条件是为共轭复数. C若，且则至少有一个大于. D对于任意都是偶数.【测量目标】四种命题及其之间的关系.【考查方式】以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数

3、、特称命题、全称命题、二项式定理等.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】（验证法）对于B项，令,显然，但不互为共轭复数，故B为假命题,应选B.6观察下列各式：，则 （ ）A B C D【测量目标】合情推理.【考查方式】考查归纳推理的思想方法.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】观察各等式的右边,它们分别为，,，发现从第项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为,，,，故.7在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则 （ ）A B C D【测量目标】三种距离公式.【考查方式】主要考查两点间的距离公式，以及坐标法这一重要的解题方法和数形结合的数学思想.【难易程度】中等

4、【参考答案】D【试题解析】取特殊的等腰直角三角形，令,，,.8某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过亩，投入资金不超过万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜吨万元万元韭菜吨万元万元为使一年的种植总利润（总利润总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为 （ ）A， B， C， D，【测量目标】二元线性规划的实际应用.【考查方式】考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.【难易程度】较难【参考答案】B【试题解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为亩,总利润为万元，则目标函数为.（步骤1）线性

5、约束条件为即（步骤2）做出不等式组表示的可行域,易求得点，.（步骤3）平移直线，可知当直线经过点,即时,取得最大值,且（万元）.（步骤4）故选B. 第题图 9.样本，的平均数为，样本，的平均数为，若样本，的平均数，其中，则的大小关系为 ( )A B C D不能确定【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】考查统计中的平均数，作差法比较大小以及整体思想.【难易程度】较难【参考答案】A【试题解析】由统计学知识，可得，.（步骤1）故.（步骤2）.即.（步骤3）10如图，已知正四棱锥所有棱长都为，点是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记，截 面下面部分的体积为，则

6、函数的图像大致为 （ ）第10题图 A B C D第10题图【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】本题综合考查了棱锥的体积公式，线面垂直，同时考查了函数的思想,导数法解决几何问题等重要的解题方法.【难易程度】较难【参考答案】A【试题解析】（定性法）当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越快；当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A图象符合.故选A. 第卷注：第卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11.计算定积分_【测量目标】微积

7、分基本定理求定积分.【考查方式】考查有关多项式函数，三角函数定积分的应用.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】.12.设数列，都是等差数列，若，则 _【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】考查等差中项的性质及整体代换的数学思想.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】解法一：数列，都是等差数列，数列也是等差数列.故由等差中项的性质，得，即，解得.解法二：设数列，的公差分别为，.13.椭圆的左、右顶点分别是,左、右焦点分别是,.若,成等比数列，则此椭圆的离心率为_.【测量目标】椭圆的简单几何性质与等比数列的性质.【考查方式】着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数

8、与方程，转化与化归思想.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：，.又已知,成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为.14.下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_.第14题图 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】考查算法程序框图的应用以及运算求解的能力.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】由程序框图可知：第一次:成立，,满足判断条件，继续循环； （步骤1） 第二次:不成立，满足判断条件，继续循环; （步骤2）第三次: 不成立，, 满足判断条件，继续循环; （步骤3）第四次: 成立，, 满足判断条件，继续循环; （步骤4

9、）第五次: 成立，不成立，不满足判断条件，跳出循环,故输出的值. （步骤5）三、选做题：请在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按第一题评阅计分.本题共5分.15.（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线的直角坐标方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线的极坐标方程为_.【测量目标】极坐标方程与直角坐标方程的互化.【考查方式】考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及转化与化归的数学思想.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得，又，所以.15.（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式的解集为_.【测量目标】绝对值不等式的解法.【考查方式】考查

10、绝对值不等式的解法以及转化与划归、分类讨论的数学思想.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】原不等式可化为或或由得；由得；由得,综上，得原不等式的解集为.四解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知数列的前项和,且的最大值为.（1）确定常数，求；（2）求数列的前项和.【测量目标】错位相减法求和.【考查方式】考查了数列的通项公式与前项和之间的关系以及错位相减法求和的应用能力.【难易程度】中等【试题解析】（1）当时，取最大值，即，故，从而，(步骤1)又，. （步骤2）（2），.（步骤3）17.（本小题满分12分）在中，角, 的对边分别

11、为，.已知，.（1）求证： ；（2）若，求的面积.【测量目标】诱导公式与正弦定理.【考查方式】给出三角形的三条边长及一个角，求证另外两角差为定值，并求三角形的面积.【难易程度】中等【试题解析】（1）由及正弦定理得：，（步骤1）即.整理得：，（步骤2）又，.（步骤3）（2） 由（1）及可得，又， ，（步骤4）. （步骤5）18.（本题满分12分）如图，从，这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积）.（1）求的概率；(2)求的分布列及数学期望.第18题图 【测量目标】几何概型.【考查方

12、式】给出样本数据，求概率及其分布列和数学期望.【难易程度】容易【试题解析】（1）从6个点中随机地选取3个点共有种选法，选取的3个点与原点在同一个平面上的选法有种，因此的概率.（步骤1）（2）的所有可能值为,因此的分布列为:（步骤2）由的分布列可得：（步骤3）19.（本题满分12分）在三棱柱中，已知，在底面的投影是线段的中点.（1）证明在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；（2）求平面与平面夹角的余弦值.第19题图 【测量目标】线面垂直的判定，二面角. 【考查方式】给出三棱柱的点、线、面之间的位置关系，求证线面垂直及二面角的余弦值.【难易程度】较难【试题解析】（1）证明：连接，在中，作于点，（

13、步骤1），,（步骤2）平面，,（步骤3）,（步骤4）平面,（步骤5） 平面, （步骤6） 又,.（步骤7）(2)如图所示，分别以,所在的直线为，轴建立空间直角坐标系，则,（步骤8）由（1）可知得点的坐标为，由（1）可知平面的法向量是，设平面的法向量，（步骤9）由，得，（步骤10）令，得，即（步骤11）（步骤12）即平面与平面夹角的余弦值是.（步骤13）第19题图 20. （本题满分13分）已知三点，曲线上任意一点满足.（1） 求曲线的方程；（2）动点在曲线上，曲线在点处的切线为：，是否存在定点，使得与,都相交，交点分别为,，且与的面积之比是常数？若存在，求的值.若不存在，说明理由.【测量目标】

14、平面向量的坐标运算，曲线与方程.【考查方式】给出三点坐标及曲线上的点所满足的等式，求曲线方程及动点问题的应用.【难易程度】较难【试题解析】（1）依题意可得，（步骤1）由已知得，（步骤2）化简得曲线的方程： .（步骤3）（2）假设存在点满足条件，则直线的方程是，直线的方程是，曲线在点处的切线的方程为，它与轴的交点为，由于，因此.（步骤4）当时，存在，使得，即与直线平行，故当时不符合题意（步骤5）当时，所以与直线,一定相交，分别联立方程组，（步骤6）解得,的横坐标分别是，(步骤7)则，（步骤8）又，有， （步骤9）又,于是.（步骤10）对任意，要使与的面积之比是常数，只需满足，（步骤11）解得，此

15、时与的面积之比为，故存在，使与的面积之比是常数.（步骤12）21. （本小题满分14分）若函数满足（1）；（2）对任意，有；（3）在上单调递减.则称为补函数.已知函数.（1）判函数是否为补函数，并证明你的结论； （2）若存在，使得，称是函数的中介元，记时的中介元为，且，若对任意的，都有,求的取值范围；（3）当，时，函数的图像总在直线的上方，求的取值范围.【测量目标】函数单调性的判断，不等式恒成立问题.【考查方式】给出一个新函数的定义，证明函数是否为此类函数，再求解不等式恒成立问题.【难易程度】较难【试题解析】（1）函数是补函数.证明如下：；（步骤1）；（步骤2）令，有，（步骤3），当时，在上单调递减，故函数在上单调递减.（步骤4）（2） 当，由，得： （*）（步骤5）当