131函数的奇偶性

1、函数的奇偶性,复 习 引 入,新 课 讲 解,经 验 交 流,巩 固 发 展,复 习 引 入 :,问题：观察函数f(x)=x2及g(x)=|x|的图像,f（x）= x2,f(x)=|x|,x,y,它们的图象都是关于y轴对称。,x,y,继续观察函数f(x)=x2图象，计算：,f(1) f(-1),f(2) f(-2),f(a) f(-a),猜想 : f(-x) _ f(x),=,继续观察函数f(x)=|x|图象，计算：,f(1) f(-1),f(2) f(-2),f(a) f(-a),猜想 : f(-x) _ f(x),=,x,y,-x,x,x,y,O,O,定义：如果对于函数f(x)的定义域内任

2、意一个x，都有f（-x）= f（x），那么函数 f（x）就叫作偶函数；,观察函数f(x)=x图象，计算：,f(1) f(-1),f(2) f(-2),f(a) f(-a),= 1 = -1,= 2 =-2,=a =-a,猜想 : f(-x) _ f(x),= -,观察函数f(x)= 图象，计算：,f(1) f(-1),f(2)= f(-2)=,f(a)= f(-a)=,= 1 = -1,x,y,O,x,y,O,既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数。,定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f（-x）= -f（x），那么函数 f（x）就叫作奇函数；,例5，判断下列函数的奇偶

3、性,问 f(x)= x2 在（-1，1 是否为偶函数？,答： 函数的定义域（-1，1 不是对称区间 f(x)= x2 在（-1，1 不是偶函数,1、f(x)=x4 f(x)=x2,f(x)=xn n为偶数,2、f(x)=2 f(x)=-5,f(x)=c c为常数,3、 f(x)= |x|,常见偶函数：,x,y,-1,1,1：判断下列函数是否为偶函数,（1）f(x) =,（2）f(x) =,（1）函数的定义域是（ - ，+ ）,（2）函数的定义域是（- ， + ）, f(-x)=(-x)2 + 1= x2 + 1, f(x)= x2+1 是偶函数, f(-x)=(-x)2+2(-x)+1=x2-

4、2x+1,解：, f(-x) = f(x), f(-x) f(x),2：判断下列函数是否为奇函数,（1）f(x) =, f(-x)= - f(x),解：,（2）函数的定义域是（- ， 0）（0 , + ）, f(x)= 是奇函数,（2）f(x) =,（1）函数的定义域是（0 , + ）不是对称区间,判断函数奇偶性的一般步骤：,1、看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则得 出结论：该函数无奇偶性。若定义域对称，则,2、计算f（-x），若等于f（x），则函数是偶函数；若等 于-f（x），则函数是奇函数。若两者都不满足，则函 数既不是奇函数也不是偶函数。,注意：若可以作出函数图象的，直接观察图

5、象是否关于y轴对称或者关于原点对称。,巩固练习：,判断下列函数的奇偶性：,（1）f(x)=x4+1 （2） f(x)= +x,解：（1）函数的定义域是（- ，+ ）,f(-x)=(-x)4 + 1= x4 + 1= f(x), f(x)= x4+1 是偶函数,（2）函数的定义域（ 0，+ ）不是对称区间,（3）f(x)=x3+|x|+1 （4） f(x)= x3+1, f(x)= + x既不是奇函数也不是偶函数,巩固练习：,判断下列函数的奇偶性：,（1）f(x)=x4+1 （2） f(x)= +x,解：（3）函数的定义域是（- ，+ ）, f(-x)=(-x)3 +1= - x3 + 1, f

6、(x)= x3+1既不是奇函数也不是偶函数,（4）函数的定义域是（- ，+ ）,（3）f(x)= x3+1 （4） f(x)= x-x3, f(-x)=(-x)-(-x)3=-(x-x3 )= - f(x), f(x)= x-x3 是奇函数,小结,(1),(2),(3),(4),偶函数,非奇非偶函数,奇函数,非奇非偶函数,判断下列函数的奇偶性,小结,o,o,o,o,x,x,x,x,y,y,y,y,已知: f(x)是偶函数，g(x)是偶函数， 证明: f(x) +g(x)是偶函数。,延伸与拓展：,分析: 设h(x)=f(x)+g(x) h(x)=f(x)+g(x)不是具体给出的函数, 无法作出图象 只能用定义证明 即需证明G(-x) = G(x) 而G(-x)= f(-x) +g(-x) =f(x) +g(x) G(-x) = G(x) 命题得证,现在你能直接说明f(x)=x2+|x|是偶函数了吗？,延伸与拓展：,奇函数 + 奇函数 = 奇函数 + 偶函数 = 偶函数 + 偶函数 = 奇函数 奇函数 = 奇函数 偶函数 = 偶函数 偶函数 =,类