数学分析2课件：9-1 不定积分复习

1、不定积分复习,1、原函数与不定积分的概念。,2、不定积分的计算： 基本思想化归为积分表中的积分；,常用积分方法：,1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、三角 恒等变形）；,2）换元法： 第一类（凑微分法）不需要变换式可逆； 第二类变换式必须可逆；,3）分部积分法常可用于两个不同类型函数乘积的积分； “反对幂三指，前者设为u”,4）三种特殊类型函数 “程序化”的积分法。,注：检验积分结果正确与否的基本方法。,1）没有万能的积分法； 2）有的初等函数的积分不是初等函数，从而“积不出来”，如,基本积分表,是常数),凑微分常见类型:,凑微分时常用到：,凑微分法就是设法把,一般没有规律可循，只有掌握

2、典型例题，多做多总结。,三角代换去掉如下二次根式：,可令,可令,可令,常用的三类代换:,当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令x=tn, （其中n为各根指数的最小公倍数）,当分母的阶分子的阶时, 可考虑试用倒代换：,第一节 定积分的概念,问题的提出 定积分的定义,第九章 定积分,1、 求平面图形的面积,一、问题的提出,会求梯形的面积，,曲边梯形的面积怎样求？若会，则可求出各平面图形的面积。,考虑如下曲边梯形面积的求法，其中f(x)是连续函数。,思路：用已知代未知，利用极限由近似到精确。,一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,用矩形面积近似

3、曲边梯形面积：,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当

4、分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,曲边梯形面积的计算：,曲边梯形面积的近似值为,小矩形面积和,2 、 求变速直线运动的路程,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度以其中某时刻的速度来近似，求出各小段上路程的近似，再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,（1）分割：,路程的精确值,（2）求和：,（3）取极限：,许多问题都会遇到这类形式的和式极限。,二、定积分的定义,定义1,这些分点或这些闭子区间称为对a,b的一个分割，记为,称为分割T的模,反映分割的细密程度。,|T|与分割T不是一一对应。,定义2,设f 是定义在a,b的一个函数，对于a,b的任意一个分割:,称此和式为函数f在a,b上的一个积分和或黎曼和。,注：积分和与分割T和点 的取法有关。,定义3,f是定义在a,b的一个函数，J是一个确定的数，,积分上限,积分下限,注：,且极限过程复杂，,（4）从定义看，不定积分与定积分风马牛不相及。,第3节将证明：,故前面两个例子可写为：,为曲边梯形的面积；,为曲边梯形的面积的负值。,三、定积分的几何意义,一般地,例1 计算,解,例2 利用定义计算定积分