第2章-工程制图投影理论

1、第二章 工程制图投影理论,2.1 投影面体系的建立 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影 2.5 几何要素之间的相对位置,本章知识点及要求:,掌握投影的概念，投影法的分类，正投影的投影特性，轴测图的概念； 掌握点、线、面的投影特征； 掌握特殊位置直线与平面的投影规律； 掌握直线与直线、平面与平面、平面与直线相对位置投影特性（直线或平面至少有一个为特殊位置）。,2.1 投影体系的建立,2.1.1 投影法的基本知识 2.1.2 三视图及其对应关系,2.1 投影体系的建立,建立一个平面P和不在该平 面内的一点S，在平面P和点S 之间放一物体A。过点S发射一 光线SA，SA与平面P

2、的交点a 称为物体A在平面P上的投影。 这种投射线通过物体，向选定 面投射，并在该面上得到图形的方法，称为投影法。,2.1.1 投影法的基本知识,（1）投影法,投影法,2.1 投影体系的建立,（2）投影法分类,中心投影法 ：投射线汇交一点的投影法。 平行投影法 ：所有投射线相互平行的投影法。,斜投影法：投射线与投影面相倾斜的平行投影法。 正投影法：投射线与投影面相垂直的平行投影法。,A,C,b,a,B,c,A,C,B,B,C,A,c,b,a,a,b,c,S,投射中心,投影面P,投射方向,投影面P,投影面P,投射方向,投射线,中心投影法,正投影法,斜投影法,2.1 投影体系的建立,仅有一个投影是

3、不能准确、真实地表达物体的形状。,为了表示形体的形状和大小，必须从几个不同的方向观察并画出形体的每个投影图。,2.1 投影体系的建立,2.1.2 三视图及其对应关系,主视图,俯视图,左视图,正面投影面V 面,水平投影面H 面,侧面投影面W 面,（正面投影）,（水平投影）,（侧面投影）,视图：用正投影法所得物体的图形称为视图。,2.1 投影体系的建立,两投影面之间的交线称为投影轴，分别用OX、OY、OZ表示。形体在正面上的投影称为正面投影；在水平面上的投影称为水平投影；在侧面上的投影称为侧面投影。,H,V,X,O,Z,Y,W,2.1 投影体系的建立,三视图的形成及其投影规律,2.1 投影体系的建

4、立,三视图的形成及其投影规律,点的投影 线的投影 面的投影,2.2 点的投影,2.2.1 点在三投影面体系中的投影 2.2.2 投影面和投影轴上的点 2.2.3 两点的相对位置及重影点,2.2.1 点在三投影面体系中的投影,H,V,X,Z,Y,W,O,A,点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定V面不动，H面向下旋转90，W面向右旋转90。,直观图,注意： 不同投影面上的字符不同 投影线用细实线,2.2.1 点在三投影面体系中的投影,点的V面投影与H面投影之间的连线垂直0X轴，aa0X ； 点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，a

5、a”0Z； 点的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z 轴的距离两者相等，反映点到V面的距离。 长对正 高平齐 宽相等,2.2.1 点在三投影面体系中的投影,例: 已知空间点A（15,15,20），试作出A点的三面投影。 作图过程如下： （1）画投影轴 （2）在X轴上量取坐标值为15mm， 并过该点作OX轴的垂线。 （3）在垂足上分别量取y轴和z轴 坐标长度得a和a （4）作aa OZ，得到a 完成A点的三面投影,Z,Yw,YH,X,O,15mm,a,a,20,15,a,注意： 不同投影面上的字符不同 投影线用细实线,2.2.2 投影面和投影轴上的点,投影面上的点 一个投影与投影面重合，另

6、两个投影投影轴上。 投影轴上的点 两个投影与投影轴重合，另一个投影在原点上。 与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。,H,V,X,Z,Y,W,Bb,b,b,aA,cC,c,c,O,a,2.2.3 两点的相对位置及重影点,（1）两点的相对位置,两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。,2.2.3 两点的相对位置及重影点,（2）重投影,D,c(d),a(b),a,b,A,B,若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。,c,d,C,O,

7、X,2.3 直线的投影,2.3.1 各种位置直线及投影特征 2.3.2 求一般位置直线段的实长及其与投影面的倾角 直角三角形法 2.3.3 直线上点的投影特征 2.3.4 两直线的相对位置及投影特征,点的投影 线的投影 面的投影,2.3 直线的投影,正投影所具有的共有特征： (1)实形性：当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。 (2)积聚性：当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。 (3)定比分割（类似性）：当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。,(1)实形性,P,当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。,(2)积聚性,P,当线段或平面垂直于投影面时，其

8、投影积聚为点或线段。,(3)类似性,P,当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。,2.3.1 各种位置直线及投影特征,三投影面体系中直线的位置可分为3大类： (1) 投影面平行线； (2) 投影面垂直线； (3) 一般位置直线；,2.3.1 各种位置直线及投影特征,（1）投影面平行线的投影特性,Y,YW,2.3.1 各种位置直线及投影特征,（2）投影面垂直线的投影特性,Y,2.3.1 各种位置直线及投影特征,（3）一般位置直线的投影特性,YW,2.3.2 求一般位置直线段的实长及其与投影面的倾角 直角三角形法,根据前面所述内容可知，只有特殊位置的直线在投影中才可以直接知道其实长以及与投影

9、面的夹角，一般位置直线的投影中则不可知。,一般位置直线段的实长及其与某一投影面的夹角？,直角三角形法,2.3.2 直角三角形法,直角三角形法的作图要领: 用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。 直角三角形的四要素: 直角三角形的四个要素即：实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。 已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。,2.3.2 直角三角形法,基于直角三角形法的制图内容： （1）求线段的实长及对水平投影面的夹角角 （2）求线段的实长及对正面投影

10、面的夹角角 （3）求线段的实长及对侧面投影面的夹角角,2.3.2 直角三角形法,（1）求线段的实长及对水平投影面的夹角角,|zA-zB|,O,过A作ACab得直角三角形ABC，其中AC=ab，BC=Bb-Aa=zB-zA，斜边AB即为实长，AB与AC的夹角即为AB对H面的倾角，这种方法称为直角三角形法。,2.3.2 直角三角形法,（2）求线段的实长及对正面投影面的夹角角,O,|yA-yB|,|yA-yB|,2.3.2 直角三角形法,（3）求线段的实长及对侧面投影面的夹角角,W,2.3.3 直线上点的投影特征,正投影的从属性：直线上的点其投影必在直线的同面投影上。 直线上点的投影还具有定比性。,

11、Z,Yw,YH,O,X,直线上点分线段之比等于其投影之比。,a,b,k,a,b,k,a,b,k,AK:KB=ak:kb=ak:kb=ak:kb,直线上定点的作图方法可解决一些直线的度量或定位问题！,2.3.4 两直线的相对位置及投影特征,空间两直线的相对位置： 平行、相交、交叉,共面直线,异面直线,共面直线,异面直线,空间两直线,平行,相交,交叉,垂直相交,一般相交,异面垂直,一般交叉,2.3.4 两直线的相对位置及投影特征,平行两直线的投影特征 相交两直线的投影特征 交叉两直线的投影特征 垂直两直线的投影特征直角投影定理,2.3.4 两直线的相对位置及投影特征,(1) 平行两直线的投影特征,

12、若空间两直线互相平行，其各组同面投影必平行。反之，若两直线的各组同面投影都互相平行，则空间两直线必平行。,判断两条一般位置直线是否平行：只要检查任意两个投影面上的投影的平行性。,2.3.4 两直线的相对位置及投影特征,(2) 相交两直线的投影特征,两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点符合点的投影规律。 反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点符合点 的投影规律，则该两直线相交。,b ,2.3.4 两直线的相对位置及投影特征,(3) 交叉两直线的投影特征,凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。,2.3.4 两直线的相对位置及投影特征,(3) 交叉两直线的投影特征（交叉二直线重影

13、点投影的可见性判断）,判断两重影点其积聚性投影的可见性时，需要看两重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,g(j),e(f),2.3.4 两直线的相对位置及投影特征,(4) 垂直两直线的投影特征直角投影定理 直角投影定理的必要和充分条件：两直线相互垂直，且其中一条直线平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。,O,X,H,c,a,A,B,C,b,a,b,c,a,b,c,2.3.4 两直线的相对位置及投影特征,(4) 垂直两直线的投影特征直角投影定理,推理一：过空间一点向投影面的平行线作垂线，可以作无数条，但其中必有一条垂直相交。

14、,c,c,X,O,a,b,a,b,c,c,X,O,a,b,a,b,(a)已知条件,(b)作图,过点C作直线正平线AB,d,d,2.3.4 两直线的相对位置及投影特征,(4) 垂直两直线的投影特征直角投影定理,推理二：过空间一点向一般位置直线作垂线，只能成为交叉垂直。,d,d,(b)作正平线,(c)作水平线,d,d,2.3.4 两直线的相对位置及投影特征,(4) 垂直两直线的投影特征,例：过点A 作EF 线段的垂线AB。,2.3.4 两直线的相对位置及投影特征,(4) 垂直两直线的投影特征,例： 求点E 到水平线AB 的距离。,X,O,a,b,a,b,e,e,d,d,yD-yE,所求距离,点的投

15、影 线的投影 面的投影,2.4 平面的投影,2.4.1 平面的表示法 2.4.2 各种位置平面及投影特征 2.4.3 平面内的点和直线,2.4 平面的投影,2.4.1 平面的表示法 平面的表示法：几何元素平面法、迹线平面法。,不在同一直 线上的3点,一直线和直 线为一点,两相交直线,两平行直线,任意平面 几何图形,2.4 平面的投影,2.4.2 各种位置平面及投影特征 平面在三投影面体系中的位置可分为3类：一般位置平面、投影面垂直平面、投影面平行面。 为了讨论平面的度量特征，规定空间平面与H面、V面、W面的两面夹角分别用、表示。,2.4 平面的投影,一般位置平面,投影特性： （1 ）abc 、

16、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形。 （2 ）不直接反映、 。,2.4 平面的投影,(2) 投影面垂直面,H,2.4 平面的投影,(3) 投影面平行面,2.4.3 平面内的点和直线,点和直线在平面上的几何条件：,（1）点在平面上的几何条件： 点必在平面内的某一直线上。 （2）直线在平面上的几何条件： 通过平面上的两点； 通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。 应用：在平面上取点、直线，实质上是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题： 判别已知点、线是否属于已知平面。 完成已知平面上的点和直线的投影。 完成多边形的投影。,2.4.3 平面内的点和直线,

17、(1) 平面内的点,a,d,b,c,c,b,d,a,点必在平面内的某一直线上。,2.4.3 平面内的点和直线,(2) 平面内的直线,a,d,b,c,c,b,d,a,通过平面上的两点。,e,e,a,d,b,c,c,b,d,a,e,e,通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。,2.4.3 平面内的点和直线,例：已知平面由两平行直线AB、CD确定，试判断点M是否在该平面内。,d,b,a,c,a,b,c,d,X,O,m,m,(a) 已知条件,s,t,s,t,(b) 作图,检验M点的水平投影m是否在st直线上。（当前情况M点不在该平面内）,2.4.3 平面内的点和直线,(3) 特殊位置平面内的点和直线

18、 特殊位置的平面在它所垂直的投影面上的投影积聚成为直线，因此特殊位置平面上的点、直线或平面图形，在该投影面上的投影都位于平面积聚性的这条直线上。,例：已知点A、点B和直线CD的两面投影。 （1）试过点A作正平面。 （2）过点B作正垂面，使=45 （3）过直线CD作铅垂面,2.4.3 平面内的点和直线,(3) 特殊位置平面内的点和直线,45,例：已知点A、点B和直线CD的两面投影。 （1）试过点A作正平面。 （2）过点B作正垂面，使=45 （3）过直线CD作铅垂面,2.4.3 平面内的点和直线,(4) 平面内投影面的平行线,PV,PH,平面上投影面平行线既在平面上又平行于投影面的直线。 在一个平

19、面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关系。,水平线,正平线,X,O,2.4.3 平面内的点和直线,(4) 平面内投影面的平行线,a,b,c,b,a,c,m,n,n,m,例： 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面 的水平线。,X,O,2.4.3 平面内的点和直线,(4) 平面内投影面的平行线,例：已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面10，试求点E的投影。,O,2.5 几何要素之间的相对位置,2.5.1 直线与平面及两平面平行（平行问题） 直线与平面平行 两平面平

20、行 2.5.2 直线与平面及两平面相交（相交问题） 特殊位置平面或直线与一般位置直线或平面相交 特殊位置平面与一般位置平面相交 2.5.3 直线与平面及两平面垂直（垂直问题） 直线与平面垂直 两平面相互垂直,2.5.1 直线与平面及两平面平行,(1) 直线与平面平行,若一直线平行于平面上的一直线，则该直线与平面平行。反之，若平面上不存在与此直线平行的直线，则可断定直线与平面不平行。,2.5.1 直线与平面及两平面平行,(1) 直线与平面平行（存在积聚性时）,若平面的投影中有一个具有积聚性时，则判别直线与平面是否平行只需看平面有积聚性的投影与已知直线的同面投影是否平行即可。,(a)直观图,X,2

21、.5.1 直线与平面及两平面平行,(1) 直线与平面平行,例：过已知点K，作一水平线KM平行于已知平面ABC,m,d,m,d,分析：ABC上的水平线有无数条，但其方向是确定的，因此过K点作平行于ABC的水平线也是唯一的。,作图步骤 先在ABC内任作水平线AD 再过点K作KMAD即kmad，k m a d， 则直线KM为一水平线且平行于已知平面ABC。,2.5.1 直线与平面及两平面平行,(2) 两平面平行,若一平面上的两相交直线对应地平行于另一平面上的两相交直线，则这两个平面平行。,2.5.1 直线与平面及两平面平行,(2) 两平面平行,例：试判断两平面是否平行,结论：两平面平行,X,O,2.

22、5.2 直线与平面及两平面相交,(1)特殊位置平面或直线与一般位置直线或平面相交,直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。,P,A,B,K,D,B,C,A,L,K,E,F,2.5.2 直线与平面及两平面相交,(1)特殊位置平面或直线与一般位置直线或平面相交,b,b,a,a,c,c,m,m,n,n,X,O,当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影

23、上找到。,2.5.2 直线与平面及两平面相交,(1)特殊位置平面或直线与一般位置直线或平面相交,b,b,a,a,c,c,m,m,n,k,n,直线可见性判断：特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能够直接判别直线的可见性-观察法，由水平投影可知KM段在平面前，故正面投影上k m 为可见。,X,O,2.5.2 直线与平面及两平面相交,(1)特殊位置平面或直线与一般位置直线或平面相交,H,C,D,E,F,(a)直观图,A,B,b,d(e),c(f),K,k,a,分析：交点K是直线AB与铅垂面CDEF的共有点。 根据平面投影的积聚性及直线上点的投影特性，可知交点的水平投影k必在平面的水平投影cdef

24、和直线的水平投影ab的交点处。 再根据K在直线上的特征求出交点K的正面投影k。,例：求直线AB与铅垂面CDEF的交点，并判断直线AB的可见性。,2.5.2 直线与平面及两平面相交,(1)特殊位置平面或直线与一般位置直线或平面相交,k,k,不可见线段画成虚线，交点是可见与不可见的分界点。,2.5.2 直线与平面及两平面相交,(1)特殊位置平面或直线与一般位置直线或平面相交,X,O,a,a(b),b,c,d,c,e,f,d,f,k,k,分析：直线AB是铅垂线，H投影有积聚性，故交点的H投影k必和a（b）重合。又因交点K是CDE上的点，因此可用求面上取点的方法，求出K点的V面投影k。,e,可见性判别

25、-重影点法 点位于AB上在前。点 位于平面上在后；故k1为可见。,1（2）,2,1,例：求正垂线AB与平面CDE的交点，并判别直线AB的可见性。,2.5.2 直线与平面及两平面相交,(2)特殊位置平面与一般位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。,b,b,a,c,f,d,e,e,a,d,f,l,k,l,X,O,c,k,例：求 ABC与 DEF的交线，并判别可见性。,2.5.2 直线与平面及两平面相交,(2)特殊位置平面与一般位置平面相交,X,O, ABC与 DEF的交线,2.5.2 直线与平面及两平面相交,(2)特殊位置平面与一般位置平面相交,平面可见性的判别,X,O,2.5.2 直线与平面及两平面相交,(2)特殊位置平面与一般位置平面相交,X,O,a,c,b,d,e,f,a,b,c,d,e,f,两个平面同时垂直于某投影面，其交线为该投影面垂直线。两正垂面ABC与DEF相交，交线为正垂线。,abc与def的交点1(2) 即为交线的正面投影，由此在ac上求