微分方程数值解法课程设计报告

1、 微分方程数值解课程设计T5-分别利用欧拉公式、改进的欧拉公式和经典的四级四阶龙格-库塔公式求解常微分方程组的初值问题课设题目： 团队成员： 丘凯倩 江雨芮 黄东方 曲 健 代永轩 指导教师：王春武二一四年六月十六日目 录一、第十组团队成员及分工3二、研究问题4三、理论分析4四、数值方法6五、计算结果8六、总结及体会11一、第十组团队成员及分工【丘凯倩】 组长统一规划团队课程设计分工，并及时分配任务。同时，负责给出格式、求解格式的截断误差，对小组成员的成果进行最终汇总。【江雨芮】 组员分析课设题目，运用MATLAB进行总体编程，负责代码改进与调试工作，并给出各个格式的程序流程图。【黄东方】 组

2、员分析课设题目，给出“欧拉公式”的求解方法及编程思路，代表小组进行汇报展示。【曲 健】 组员按组长分配的任务，给出“改进欧拉公式”的求解方法及编程思路，并负责PPT及课程设计报告的撰写工作。【代永轩】 组员配合团队其他成员，给出“四级四阶R-K法”的求解方法及编程思路，并负责PPT及课程设计报告的撰写工作。二、研究问题分别利用欧拉公式、改进的欧拉公式和经典的四级四阶龙格-库塔公式求解常微分方程组的初值问题：。三、理论分析1.欧拉公式为简化分析，人们常在的前提下估计误差。这种误差称为局部截断误差。对于欧拉格式，而按泰勒公式展开有因此有所以欧拉公式的截断误差为。2.改进的欧拉公式截断误差：3.四级

3、四阶龙格-库塔公式截断误差：将展开二元泰勒级数到项。再由比较同幂次级数可得四、数值方法1.欧拉格式流程图结束开始N=n+1x0=x1,y0=y1n=1输出x1,y1输入x0,y0,h,Nn=N?否是否 2.改进的欧拉格式流程图结束开始N=n+1x0=x1,y0=y1n=1输出x1,y1输入x0,y0,h,Nn=N? 否 是否3.四级四阶的龙格库塔公式流程图结束开始n=1输出x1,y1输入x0,y0,h,Nn=N?N=n+1x0=x1,y0=y1否是否 五、计算结果精确解（下面实线）欧拉格式的解（上面实线）改进的欧拉格式的解（红线）四级四阶的龙格库塔的解（黑点） （y1图）（y2图）5-1：欧拉

4、格式误差表格无穷范数误差精度1-范数误差精度2-范数误差精度506.72760.968783.45130.978317.37320.97351003.57800.983086.51960.988012.77540.98562001.84690.991188.16280.99379.21930.99254000.938689.01376.58705-2：改进的欧拉格式误差表格无穷范数误差精度1-范数误差精度2-范数误差精度502.81221.048340.21431.04347.78551.04571001.40751.025239.71931.02245.42881.02372000.7036

5、1.012939.45201. 01143.80941.01214000.351739.31332.68295-3：四级四阶龙格库塔格式误差表格无穷范数误差精度1-范数误差精度2-范数误差精度502.71771.0250 39.17131.02547.55571.02521001.38221.012439.17111.01265.34351.01252000.69701.006239.17111.00633.77851.00634000.350039.17112.6719 六、总结及体会由以上可知，在计算精度上，四阶经典龙格-库塔方法的误差最小，改进欧拉方法其次，欧拉方法误差则比较大，所以四阶经典龙格-库塔方法得到最佳的精度。而在计算量上面，相应地，很明显的四阶经典龙格-库塔方法也是最大，改进欧拉方法其次，欧拉方法计算量最小。这样的结果，说明了运用以上三种方法时，其计算量的多少与精度的大小成正比。我们在实际运用与操作中，可以根据实际情况，选择这3种方法中的其中一种最适合的。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。我们平时总感觉学的很好，但当我们真正做事时才发现它的困难，这份报告不仅仅是我们团队精诚合作，互帮互助的结晶，更是我们勇于探索，坚持不懈的付出。经过两天小组间的讨论与摸索，我们对于这三种方法有了系统而全面的认识和理解。在完成设计中，我们分工明确，迅速执行。同时，我们还不