1 2随机事件的概率

1、1.2的概率随机的概率一定义1.1随机A发生的可能性大小的度量A发生的概率.记作 P( A)（数值）称为probability定义概率：统计定义、公理化定义、古典定义、几何定义.频率:定义在 n次重复试验中,若A发生了k 次,k则称 k为 在这n次试验中A发生的频数,称nk为在这n次试验中，A发生的频率, 例如，掷骰子设A = 1, 2 为“点数小于3”.记为fn ( A) = n如果总共掷了100次,其中 “1点”出了15“2点”出了19次则，在10次0次, 重复试验中,A发生了34 次,34 为在这100次重复试验中A发生的频数.34= 0.34 为在100次重复试验中,A发生的频率.10

2、0在 n次重复试验中,A发生的频数,定义则称 k为若A发生了k 次,k 称为A发生的nk频率, 记为fn ( A) = n频率具有以下性质:非负性对任何A,有0 fn ( A) 1有限可加性 任意m个互不相容的1 , A2 ,., Amfn ()满足mm=fn ( Ai )i=1Aii =1正则性 fn (W ) = 1证1 设在n次试验中,A出现了k次,则0 k n,f( A) = k 1从而0 nn 在每次试验中都发生, 故在n次证2必然试验中发生了n次，从而 fn (W ) = n= 1nA1出现了 k次1由于这m个设在n次试验中,Am出现了 km次.证3k2 次,A2出现了互不相Am

3、发生了它们不可能同时发生,故A1A2.k1 + k2 + . + km次, 从而()+k+ . + kmk= k1 + k2+ . + km =mm=fA12f( A )i=1nininnnni =1试验序号n=10n=100n=600kfn(A)kfn(A)kfn(A)12345243790.20.40.30.70.964474640590.640.470.460.400.593152962943123000.5250.4930.4900.5200.500试验者试验次数频数频率频率- 0.5迪摩根蒲丰费 勒皮尔孙皮尔孙2048404010000120002400030000106120484

4、979601912012149940.51810.50690.49790.50160.50050.49980.01810.00690.00210.00160.00050.0002在充分多次试验中,发生的频率总在一个定值附近摆动,试验次数越多, 摆动的幅度一般越小, 这个性质称为频率的稳定性.频率的稳定性是随机现象统计规律性的典型表现,是概率这一概念的经验基础.我们称这个频率的稳定值概率,记为P(A)为随机A发生的这个定义称为概率的统计定义.例如，抛一枚硬币，正面出现的概率为 0.5三、概率的公理化定义定义1.2 设试验的样本空间为,对于每一个A,都有一个实数 P( A)与之对应:A P( A)

5、如果这种对应关系满足下面三条公理:公理1P(W ) = 1公理2 对任何A, 都有 P( A) 0公理3对任意可数个两两不相容的,()n=1A , A ,., A,., 有 P=P( A)A12nnnn=1则称P( A) 为A的概率. P() 称为上的一个概率测度. 具有测度P() 的样本空间 称为一个概率空间, 记作 (W, P )说明:对应关系 A P( A) 是从域 F到数集 0, 1 的映射。P(W ) = 1,公理1说明, 必然P( A) 0, 公理2说明, 任一的概率为1;的概率都不是负数;P (An )=P( A), 公理3说明,可列个若两两nn=1n=1不相容, 则它们至少一个

6、发生的概率正好等于它们各自概率的和.四、 概率测度的其它性质1. P (F) = 0证由于F = FFFFF.所以P(F ) =P(F)= P(F ) + P(F ) + .+ P(F ) + . P(F ) + .+ P(F ) + . = 0又 P(F ) 0 P(F ) = 0,2. 任意有限个 互不相容的的概率,等于它们的概率之和.之和A1 , A2 ,., An()nn=P( A )P特别地,Aiii=1i =1若A与B互不相P ( A + B) = P ( A) + P ( B )则证 Pn= AFFFAA.Ai12ni=1(Ai ) = P( A1nFA2.An.)i =1= P

7、( A1 ) + P( A2 ) + . + P( An ) + P(F ) + P(F ) + .= P( A1 ) + P( A2 ) + . + P( An )P(F ) = 0AB.AA3A1A2A5容4I3.如果A1 , A2 ,., An ,. 是一完备组,则 P ( A ) = 1iiA, A, 有特别地, 对于对立P ( A) + P ( A) = 1证 由于 A1 , A2 ,., An ,.是完备组, 故它们Ai两两不相容，且= Wi()= P ( Ai )证毕1 =P(W ) = PAiiiP ( A ) =1 - P ( A)AAA1A2A3An4.如果 B A, 则P

8、 ( B - A) =P ( B) - P ( A)证(B - A)B A B = A(B - A)= FA(B - A) = P ( A) +P(B - A)从而 P(B) = P A证毕 P(B - A) = P(B) - P( A)一般情况下,P ( B - A) = P (B - ABAB )B-AB B= P ( B ) - P ( AB )ABA4.如果 B A, 则0 P ( B - A) = P ( B) - P ( A) P ( A) P ( B)如果 A B, 则 P( A) P(B)推论对任何A W ,A P( A) P(W ) = 1 P( A) 0,1 BA对任意A与

9、B ，有5.P ( A + B ) =P ( A) + P ( B ) -P ( AB )（加法公式）证(B -AB)B =AAA(B - AB)= F P ( A + B ) =P A(B - AB) = P ( A) +P ( B - AB )= P ( A) +P ( B ) - P ( AB )BA5. 对任意A与B ，有P ( A + B ) =P ( A) + P ( B ) -P ( AB )有5对任意三个A, B,C ,P( A + B + C ) =P( A) + P(B) + P(C ) -P( AB) - P( AC ) - P(BC ) + P( ABC )A, B,C

10、 , D, 有5对任意四个P( A + B + C + D ) =P( A) + P(B) + P(C ) + P( D)- P( AB) -P( AC ) -P( AD) -P(BC ) -P(BD) -P(CD)+ P( ABC )+ P( ABD)+ P( ACD) + P(BCD) - P( ABCD)一般地，()n=P Aii =1nP( A A ) +P( A A A) -P( A ) -1i jkni=1ijkiji1i jn+(-1)n-1 P( A A .A)12n例P (A解设A,B为两个, 且 P( A) = 0.6,P(B) = 0.5,B ) = 0.7, 求 P(

11、AB), P( AB), P( A B)B) = P( A) + P(B) -P( AB)= 0.6 + 0.5 - P( AB)0.7 =P( A P( AB) = 0.6 + 0.5 -0.7= 0.4P( AB) = P( A - B)= P( A - AB) = P( A) -P( AB)= 0.6 - 0.4 = 0.2P( AB) = 1 - P( AB) = 1 - 0.4= 0.6P( AB) = P( A + B) = 1 - P( A + B)= 1 - 0.7= 0.3例设A,B是两个,已知A和B至少一个发生的概率为1 , A发生且B不发生的概率为 1 ,求B发生39的概率.已知 P( A + B)= 1 ,P( A - B) = 1 , 求P(B)解3913= P( A + B) = P( A) + P(B) - P( AB)1 = P( A - B) =P( A - AB)= P( A) - P( AB)9 1 = 1 + P(B)P(B) = 1 - 1 = 239399例某商店开展送货服务, 按期交货(记为A)的概率为0.7,正确交货(记为B ) 的概率为 0.8,既按期又正确交货的概率为0.6, 求(1) 既不按期又不正确交货的概率. P ( AB )P ( A + B )(2) 服务质量不好的概率.解已知P( A)