线线角与线面角的题型与解法

1、线线角与线面角高考考纲透析：线线,线面,面面的平行与垂直,异面直线所成角,直线与平面所成角高考热点： 异面直线所成角,直线与平面所成角知识整合:1.转化思想:将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形;2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证热点题型1例1、如图, 在直三棱柱中， ，点为的中点. ()求证;来源:K() 求证;来源:高考资源网()求异面直线与所成角的余弦值.解析;异面直线所成角的平面角顶点O的选取一般选在两异面直线的端点处,初

2、学者或观察能力有限者可采用穷举法,实行逐个端点考察,也有取在某线段的中点处.解：（I）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5， ACBC，且BC1在平面ABC内的射影为BC， ACBC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE， D是AB的中点，E是BC1的中点， DE/AC1， DE平面CDB1，AC1平面CDB1， AC1/平面CDB1；（III） DE/AC1， CED为AC1与B1C所成的角，在CED中，ED=AC 1=，CD=AB=，CE=CB1=2， ， 异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值.解法二： 直三棱锥底面三边长，两两垂直.如图建立坐标系

3、，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0, 0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0) (),.()设与的交点为E，则E(0,2,2) .() 异面直线与所成角的余弦值为.热点题型2例2、如图，在斜三棱柱中，侧面与底面ABC所成的二面角为， E、F分别是棱的中点（）求与底面ABC所成的角（）证明平面（）求经过四点的球的体积.解：（）过作平面，垂足为连结，并延长交于，于是为与底面所成的角，为的平分线又，且为的中点因此，由三垂线定理，且，于是为二面角的平面角，即由于四边形为平行四边形，得（）证明：设与的交点为，则点为的中点连结在平行四边形中，因为的中点，故而平面，平面，

4、所以平面（）连结在和中，由于，则，故由已知得又平面，为的外心设所求球的球心为，则，且球心与中点的连线在中，故所求球的半径，球的体积热点题型3例3、如图，在四棱锥PABC右，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.（）求直线AC与PB所成角的余弦值；（）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.解法一：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），E（0，2）.从而=（，1，0），=（，0，-2）.设与的夹角为，则，AC与PB所成角的余弦值为.（）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），则.由NE面PAC可得：即化简得即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，解法二：（）设ACBD=O，连OE，则OE/PB，EOA即为AC与PB所成的角或其补角.在AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，.即AC与PB所成角的余弦值为.（）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.连PF，则在RtADF中DF=.设N为PF的中点，连NE，则NE/DF，DFAC，DFPA，DF面PAC从而NE面PA