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文档简介

1、第四节,一、隐函数的导数,二、对数求导法,隐函数及由参数方程所确,定的函数的导数,第三章,三、由参数方程确定的函数的导数,四、相关变化率,一、隐函数的导数,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,例1,解,解得,例2,解,所求切线方程为,显然通过原点.,例3. 设,由方程,确定 ,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导, 得,当,时,故由 得,再代入 得,求,二、对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对数, 然后等式两边求导求出导数.,-对数求导法,适用范围:,例4,解,等式两边取对数得,例5,解,等式两边

2、取对数得,指数求导法,例6. 求下列导数:,解: (1),(2),三、由参数方程确定的函数的导数,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,由复合函数及反函数的求导法则得,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,?,已知,注意 :,例7,解,例8,解,所求切线方程为,解,例9,例10. 设, 且,求,解:,例10. 抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.,解: 先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设 为切线倾角,则,抛射体轨迹的参数

3、方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,速度的方向,例11. 设由方程,确定函数,求,解: 方程组两边对 t 求导 , 得,故,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数,3. 参数方程求导法,极坐标方程求导,4. 相关变化率问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,相关变化率之间的关系式,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,思考与练习,1. 求螺线,在对应于,的点处的切线方程.,解: 化为参数方程,当,时对应点,斜率, 切线方程为,2. 设,求,提示: 分别用对数微分法求,答案:,求其反函数的导数 .,解:,方法1,方法

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