数学函数单调性

1、,一天24小时内气温随时间变化曲线图,能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？,函数的这种性质称为函数的单调性,此起彼伏,每况愈下,蒸蒸日上,函数的单调性,回顾,我们初中学过的函数,x,y,O,x,y,O,x,y,O,-1,例1：画出下列函数的图象,（1）y = x,x,y,y = x,O,1,1,例1：画出下列函数的图象,（1）y = x,x,y,y = x,O,1,1,例1：画出下列函数的图象,（1）y = x,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；,x,y,y = x,O,1,1,例1：画出下列函数的图象,（1）y = x,此函数在区间

2、 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；,x1,f(x1),x,y,y = x,O,1,1,例1：画出下列函数的图象,（1）y = x,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；,x1,f(x1),x,y,y = x,O,1,1,例1：画出下列函数的图象,（1）y = x,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；,x1,f(x1),x,y,y = x,O,1,1,例1：画出下列函数的图象,（1）y = x,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；,x1,f(x1),x,y,y = x,O,1,1,例1：画出下列函

3、数的图象,（1）y = x,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；,x1,f(x1),（-, + ）,（2）y = x2,例1：画出下列函数的图象,O,x,y,y = x2,（2）y = x2,例1：画出下列函数的图象,1,1,O,x,y,y = x2,（2）y = x2,例1：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。,O,x,y,y = x2,（2）y = x2,例1：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。,x1,f(x1),O,x,y,y = x2,（2）

4、y = x2,例1：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。,f(x1),x1,O,x,y,y = x2,（2）y = x2,例1：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。,f(x1),x1,O,x,y,y = x2,（2）y = x2,例1：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。,f(x1),x1,O,x,y,y = x2,（2）y = x2,例1：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的

5、增大而减小。,f(x1),x1,O,x,y,y = x2,（2）y = x2,例1：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。,f(x1),x1,O,x,y,y = x2,（2）y = x2,例1：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。,f(x1),x1,（-, 0 ,0, + ),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,0,y,x1,x

6、2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,对区间I内 x1，x2 ， 当x1x2时， 有f(x1)f(x2),图象在区间I逐渐上升,？,O,思考,对区间I内 x1，x2 ， 当x

7、1x2时， 有f(x1)f(x2),x1,x2,？,I,f(x1),f(x2),O,M,N,任意,区间I内随着x的增大，y也增大,图象在区间I逐渐上升,一般地，设函数y f(x) 的定义域为I，区间D I,如果对于区间D内的任意两个值x1、x2，当x1x2时，都 有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间D上是单调增函数， D称为yf(x)的单调增区间,如果对于区间D内的任意两个值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间D上是单调减函数，D称为yf(x)的单调减区间,若函数yf(x)在区间D上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数yf(x) 在区间D上

8、具有单调性单调增区间和单调减区间统称为单调区间,1、单调增函数与单调减函数,区间D,任意,当x1x2时，都,有f(x1)f(x2),2、单调性、单调区间,思考,如果函数f（x）：在（1,2）上单调递增，在2,3)也单调递增，那么函数在（1,3）上是否一定单调递增？,例、下图为函数 ， 的图像，指出它的单调区间。,1,2,3,-2,-3,-2,-1,o,-4,-1,y,-1.5,-1.5，3，5，6,-4，-1.5，3，5，6，7,Attention！,多个单调区间之间，不要轻易用！ 用 逗号“，”即可！,证明：函数 在R上是单调减函数,证：在R上任意取两个值 ，且 ，,取值,作差变形,定号,下

9、结论,例2,证明：函数 在区间 (1，）上是单调增函数,证：在区间(1，）上任意取两个值 ，且 ，,取值,作差变形,定号,下结论,例3,证：在区间（，0）上任意取两个值 ，且 ，,证明：函数在区间（，0） 上是单调减函数,取值,作差变形,定号,则,下结论,例4,例5 试判断函数y= x2 + x 在（0，）上是增函数还是减函数？并给予证明。,解：函数y= x2 + x 在（0，）上是增函数,下面给予证明：,设 x1，x2 为区间(0,)上的任意两个值，且x1x2，,则f (x1) f (x2)= (x12 + x1 ) (x22 + x2 ),=( x12 x22) + (x1 x2),又 x2 x1 0，,所以函数y= x2 + x 在（0，）上是增函数,= (x1 x2) (x1 + x2) + (x1 x2),=