Part3-第14章-大跨度桥梁的稳定理论

1、大跨度桥梁,同济大学桥梁工程系 大跨度桥梁研究室,第十二章,稳定理论,1 概 述 2 第一类弹性及弹塑性稳定分析 3 拱桥稳定分析和非保向力效应 4 材料非线性问题 5 第二类稳定问题和极限承载力全过程分析 6 小 结,第十二章 大跨度桥梁的稳定理论,本章主要内容,1. 概述,1.1 稳定理论的发展,什么是结构失稳？ 结构在外力增加到某一量值时，稳定性平衡状态开始丧失，稍有扰动，结构变形迅速增大，使结构失去正常工作能力的现象 稳定问题的重要性 随着桥梁跨径的不断增大，桥塔高耸化、箱梁薄壁化以及高强材料的应用，结构整体和局部的刚度下降，使得稳定问题显得比以往更为重要 桥梁结构的失稳形态 桥梁结构

2、的失稳现象表现为结构的整体失稳或局部失稳 局部失稳是指部分子结构的失稳或个别构件的失稳，局部失稳常常导致整个结构体系的失稳,桥梁失稳事故的发生促进了桥梁稳定理论的发展 1744年，欧拉(L.Eular)就提出了压杆稳定的著名公式 彭加瑞(A.Poincare,1885)明确了稳定概念，并推广到流体力学的层流稳定问题中，即稳定分支点的概念 恩格塞(Engesser)和卡门(Karman)等根据大量中长压杆在压曲前已超出弹性极限的事实，分别提出了切线模量理论和折算模量理论 普兰特尔和米歇尔几乎同时发表了关于梁侧倾问题的研究成果,1.1 稳定理论的发展(续),薄壁轻型结构的使用，提出了稳定新课题 瓦

3、格纳(H.Wagner,1929)及符拉索夫(1940)等建立关于薄壁杆件的弯扭失稳理论 证明其临界荷载值大大低于欧拉理论值，且不能用分支点的概念来解释 引入了极值点失稳的观点以及跳跃现象的稳定理论 稳定理论与非线性理论的联系密不可分 只有通过对结构几何非线性关系以及材料非线性本构关系的研究，才能深入揭示复杂稳定问题的实质,1.1 稳定理论的发展(续),研究结构稳定问题的两种形式 1)第一类稳定：分支点失稳 从小范围内观察，以小位移理论为基础 2)第二类稳定：极值点失稳 从大范围内研究，以大位移非线性理论为基础 由于第一类稳定问题是特征值问题，求解方便，在许多情况下两类问题的临界值又相差不大，

4、因此研究第一类稳定问题仍有着重要的工程意义,1.2 两类稳定问题,静力平衡法 从平衡状态来研究压杆屈曲特征，即研究载荷达到多大时，弹性系统可以发生不同的平衡状态 实质是求解弹性系统的平衡路径(曲线)的分支点所对应的载荷值(临界载荷) 能量法 求弹性系统的总势能不再是正定时的载荷值,1.3 稳定问题的求解方法简介,振动法 当压杆在给定的压力下，受到一定的初始扰动之后，必将产生自由振动 如果振动随时间的增加是收敛的，则压杆是稳定的 缺陷法 由于缺陷的影响，杆件开始受力时即产生弯曲变形 在一般条件下缺陷总是很小的，弯曲变形并不显著 当荷载接近临界值时，变形才迅速增大，由此确定失稳条件,1.3 稳定问

5、题的求解方法简介,对于欧拉压杆而言，所得到的临界荷载值是相同的 但它们的结论并不完全一样，表现在以下几个方面 (1)静力平衡法 当P=P1、P2.Pn时压杆可能发生屈曲现象，无法判断何种情况最可能失稳 在PP1、P2.Pn时，屈曲的变形形式不能平衡，无法回答直线形式的平衡是否稳定的问题,1.3 稳定问题的求解方法简介(续),(2)缺陷法 当P=P1、P2.Pn，杆件将发生无限变形 但对于P在P1、P2.Pn各值之间时压杆是否稳定的问题也不能解释 (3)能量法和振动法 PP1之后不论P值多大，压杆直线形式的平衡都是不稳定的 和事实完全一致,1.3 稳定问题的求解方法简介(续),由于桥梁结构的复杂

6、性，不可能单靠上述方法来解决其稳定问题 大量使用的是近似求解方法： 从微分方程出发，通过数学上的各种近似方法求解 如逐次渐近法 基于能量变分原理的近似法 如Ritz法，有限元方法可以看成是Ritz法的特殊形式,1.3 稳定问题的求解方法简介(续),在发生第一类失稳前，结构在初始构形线性平衡，大位移矩阵0KL为零 不论T.L还是U.L列式，表达形式是统一的,在结构处在临界状态下，即使R0，u也有非零解 按线性代数理论，必有：,(12-4),(12-3),2.第一类弹性及弹塑性稳定分析,2.1 第一类稳定问题的线弹性有限元分析,2.1 第一类稳定问题的线弹性有限元分析(续),发生第一类失稳前满足线

7、性假设，应力与外荷载以及几何刚度为线性关系 若某种参考荷载 对应的结构几何刚度阵为,式(124)可写成,稳定问题转化为求方程的最小特征值问题,(12-6),(12-5),2.1 第一类稳定问题的线弹性有限元分析(续),K可以分成一期恒载的初内力刚度阵 和后期荷载（二期、活载等）的初内力刚度阵 两部分 计算一期恒载稳定问题， ，为恒载稳定安全系数 计算后期荷载稳定问题，则恒载 可近似为一常量，式(126)改写成：,(12-7),为后期恒载稳定安全系数，相应的特征向量就是失稳模态,3. 拱桥稳定分析和非保向力效应,本节以解析法来阐述拱桥的第一类稳定计算 可分为以下两类问题： 面内稳定 侧向稳定,3

8、.1圆弧拱平面屈曲微分方程,3.1圆弧拱平面屈曲微分方程(续),3.2等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载,3.2等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载(续),3.2等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载(续),3.3 圆拱的面外稳定,3.3 圆拱的面外稳定(续),3.3 圆拱的面外稳定(续),3.3 圆拱的面外稳定(续),3.4 拱桥稳定与非保向力效应,3.4 拱桥稳定与非保向力效应(续),3.4 拱桥稳定与非保向力效应(续),3.4 拱桥稳定与非保向力效应(续),3.4 拱桥稳定与非保向力效应(续),3.4 拱桥稳定与非保向力效应(续),3.4 拱桥稳定与非保向力

9、效应(续),3.4 拱桥稳定与非保向力效应(续),4.材料非线性问题,4.1 概 述,当构件应力超过弹性极限后，材料弹性模量E成为应力的函数，导致基本控制方程的非线性，即材料非线性问题 凡是在本构关系中放弃材料线性关系假定的理论，均属材料非线性范畴 桥梁结构以钢和砼作为主要建材，因此涉及的材料非线性主要是非线性弹塑性问题和砼徐变问题,4.2 弹塑性应力、应变关系与屈服准则,根据实验结果，单轴应力下材料的应力、应变关系如图12.7所示，可归结为如下几点：,1)应力在达到比例极限前，材料为线弹性；应力在比例极限和弹性极限之间，材料为非线性弹性。,图12-7 单轴应力下材料的应力、应变关系,4.2

10、弹塑性应力、应变关系与屈服准则(续),2)应力超过屈服点，材料应变中出现不可恢复的塑性应变:,应力和应变间为非线性关系：,3)应力在某一应力下卸载，则应力增量与应变增量之间存在线性关系，即：,为了判断是加载还是卸载，用如下加载准则： 当 时为加载，满足 (12-40) 当 时为卸载，满足 (12-41),(12-39),(12-40),(12-41),4.2 弹塑性应力、应变关系与屈服准则(续),4)在卸载后某应力下重新加载，则：,时，,0为卸载前材料曾经受到过的最大应力值，称后屈服应力，若： 0=s 材料称为理想塑性的； 0s 称材料为硬化的。,5)从卸载转入反向力加载，应力、应变关系继续依

11、式(12-41)或(12-42)，一直到反向屈服。在复杂应力状态下，判断材料是否屈服，可以用应力的某种函数表示：,(12-42),4.2 弹塑性应力、应变关系与屈服准则(续),若以ij为坐标轴建立一坐标空间，则式(12-43)的几何意义为空间超曲面。任一应力状态在此空间中代表一个点，当此点落在屈服面之内时： ，材料呈弹性状态； 时，材料开始进入塑性。 各向同性材料的屈服条件与坐标轴选取无关，屈服函数常以主应力函数形式表示：,(12-43),(12-44),4.2 弹塑性应力、应变关系与屈服准则(续),常用的屈服条件有： 屈雷斯卡(Tresca)屈服条件：假定最大剪应力达到某一极限值时，材料开始

12、屈服，相当于材料力学中的第三强度理论 密赛斯(Von Mises)屈服条件：假定偏应力张量的第二不变量达到某一极限时，材料开始屈服, 相当于材料力学中的第四强度理论 此外还有Drucker-Prager屈服准则 Zienkiewicz-Pande屈服准则等,4.3 弹塑性本构矩阵的增量表达式,设屈服函数用下式表示：,式中： 应力状态；K硬化函数。,在增量理论中，把材料达到屈服以后的应变增量分为弹性增量和塑性增量两部分，即：,(12-45),(12-46),4.3 弹塑性本构矩阵的增量表达式(续),其中弹性应变增量部分与应力增量之间仍服从虎克定律，即：,其中：De为弹性矩阵。 塑性变形不是唯一确

13、定的，对应于同一应力增量，可以有不同的塑性变形增量。若采用相关联的流动法则，塑性变形大小虽然不能断定，但其流动方向与屈服面正交。用数学公式表示这一假定，即可得：,(12-47),(12-48),4.3 弹塑性本构矩阵的增量表达式(续),将(12-47)、(12-48 )式代入(12-46 )式，则可得：,对式(12-45)全微分得：,或,其中：,(12-49),(12-50),(12-51),(12-52),4.3 弹塑性本构矩阵的增量表达式(续),将 前乘(12-49)式，并利用(12-51)式消去 可得：,由此可得：,用De前乘(12-49)式，移项后得,(12-53),(12-54),(

14、12-55),4.3 弹塑性本构矩阵的增量表达式(续),将(12-54)式代入(12-55)式，即可得：,其中:,此即为增量理论的弹塑性矩阵通式。其具体的数学表达式将由曲服函数确定。,(12-56),(12-57),4.3 弹塑性本构矩阵的增量表达式(续),例12.2 导出等向强化米赛斯材料增量理论的弹塑性矩阵表达式。 解：对Mises屈服准则、等向硬化材料，其屈服函数可写成：,其中:,设硬化法则与塑性功有关，即作功硬化，则：,4.3 弹塑性本构矩阵的增量表达式(续),由:,得:,4.3 弹塑性本构矩阵的增量表达式(续),再由:,其中: 剪切弹性模量；,其中: 应力偏量向量。,而:,4.3 弹

15、塑性本构矩阵的增量表达式(续),以上结果代入(12-83)，可得等向强化的米赛斯材料的弹塑性矩阵表达式为：,式中:,4.4 弹塑性问题的有限元法,在弹塑性增量理论中，讨论仍限于小变形情况。其应变位移几何运动方程和平衡方程相同于线性问题，不需要作任何变动。需要改变的只是在塑性区范围内用塑性材料的本构关系矩阵Dep代替原来的弹性系数矩阵De。因此，可直接得到弹塑性分析有限元平衡方程：,式中:,(12-58),(12-59),(12-60),4.4 弹塑性问题的有限元法(续),其中, 和 分别表示与结构面荷载t及体荷载f对应的等效节点力增量； 为节点集中外荷载增量； 为初应力或初应变增量引起的外荷载

16、增量，它们在t- 至t时间的增量为：,对于初应力问题：,对于初应变问题：,(12-61),(12-62),(12-63),(12-64),5.第二类稳定和极限承载力全过程分析,传统的“强度设计”以构件最大工作应力乘以安全系数等于材料的屈服应力为依据； 一般情况下，构件某截面开始屈服并不能代表结构完全破坏，结构所能承受的荷载通常较构件开始屈服时的荷载为大； 桥梁结构的极限承载力是指桥梁承受外荷载的最大能力； 可以准确地知道桥梁结构在给定荷载下的安全贮备或超载能力，为其安全施工和营运管理提供依据和保障；,5.第二类稳定和极限承载力全过程分析(续),全过程分析是用于桥梁结构极限承载力分析的一种计算方

17、法，它通过逐级增加工作荷载集度来考察结构的变形和受力特征，一直计算至结构发生破坏； 桥梁结构在不断增加的外载作用下，结构刚度发生不断变化，当外载产生的应力使得结构切线刚度阵趋于奇异时，结构承载能力就到达了极限，此时的外荷载即为极限荷载。,5.1 非线性方程的求解问题,一般结构的结构刚度阵在p-曲线上升段是正定的，在下降段为负定的； 进行“全过程”分析过程中，当荷载接近极限值时，很小的荷载增量都会引起很大的位移，可能还未找到极限荷载就出现了求解失效现象； 为了找到真实的极限荷载，克服下降段的不稳定现象，各国学者提出了许多算法，下面就常用的两种方法作一介绍,5.1 非线性方程的求解问题(续),1)

18、逐步搜索法 对于只要求出极值荷载，而对P-下降段不感趣的情况，可采用逐步搜索顶点的算法，其基本思想是： 加一荷载增量P，计算发散后，退回上级荷载状态并改用荷载步长P/2； 若计算收敛，则再加一级荷载为P/4； 若加P/4后计算发散，则再改用荷载步 长为P/8 如此搜索，若原步长P预计为5%的破坏荷载，则P/4已接近1%的极限荷载，对桥梁结构来说，已可满足精度要求。当然还可向前再搜索一步到P/8。,2)位移控制法 如果在分析过程中不是控制荷载增量而是控制位移增量，则P-曲线的下降段部分便不难求得。 对于一般结构，我们可将刚度矩阵重新排列，使得要控制的位移(例如=u2)排到最后一项，同时将原刚度矩

19、阵分块，其有限元方程变为：,5.1 非线性方程的求解问题(续),式中：P1P2T 参考荷载向量； 控制荷载的步长系数； R1R2T 求解迭代过程中的不平衡力向量。,(12-88),改写方程(12-88)为：,5.1 非线性方程的求解问题(续),(12-89),这样，求解方程时可控制指定的值，求出相应的位移u1及荷载增量比例因子。由于Kij与位移有关，求解时需要迭代，使得R1R2T值趋于零，以满足精度要求。 需要指出，方程(12-89)中的系数矩阵 是不对称， 也不呈带状，求解时需要的存储单元较多，这是该方法的一大缺点。,5.2 单元模式与破坏形态的选取,用于极限承载力分析的单元模式选取 桥梁结构分析以梁单