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2.2 线性方程与常数变易法,一阶线性微分方程,一 一阶线性微分方程的解法-常数变易法,代入(1)得,积分得,注 求(1)的通解可直接用公式(3),解:,将方程改写为,首先,求齐次方程,的通解,从,分离变量得,两边积分得,故对应齐次方程通解为,其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,即,积分得,故通解为,解:,但将它改写为,即,故其通解为,解:,先求原方程的通解,故所给初值问题的通解为,形如,的方程,称为伯努利方程.,解法:,解:,解以上线性方程得,例5 R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数,试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.,二 线性微分方程的应用举例,电路的Kirchhoff第二定律:,在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.,则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为,解线性方程:,解:,于是由Kirchhoff第二定律, 得到,设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t),取开关闭合时的时刻为0,得通解为:,故当开关K合上后,电路中电流强度为,作

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