小学数学——整体把握兰州

1、整体把握小学数学从数学的角度,首都师范大学 王尚志,问题 不增加学习时间和强度，有什么办法提高学习、教学效率？ 如何让学生喜欢您喜欢数学？ 如何调动学生学习激情、主动精神？ “做得快”是数学教育主要价值追求？ 如何帮助学生学会学习？,从一节课的教学设计说起,百分数教学设计 教学内容 本节课是在学生学习了分数后，要学习的一个经常使用的概念，教师设计的一节概念课。,百分数概念课,教学目标 1、理解百分数的概念和意义； 2、了解百分数与分数差异，体会为什么引入百分数； 3、初步了解百分数的应用； 4、让学生经历独立学习和合作学习过程。,百分数概念课,教学形式 本节课教师主要采用独立学习与小组合作结合

2、方式进行教学活动。主要步骤： 1、教师将全班同学进行分组； 2、确定需要研讨的问题串； 3、提出学生在独立思考的要求； 4、分工合作、交流提升、集体分享等过程；最后，通过学生的学习，分享结果，形成一个资源包，从而保证每个学生都能有所收获。,百分数概念课,研讨问题串研讨要求 1、了解周围的人是如何认识百分数？ 2、什么是百分数？ 3、为什么学习百分数？百分数与分数有什么差异？ 4、 在那些背景下使用百分数？,百分数概念课,研讨问题串研讨要求 课前，各个小组完成和思考的任务。 收集并整理周围成人对以下问题认识，并提出自己的认识： 什么是百分数； 百分数与分数差异； 在哪些实际背景下有用； （要求：

3、每一个同学独立完成，汇总后，再由小组组长和两个同学一起整理，教师需要进行比较细致指导、要求。） （这一节课安排在星期一，课前的工作在上周末完成。）,百分数概念课,研讨问题串研讨要求 课上，教师组织交流、抽象、总结。 1、每个问题有两个小组为主，集体进行汇报，其他小组补充，讨论； 2、教师即时引导，把握进度、集中主题； 3、讨论完，由教师总结。 课后， 对每一个问题，汇报小组进行整理，并展示。,百分数概念课,评论： 学生感兴趣，每个人都能参与进来。 这节课的设计真的让学生开动脑筋思考，想问题，印象深刻。 教学设计不是仅仅以让学生“学会”为目的，而是以学生“会学”为目的的。 小组合作不仅仅是留于形

4、式而是真正有价值的。,背 景,自上而下,国家在行动,教育部提出“立德树人”工程 正在研制学生具备“核心素养”和学科“核心素养” 推出“招生、考试改革方案” 试点“入职教师国家考试” ,背 景,最大的动力 教育的理想、追求,背 景,过程好了结果不会差 学生动起来结果会更好！,Todays economy means multiple jobs and on-going development to build transferable competencies,20th Century,21st Century,1 2 Jobs,10 15 Jobs,Critical Thinking Acro

5、ss Disciplines,Integration of 21st Century Skills into Subject Matter Mastery,Mastery of One Field,Subject Matter Mastery,Number of Jobs:,Job Requirement:,Teaching Model:,Subject Matter Mastery,Integration of 21st Century Skills into Subject Matter Mastery,Assessment Model:,5,Are we asking the right

6、 questions?,Why 21st Century Skills?,Are our students critical thinkers and problem solvers? 我们学生是否具有批判思考和问题解决的人？,Are our students globally aware? 我们学生是否具有全球意识？,Are our students self-directed? 我们学生是否具有自我定向能力？,Are our students good collaborators? 我们学生是否是好的合作者？,Are we asking the right questions?,Why 2

7、1st Century Skills?,Are our students information and technology literate? 我们学生是否拥有信息技术意识？,Are our students flexible and adaptable? 我们学生是否具有灵活和适应能力？,Are our students innovative? 我们学生是否具有创造意识和能力？,Are our students effective communicators? 我们学生能否进行有效交流能力？,P21 Members,Why 21st Century Skills?,对雇佣的高中毕业生，什

8、么能力对职业成功是最重要的?,Why 21st Century Skills?,对你们最近雇佣的高中毕业生，他们最缺乏的是什么？,Why 21st Century Skills?,对于你们将要雇佣的本科毕业生，那些能力和基本知识是最重要的？ What applied skills and basic knowledge are most important for those you will hire with a four-year college diploma?,对你们近期雇佣的本科毕业生，如何评价他们的这些能力？ Of the four-year graduates you rece

9、ntly hired, how do they rate?,Why 21st Century Skills?,Why 21st Century Skills?,在今后五年中，那些能力需要重点提升？ What skills and content areas will be growing in importance in the next five years?,Overview: 21st Century Competencies and Skills,21世纪基本能力几种看法,基本结构,THE 4 PILLARS OF A COMPETENCY-BASED EDUCATION,Learni

10、ng to Know （学会学习） Learning to Do （学会做事） Learning to Live and Work Together （学会与人共同生活、工作） Learning to Be （学会做人） Source: Report presented to UNESCO by the International Commission on Education for the 21st Century “Learning: the treasure within”, 1996.,认识数学课程内容的三个基点： 21世纪基本能力 社会、科学技术的发展 数学沿革、发展 实际需求 认

11、识数学新课程变化三个基本视角： 数学视角 教育视角 学生视角,数学的角度,对数学和数学教育有比较科学的认识 整体把握数学和数学课程 努力抓住数学的本质,数学的角度,著名数学家华罗庚 能把书读厚联系、整体 能把书读薄本质,关键词,正确认识数学 整体把握数学课程基本脉络 数学本质 四基和四能： 基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验 发现、提出和分析、解决问题能力,整体把握数学与数学教育,数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学。 恩格斯 数学是研究数量关系和空间形式的科学 前苏联“数学的内容、方法、意义” 数学是研究模式与秩序的科学。 “2061”计划 把数学科学与自然科学的并列。 “206

12、1”计划,整体把握数学与数学教育,数学是科学， 数学是理论， 数学是语言， 数学是工具， 数学是技术， 数学是文化， 数学是伙伴， ,整体把握数学与数学教育,数学的基本特征： 抽象性 严格性 应用广泛性 数学基本思想举例：鸡兔同笼 抽象 推理 模型,整体把握数学与数学教育,数学教育在国家发展中的作用 几个世纪以来，国家的崇高地位、安全、康宁和发展总是与国民能力紧密联系在一起，这种能力又会受到面向各种复杂事物观念的影响。引导社会发展需要数学能力，数学能力会给国家带来发展优势，在医学和健康，技术和商业，航行和太空探索，防御和金融，等等方面，另外，在分析过去失败经验和预测未来发展的能力等方面带来优势

13、。历史上这样的例子比比皆是。,整体把握数学与数学教育,数学教育在个人发展中作用 在数学教育方面的成功对于公民个人也是十分重要的，因为数学教育有助于他们进大学深造、增加就业选择，还有助于在未来的职业中获得较好的待遇。 总之，学好数学有助于学生获得更广阔的发展空间。国家科学委员会预示，与数学有密切联系的科学和工程方面劳动力需求增长速度和总的职业需求增长速度相比，比值为3：1 。,整体把握数学与数学教育,两千多年来，人们一直认为每一个受教育者都必须具备一定的数学知识。但是，今天，数学教育的传统地位却陷入了严重的危机之中，而且遗憾的是数学工作者要对此负一定的责任。数学教学有时竟演变成空洞的解题训练，这

14、种训练虽然可以提高形式推理的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。数学研究已经出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。不过，这种状况不能证明紧缩数学教育政策是合理的。相反，那些醒悟到培养思维重要性的人，必然会采取完全不同的做法，即更加重视和加强数学教学。教师、学生和一般受过教育的人都要求数学家有一个建设性的改造，而不是听其自然，其目的是要真正理解数学是一个有机的整体，是科学思考与行动的基础。 R.柯朗（1941年，什么是数学的序言）,受学校教育的影响，一般人认为数学仅仅是对科学家、工程师，或许还有金融家才有用的一系列技巧。这样的教育导致了对这门学

15、科的厌恶和对它的忽视。 由于学校数学教学的影响，这些权威性的诊断和流行的看法，竟被认为是正确的！数学学科并不是一系列的技巧，这些技巧只不过是它微不足道的方面：它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样。技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。如果我们对数学的本质有一定的了解，就会认识到数学在形成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。 M.克莱因,整体把握数学与数学教育,整体把握：大学数学课程分类,分析类数学课程： 研究函数以及与函数有关的问题的课程。 数学分析， 复变函数， 实变函数， 常微分方程， 偏微分方程， 数值计算， 泛函分析， 与这些课程有联系的拓

16、展类课程：三角级数，调和分析，函数逼近论等等。,整体把握：大学数学课程分类,代数类数学课程：研究运算以及与运算有关的课程。 高等代数（线性代数、多项式理论）， 抽象代数， 群伦， 有限群及其应用， 环论， 域论， 与这些课程有联系的拓展类课程：交换代数，非交换代数，半论，等等。,整体把握：大学数学课程分类,几何类数学课程：研究图形以及与图形有关的课程。 解析几何， 射影几何（高等几何）， 微分几何， 点集拓扑， 代数拓扑， 微分拓扑， 微分流形， 许多相关课程：代数几何，旋论，形论，等,整体把握：大学数学课程分类,统计、概率类数学课程： 统计， 概率， 许多相关课程：随机微分方程，等等,整体把

17、握：大学数学课程分类,应用类数学课程 运筹学线性规划、整数规划、非线性规划 优化课程 离散数学课程图论、 学科应用课程生物数学、 经济、金融类数学类课程 计算类课程 理论物理类数学课程 图像识别类数学课程 等等 算法与计算机课程,整体把握：高中数学课程 的主要脉络,高中数学主要脉络 函数 几何 运算 统计、概率 应用 算法,初中数学：内容结构,数与代数 图形与几何 统计与概率 综合与实践,数与代数初中,数、字母与运算 运算对象认识 运算背景认识 运算法则 运算应用,数与代数初中,量、关系与模型 量的认识 从算术到代数：模型 常量模型：方程与不等式 变量模型：函数模型 简单数学建模：模型分类、识

18、别、确定,图形与几何初中,图形分类 空间图形 平面图形 直线图形、曲线图形,图形与几何初中,基本几何图形与基本关系： 基本图形 长方体、直角坐标系 圆 等腰三角形？ 基本关系 图形组成要素的等、不等量关系 图形间全等关系 图形间相似关系 图形间对称关系 图形间投影关系,图形与几何初中,研究图形的基本方法 综合推理 运动与变换 坐标系与代数方法 度量与积分 几何（图形）应用 运用图形描述问题 运用图形发现解决问题思路 运用图形表示（记忆）结果和解决问题过程,统计与概率初中,统计 数据分析全过程 从数据中提取信息 统计实际应用 概率 随机现象基本特征与识别 古典概型初步,综合与实践初中,综合： 综

19、合数学讨论某些数学问题 综合数学讨论某些实际问题 体会与积累： 数学实践活动全过程 积累数学活动经验,小学数学：内容结构,数与代数 图形与几何 统计与概率 综合与实践,小学数学：内容结构,数与代数 数量、数、字母与运算 量、关系与模型 图形与几何 图形与分类 图形基本关系 研究方法 图形应用,小学数学：内容结构,统计与概率 数据与数据处理 概率初步认识 综合与实践 数学综合 数学应用,数与代数小学,数量与数、运算与估算 运算 从数量到数从数量运算到数运算 运算对象认识：数与数的表示 运算背景认识 运算法则 运算应用 估算 估算要素：单位、误差、近似（逼近） 估算分类,数与代数小学,数量与数、运

20、算与估算 运算 自然数及其运算 自然数的功能和表示进制 为什么数数是学习数学的基础？ 整“个”数数整“十”数数整“百”整“千”数数 数数与加法定义 从一位数加到多位数的加,数与代数小学,数量与数、运算与估算 运算 自然数及其运算 加、减、乘、除的顺序 不讲加可否讲减？ 不讲加、减，可否讲除？,数与代数小学,数量与数、运算与估算 运算 自然数及其运算 加、减、乘、除运算的意义 乘是加的简便运算乘的概念、乘对加的分配 除的意义：平均分、包含、乘的逆运算,数与代数小学,数量与数、运算与估算 运算 分数及其运算 分数的意义 分数与除法 分数与单位 “加、减、除”归为同单位 “乘”产生新单位 分数与百分

21、数 分数与比 分数与小数,数与代数小学,数量与数、运算与估算 运算 分数及其运算 分数的运算单位作用 分数与整数运算归为同单位 加 减 除 分数的乘法运算产生新单位,数与代数小学,数量与数、运算与估算 估算 估算要素：单位、误差、近似（逼近） 估算分类 度量估计 比较：两个量比较；与上、下界比较；决定范围 求近似值,数与代数小学,数量、关系与模型 数量的认识与分类 数量与运算 基本实际模型： “路程、速度、时间”模型 “总价、单价、数量”模型 模型抽象：正比例关系与反比例关系 方程初步 简单数学建模：初步学习进行量、量的关系分析,数与代数小学,数量、关系与模型 数量的认识、分类 几何量 生活量

22、 物理量,数与代数小学,数量、关系与模型 数量数运算 一类量运算 两类量运算 三种量关系,加、减,在同一类事物（同一个量）范围，按加减法分类两类 反映的都是部分与总数关系（求总数，求部分数） 分别对应 ： 有3只小鸟，又飞来6只，一共是几只？ 俩人一共有10个梨，一个人有4个，另一个人有几个？,加、减,两类事物（两个量）的数量比较，按加减法分类三类 反映两个量的数量：大的、小的与差的关系（求相差数，求大数，求小数）。 分别对应： 学校里养了12只白兔，7只黑兔，白兔比黑兔多几只？ 学校里养了7只黑兔，白兔比黑兔多5只。学校里养了几只白兔？ 学校里养了12只白兔，黑兔比白兔少5只。学校里养了几只

23、黑兔？,乘、除,在同一类事物（同一个量）范围，按乘、除法分类三类 反映这个量的总数数与各部份（各部分数量相同）的关系： 知道每份数和份数，求总数： 同学们浇树，每人浇4棵，3个人一共浇多少棵？ 知道总数和份数，求每份数： 15条金鱼，平均放在3个鱼缸里，每个鱼缸放几条？ 知道总数和每份数，求份数。 15条金鱼，每个鱼缸里放3条，要用几个鱼缸？,乘、除,两类事物（两个量）的数量比较，按乘、除法分类三类 反映两个量的倍数关系： 知道大量的数量和小量的数量，求大的是小的几倍数： 饲养组养了12只小鸡，3只小鸭。小鸡的只数是小鸭的几倍？ 知道小量的数量和大量对小量的倍数，求大量的数量： 美术小组做黄花

24、7朵，做红花的朵数是黄花的5倍。做了多少朵红花？ 知道大量的数量和大量对小量的倍数，求小量的数量或求1倍数： 小林家养了36只母鸡，正好是公鸡只数的9倍。小林家养几只公鸡？,数与代数小学,数量、关系与模型 基本实际模型： “路程、速度、时间”模型 “总价、单价、数量”模型,典型应用问题,三个量形成基本关系 具体实际模型 反映“路程、速度、时间”基本模型 反映“总价、单价、数量”基本模型 其他，例如 反映“工程总量、进度、时间”基本模型 数量关系：绝对大小关系绝对变化 相对大小关系相对变化 （速度、单价、进度、等等）,数与代数小学,数量、关系与模型 模型抽象：正比例关系与反比例关系,数与代数小学

25、,数量、关系与模型 方程初步 加数 + 加数 和 和 加数 差 被乘数乘数 积 被除数除数 商,数与代数小学,数量、关系与模型 简单数学建模：初步学习进行量、量的关系分析,小学数学：内容结构,图形与几何 图形与分类 基本图形与基本关系 研究方法 图形应用,图形与几何小学,图形与分类 空间图形 平面图形 直线图形、曲线图形,图形与几何小学,基本图形与基本关系： 基本图形 数轴 方格纸 圆、等腰三角形？ 基本关系 图形变换：平移、轴对称、旋转,图形与几何小学,什么是几何直观 ？ 建立实物与图形关系 建立图形与数学关系 用图形描述数学问题 通过图形发现解决问题思路 借助图形理解、记忆数学结果 让图形

26、帮助我们学习数学！,图形与几何小学,研究图形的基本方法 综合推理 运动与变换 方格纸坐标系与代数方法 度量与积分,一些典型问题,从算术到代数,从算术到代数例子：鸡兔同笼问题,问题：一支铅笔4元，一支钢笔7元，共有46元买10支笔，应如何购买？ 问题：一个笼子里装着一些兔子和鸡，共计20只，它们56条腿，试问：兔子和鸡各有多少？,从算术到代数例子：鸡兔同笼问题,算术方法（一）尝试（猜测）调整 有的学生尝试：买4支铅笔6支钢笔， 供需要58元。 调整：只有46元，不足，只能少买一些钢笔；买1支钢笔9支铅笔，可否？需43元。再调整：自己有46元，还可多买钢笔；买2支钢笔8支铅笔，恰为46元。,从算术

27、到代数例子：鸡兔同笼问题,算术方法（二）穷举、列表 有的学生 罗列所有的可能： 从0支铅笔、10支钢笔； 1支铅笔、9支钢笔； 10支铅笔、0支钢笔。 把各种情况下所需的钱算出来。最后作出判断。 这种方法好吗？有没有逻辑？给我们什么启示？,从算术到代数例子：鸡兔同笼问题,算术方法（三）假设，推理 假设都买成铅笔，供需40元； （46 40）/ （7 4）= 2 结果：买 8支铅笔，2 支钢笔。 为什么？,从算术到代数例子：鸡兔同笼问题,代数方法： 1、量的分析 铅笔每支4元、钢笔每支7元 （1） 铅笔的数量、钢笔的数量 （2） 铅笔和钢笔的总量10支 （3） 一共拥有46元 （4） 其中(1)

28、(3)(4)是已知量,(2)是未知量.这些在讨论问题过程中都是不变的。,从算术到代数例子：鸡兔同笼问题,2、等量关系 让学生用自然语言叙述等量关系 等量关系1：铅笔、钢笔的数量之和是10支。 等量关系2：买铅笔和钢笔的费用之和是46元。 3、设未知数、列方程 第一种列方程方式：设未知量铅笔的支数为x， 利用等量关系1：钢笔的数量为10-x, 这样，利用等量关系2，有： 4x+7(10-x)=46 。,从算术到代数例子：鸡兔同笼问题,第二种列方程方式： 设铅笔的支数为x，钢笔的支数为y，则 x + y=10 （利用等量关系1） 4x+7y=46 （利用等量关系2） 4、 解方程。,从算术到代数例

29、子：鸡兔同笼问题,有两种思维方法： 算术方法：尝试，调整 穷举，列表 假设，推理 代数方法：分析问题中的量，确定等量关 系，设未知数，列方程（不同方式），解方程。,从算术到代数例子：鸡兔同笼问题,尝试调整 求 的值 二分法 排序 优选法 微积分、数值计算等大部分数学课程 这种方法本质上是“逼近”，在数学研究特别是数学应用中，她是非常基本得数学思想，也是一种重要的方法。,从算术到代数例子：鸡兔同笼问题,穷举，列表 学生很容易在老师的诱导下，通过穷举、列表法做出判断。 在“分类”讨论是数学思考问题的基本思想，穷举、列表等是最基本、重要的一种方法。为了把所有的情况表示清楚，我们常常采用这种方法。,从算术到代数例子：鸡兔同笼问题,假设、推理 假设有10支铅笔，0支钢笔，则一共需要40元。如何使用余下的6元？ 我们知道： 1支钢笔7元=1支铅笔4元+3元 这样，可以用2支铅笔加6元换两支钢笔。 由此可知 46元可买8支铅笔，2支钢笔。,从算术到代数例子：鸡兔同笼问题,算术方法小结： 从数学上来讲，前两种方法更重要一些，它们体现了数学基本思想逼近、分类。它们也是数学的通性通法，在今后学习中非常有用。希望老师帮助学生掌握。 从学生认知来说，前两种方法也是学生容易接受的方法。它们反映了比较自