134课题学习_最短路径问题

1、13.4 课题学习 最短路径问题,学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想 学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 段最短”问题,课件说明,难道它们也都懂数学？,草坪,教学楼,活动室,小 路,?,两点之间线段最短.,A,B,草坪,教学楼,活动室,小 路,思考,有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图，他在P点，应选择什么样的路线尽快游到岸边m呢？,垂线段最短。,（一）两点在一直线两侧,一天，美羊羊在小溪旁的草地上A处玩耍，它家在小溪的另一侧B处，美羊羊要回家就须过小溪。请问它从何处过小溪回家的路程最短？,A,B,l,A,B,转

2、化为数学问题,已知直线l，点A和点B在直线l两侧，在直线l 上求作一点P，使PA+PB的值最小,P,C,一天，美羊羊在小溪旁的草地上A处玩耍，喜羊羊在小溪的另一侧C处玩耍，它们的家在小溪的另一侧B处，美羊羊和喜羊羊约好在小溪边会合，然后一起回家。请问它们在何处会合回家的路程最短？,A,C,B,（二）两点在一直线同侧,一天，美羊羊在小溪旁的草地上A处玩耍，它家在小溪的同一侧B处，美羊羊要到小溪洗洗在回家。请问它小溪的何处洗后回家的路程最短？,A,B,C,P,探索新知,追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？,将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线,探索新知,一次对称,（1）从A

3、地出发，到河边l 洗手，然后到B 地； （2）在河边吸收的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到洗手地点，再回到B 地的路程之和；,探索新知,追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？,探索新知,追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？,（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）,追问1对于问题2，如何 将点B“移”到l 的另一侧B 处，满足直线l 上的任意一点 C

4、，都保持CB 与CB的长度 相等？,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,追问2你能利用轴对称的 有关知识，找到上问中符合条 件的点B吗？,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B； （2）连接AB，与直线l 相交 于点C 则点C 即为所求,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB

5、的和最小？,探索新知,问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不 重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC,探索新知,问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,探索新知,问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,证明：在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC 即AC +BC 最短,若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小,探索新知,追问1证明A

6、C +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C（与点C 不重合），证明AC +BC AC +BC？这里的“C”的作用是什么？,及时小结,回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？,我们通过“轴对称变 换”，进行等量转化，借助“两点之间线段最短”，把要求的两条线段移到同一直线上。,引审应用,两次对称,（三）一点在两相交线 所成角的内部,如图，805班在元旦晚会上，将桌子摆成两排，AB桌上摆满了糖果，BC桌子上摆满水果，某同学从座位M起身拿糖果和水果，再回到座位。到何处拿，他所走的路程最短？,A,B,C,M,引审应用,两次对称,（四）两点在两相交线 所成角的内部,如图，805班在元旦晚会上，将