4 4最大值与最小值

1、4.4函数的最大、最小值与经济应用1. 最值的定义最( x0 ) 最值可能出现在: f (x) = 0和f (x)不存在的点及区间端点步骤:1、求驻点，不可导的点，找出区间端点2、计算上述各点的函数值，比较大小，选出最大值与最小值2. 应用举例(1) 函数在闭区间上连续32 x2 ( x - 6)例1 求函数 y =在-2,4上的最大值与最小值.(2) 函数在开区间上连续函数满足:1) 在开区间有且仅有最大(小)值2) 在开区间上只有一个可能取得极值的点那么这个极值点就是函数的最值点.例2 : 某化工厂每月需采购原料u吨,每次采购费a元,每吨每月保管费c元,设原材料的消耗是均匀的(指库存经济批

2、量问题量是批量的一半),问每次采购多少吨使总费用最少?解: 设每次采购x吨,则分u批x总费用L(x) =u a +xx c 22uacL(x) = - u ac D 0 x =+=x22L (x) =2uax30 每次购进2ua.吨时总费用最少c例3设生产某种产品的固定成本为100万元,生产x单位成本增加6x +1 x2 ,问生产量x为多少时,平均成本最小?4解: 成本函数为c(x)= 100 +6x +1 x24最低平均成本问题平均成本为c(x) =c(x)x= 100 + 6 + 1 xx4c(x) =- 1001 D 0 x = 20c (x) =x2+ 4 =200x30答:x=20时

3、平均成本最小.例4设某种商品的单价为p时，售出的数量Q =a- c p + b(其中a, b, c均为正数，a bc)(1)求p在何变化范围时，使最大收益问题相应的销售额R增加或减少？(2)要使R最大，p应取何值？最大销售额是多少？最大利润问题最大税收问题例5：商家销售某商品，价格P=7-0.2x(万元/吨），x为 销售量（吨），成本函数C(x)=3x+1(万元），若每销售一吨商品，政府要征税t（万元），求该商家获最 大利润时的销售量。 取得最大利润的情况下,t为何值时，政府税收最大？最大利润原则：设L(Q)=R(Q)-C(Q)L(Q)取最大值必要条件：L(Q) =0,即R(Q) =C(Q)(

4、边际收益边际成本）充分条件：L(Q) 0,即R(Q) C(Q)(边际收益的变化率边际成本的变化率）最大利润原则：R(Q) =C(Q), R(Q) 0R3=,h =2R时所用材料最省.例 7、由 y =x 2 , y= 0 , x =a(a 0)围成一曲边三角形 OAB，在曲线弧OB上求一点，使得过此点所作曲 线 y = x 2 的切线与OA，OB 围成的三角形面积最大. 题型五:用最值法证明不等式例8证明：当x -1时, x ln(1 + x)小结注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.思考题若 f (a) 是 f( x)在a, b上的最大值或最小值，且f

5、 (a)存在，是否一定有 f(a) = 0？思考题解答结论不成立.因为最值点不一定是内点.例y =f ( x) = xx 0,1在 x = 0有最小值，但f (0)= 1 0练 习 题一、填 空题：1、最值可 处取得.2、函数y =2 x 3- 3 x 2 (- 1 x 4 )的最大值为 100 - x 2 ；最小值为 .3、 函数y=在0,8上的最大值为 ；最小值为 .4、 设有重量为 5kg 的物体，置于水平面上，受力f 的作用而开始移动，摩擦系数m=0.25，问力f与水平线的交角a为 时，才可使力f的大小为最小，则此问题的目标函数为 ， 讨论区间为 .5、从 一块半径为R 的圆缺片上挖去

6、一个扇形做成一个漏斗，问留下的扇形的中心角为 时，做成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为 考察区间为 .二、求 函数y = x 2 -54 (xx 0)围成一曲边三角形OAB ，在曲线弧OB 上求一点，使得过此点所作曲线y =x 2 的切线与OA ，OB 围成的三角形面积最大.练习题答案一、1、区间端点及极值点；2、最大值y(4) =80 , 最小值y(-1) =-5；3、10,6； 4、arctanm,f= mpcosa + msin a,0, p)；25、8p, V4p2j4 - j63=R324p2,(0,2p).二、x = -3时函数有最小值 27.三、14.四、r = 3v,2p

7、h = 23v ;2pd : h = 1 : 1.五、(2 a,34 a2 ).9思考题下命题正确吗？如果x0 为 f ( x)的极小值点，那么必存在x0的某邻域，在此邻域内， f下降，而在x0 的右侧上升.( x)在x0 的左侧思考题解答不正确2 +x2 (2 +sin1 ),x 0例f ( x) =2,xx = 0当x 0时，f( x) -f (0) =x2 (2 +sin1 ) 0x于是x= 0为 f( x) 的极小值点当x 0时，f ( x) =2 x(2 +sin1 ) -xcos 1x当x 0时，2 x(2 +sin1 ) 0,xcos 1x在1和1之间振荡因而 f( x)在x=

8、0的两侧都不单调.故命题不成立一、填 空题：练 习 题1、极 值反映的是函数的 性质.2、若 函数y =f ( x)在x =x0 可导，则它在点x0处到 得极值的必要条件中为 .23、函 数 y =2 - ( x1- 1) 3的 极 值 点 为 ；y = 3 -2( x+ 1) 3 的极值为 .4、已 知函数f ( x) = x 3 x , x 0当x =_ _ 时， x + 1, x 0y = 为极小值； 当x = 时 ，y = 为极大值.二、求下列函数的极值：1、 y2、 y= e x cos x ；1= x x ；3、方 程e x 2 y+ y =0所确定的函数y =f ( x)；14、 y =e x 2 , x 0.三、证 0, x = 0明题：1、如 果 y =ax 3+ bx 2+ cx + d满足条b2- 3ac 0 ，则函数无极值. 2、设f ( x)是有连续的二阶导数的偶函数 f ( x) 0 ， 则x= 0为f ( x)的极值点.练习题答案一 、 1 、 局 部 ； 2 、 f( x0 ) = 0 ； 3、(1,2),无； 4、1e, (1e3) e