期末复习(三) 平行四边形

1、期末复习(三) 平行四边形考点一 平行四边形的性质与判定【例1】(2014深圳)已知BD垂直平分AC，BCD=ADF，AFAC. (1)证明：四边形ABDF是平行四边形； (2)若AF=DF=5，AD=6，求AC的长.【分析】(1)用垂直平分线的性质证得BAD=BCD，而BCD=ADF，则ADF=BAD，所以ABFD，因为BDAC，AFAC，所以AFBD，即可证得；(2)先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得.【解答】(1)证明：BD垂直平分AC，AB=BC，AD=DC，BAC=BCA，DAC=DCA,BAC+DAC=BCA+DCA.BAD=BAC+DAC,BCD=BCA+DCA,B

2、AD=BCD.BCD=ADF，BAD=ADF.ABFD.BDAC，AFAC，AFBD.四边形ABDF是平行四边形. (2)四边形ABDF是平行四边形，AB=DF，AF=BD.AF=DF=5，AB=BD=5.设BE=x，则DE=5-x，由题设得ACBD.AB2-BE2=AD2-DE2，即52-x2=62-(5-x)2.解得x=.AE=，AC=2AE=.【方法归纳】要证一个四边形是平行四边形，通常按照已知条件的特征来选择判定方法，有五种方法，从中选出最佳的证明方法.1.(2014桂林)在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作直线EF分别交线段AD、BC于点E、F. (1)根据题意，画出图形

3、，并标上正确的字母； (2)求证：DE=BF.考点二 特殊平行四边形的性质与判定【例2】(2014成都)如图，矩形ABCD中，AD2AB，E是AD边上一点，DE=AD(n为大于2的整数)，连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG. (1)试判断四边形BFEG的形状，并说明理由； (2)当AB=a(a为常数)，n=3时，求FG的长； (3)记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当=时，求n的值.(直接写出结果，不必写出解答过程)【分析】(1)要证四边形BFEG是菱形，可以先证明四边形BFEG是平行四边形，再证明对角线垂直即可；

4、(2)根据ABF是直角三角形，应用勾股定理构造方程求解；(3)由于两个四边形的高相等，所以根据面积相等可得=，然后设出ABx，则DE、BG都可以用含有x的式子表示，再利用RtABF中，AB、AF、BF三边满足勾股定理求出AF的长，进而根据线段的和差关系求出AE、DE的长，从而得到n的值.【解答】(1)四边形BFEG是菱形.理由如下：FG为BE的垂直平分线，BOEO，BOGEOF90.在矩形ABCD中，ADBC，GBOFEO.BOGEOF(ASA).BGEF.四边形BFEG是平行四边形.又FGBE，平行四边形BFEG是菱形. (2)当ABa，AD2a，DEa，AEa，BE=a，OEa，设菱形BF

5、EG的边长为x，AB2+AF2BF2，a2+(a-x)2=x2，解得xa.OF=a=a.FGa. (3)n6.理由：设ABx，则AD=2x，DE，当=时，=，可得BGx.在RtABF中，AB2+AF2BF2，BF=BG=x，AFx.AEAF+FEAF+BGx，DEAD-AEx.DE=AD，AD=2x，DE=x.n6.【方法归纳】(1)证明四边形是菱形的方法主要有三种方法.一般的思路是先证明四边形是平行四边形，然后再证明平行四边形是菱形.(2)在已知问题中存在直角三角形求线段长时，我们通常的做法是利用勾股定理构造方程求解.2.如图，在等腰ABC中，AB=AC，AD是BAC的角平分线，P是AD上任

6、意一点，过P点作EFAB，PMAC. (1)证明四边形PFAM为菱形； (2)当菱形PFAM的面积为四边形BEFM面积的一半时，P点在AD上的何处？考点三 与四边形有关的探究题【例3】(2014临沂)问题情境：如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分DAM.探究展示： (1)证明：AM=AD+MC； (2)AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；拓展延伸： (3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.【分析】(1)从平行线和中点这两个条件出

7、发，延长AE、BC交于点N，易证ADENCE，从而有AD=CN，只需证明AM=NM即可；(2)作FAAE交CB的延长线于点F，易证AM=FM，只需证明FB=DE即可；要证FB=DE，只需证明它们所在的两个三角形全等即可；(3)在图2(1)中，仿照(1)中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立；在图2(2)中，采用反证法，并仿照(2)中的证明思路即可证到AM=DE+BM不成立.【解答】(1)证明：延长AE、BC交于点N，如图1所示.四边形ABCD是正方形，ADBC.DAE=ENC.AE平分DAM，DAE=MAE.ENC=MAE.MA=MN.在ADE和NCE中，ADENCE(AAS).AD=N

8、C.MA=MN=NC+MC=AD+MC. (2)AM=DE+BM成立.证明：过点A作AFAE，交CB的延长线于点F，如图3所示.四边形ABCD是正方形，BAD=D=ABC=90，AB=AD，ABDC.AFAE，FAE=90.FAB=90-BAE=DAE.ABF=180-ABM=180-90=90.在ABF和ADE中，ABFADE(ASA).BF=DE，F=AED.ABDC，AED=BAE.FAB=EAD=EAM，AED=BAE=BAM+EAM=BAM+FAB=FAM.F=FAM.AM=FM.AM=FB+BM=DE+BM. (3)(1)成立；(2)不成立.【方法归纳】探索性问题关键是对题型中的变

9、量过程进行分析，把握原有图形的特点，探究变化量的特点，借用类比思想逐步解题，一般情况下，每一问采取的方法步骤基本相同.可概括为“方法类似，思路顺延；类比渗透，知识迁移”.3.(2013绥化)已知，在ABC中，BAC90，ABC45，点D为直线BC上一动点(点D不与点B、C重合).以AD为边作正方形ADEF，连接CF. (1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：CFCDBC； (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系； (3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变：请直接写出CF、BC、

10、CD三条线段之间的关系；若正方形ADEF的边长为2，对角线AE、DF相交于点O，连接OC，求OC的长度.一、选择题(每小题3分，共30分)1.(2014珠海)边长为3 cm的菱形的周长是( ) A.6 cm B.9 cm C.12 cm D.15 cm2.在ABCD中，已知AB=(x+1)cm，BC=(x-2)cm，CD=4 cm，则ABCD的周长为( ) A.5 cm B.10 cm C.14 cm D.28 cm3.(2014来宾)正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是( ) A.8 B.4 C.8 D.164.(2014娄底)下列命题中，错误的是( ) A.平行四边形的对角线互相平

11、分 B.菱形的对角线互相垂直平分 C.矩形的对角线相等且互相垂直平分 D.角平分线上的点到角两边的距离相等5.(2014襄阳)如图，在四边形ABCD中，ADBC，DEAB，DEDC，C80.则A等于( ) A.80 B.90 C.100 D.1106.(2014陕西)如图，在菱形ABCD中，AB5，对角线AC6，过点A作AEBC，垂足为E，则AE的长为( ) A.4 B. C. D.57.(2014黔南)如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，设重叠部分为EBD，则下列说法错误的是( ) A.AB=CD B.BAE=DCE C.EB=ED D.ABE一定等于308.(2014曲靖)如图，在矩

12、形ABCD中，E、F分别是AD、BC中点，连接AF、BE,CE、DF分别交于点M、N，四边形EMFN是( ) A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.无法确定9.下列命题中，正确的是( ) A.四个角都相等的四边形一定是正方形 B.菱形的对角线不相等 C.矩形的对角线不能互相垂直 D.平行四边形的对角线可以互相垂直10.(2014广州)将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当B=90时，如图1，测得AC=2，当B=60时，如图2，AC=( ) A. B.2 C. D.2二、填空题(每小题3分，共18分)11.(2014大连)如图，菱形ABCD中，A

13、C、BD相交于点O，若BCO55，则ADO_.12.(2014眉山)如图，在ABCD中，AB3，BC5，对角线AC、BD相交于点O.过点O作OEAC，交AD于点E.连接CE，则CDE的周长为_.13.(2014安顺)如图，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点E，AD=8，AB=4，则DE的长为_.14.(2014三明)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是_.(写出一个即可)15.已知正方形ABCD，以CD为边作等边CDE，则AED的度数是_.16.(2014宿迁)如图，正

14、方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是_.三、解答题(共52分)17.(8分)(2014广元)如图，点A,F,C,D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，A=D，AF=DC. (1)请写出图中两对全等的三角形; (2)求证：四边形BCEF是平行四边形.18.（8分）将平行四边形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使点C与A重合，点D落到D处，折痕为EF. (1)求证：ABEADF； (2)连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论.19.(8分)(2014梅州)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是

15、AD延长线上一点，且DF=BE. (1)求证：CE=CF； (2)若点G在AD上，且GCE=45，则GE=BE+GD成立吗？为什么？20.(8分)已知，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形. （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）求矩形ADBE的面积.21.(10分)如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求EG2+FH2的值.22.(10分)已知AC是菱形ABCD的对角线，BAC=60，点E是直线BC上的一个动点，连接AE，以AE为边作菱形AEFG，并且使EAG=60，连接CG，当点E在

16、线段BC上时，如图1，易证:AB=CG+CE. (1)当点E在线段BC的延长线上时(如图2)，猜想AB、CG、CE之间的关系并证明； (2)当点E在线段CB的延长线上时(如图3)，直接写出AB、CG、CE之间的关系.参考答案变式练习1.(1)作图略. (2)证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，OB=OD.EDO=FBO.在DOE和BOF中，DOEBOF(ASA).DE=BF.2.(1)证明：EFAB，PMAC，四边形AFPM为平行四边形.AB=AC，AD平分CAB，CAD=BAD，ADBC.BAD=FPA，CAD=FPA，FA=FP，四边形PFAM为菱形. (2)S菱形AFPM=S四边

17、形EFMB,P为EF中点.作MNEF与EF交于N，垂足为N.四边形AFPM为菱形，ADFM.ADBC，FMBC.又EFAB，四边形BEFM为平行四边形.S菱形AFPM=FPMN=EFMN=S四边形EFMB.P为EF中点.3.(1)证明：BAC=90，ABC=45，ACB=ABC=45.AB=AC.四边形ADEF是正方形，AD=AF,DAF=90.BAD=90-DAC,CAF=90-DAC,BAD=CAF.BADCAF.BD=CF.BDCD=BC，CFCD=BC. (2)CF-CD=BC. (3)CD-CF=BC.BAC=90，ABC=45，ACB=ABC=45.AB=AC.四边形ADEF是正方

18、形,AD=AF,DAF=90.BAD=90-BAF,CAF=90-BAF,BAD=CAF.BADCAF.ACF=ABD.ABC=45,ABD=135.ACF=ABD=135.FCD=90.FCD为直角三角形.正方形ADEF的边长为2，且对角线AE、DF相交于点O,DF=AD=4，O为DF中点.OC=DF=2.复习测试1.C 2.B 3.A 4.C 5.C 6.C 7.D 8.B 9.D 10.A11.35 12.8 13.5 14.答案不唯一，如：AB=AD或AB=BC或ACBD等 15.15或75 16.517.(1)ABFDEC，ABCDEF. (2)证明：ABFDEC,BF=EC.又AB

19、CDEF，BC=EF.四边形BCEF是平行四边形.18.(1)证明：由折叠可知，D=D，CD=AD，DCE=DAE.四边形ABCD是平行四边形，B=D，AB=CD，BCD=BAD.B=D，AB=AD，DAE=BAD，即DAF+FAE=FAE+BAE.DAF=BAE.ABEADF. (2)四边形AECF是菱形.证明如下：由折叠可知，AE=EC，AEF=FEC.四边形ABCD是平行四边形，ADBC.AFE=FEC.AEF=AFE.AF=AE.AE=EC，AF=EC.又AFEC，四边形AECF是平行四边形.AF=AE，四边形AECF是菱形.19.(1)证明：在正方形ABCD中，BC=CD，B=CDF，BE=DF，CBECDF(SAS).CE=CF. (2)GE=BE+GD成立.理由是：由(1)得CBECDF，BCE=DCF，BCE+ECD=D