福建省厦门市2017-2018学年高二下学期期末质量检测理科数学试题含解析

1、 厦门市2017-2018学年度第二学期高二年级质量检测理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则（ ）A. 1 B. C. 2 D. 3【答案】B【解析】分析：利用复数的除法求出，进而得到.详解：由题 故选B.点睛：本题考查复数逇除法运算及复数的模，属基础题.2. 已知是抛物线上一点，则到抛物线焦点的距离是（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】B【解析】分析：直接利用抛物线的定义可得：点到抛物线焦点的距离 详解：由抛物线方程可得抛物线中 ，则利用抛物线的定义可得点

2、到抛物线焦点的距离故选B.点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3. 已知函数，则在处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：求导得到在处的切线斜率，利用点斜式可得在处的切线方程.详解：已知函数，则 则 即在处的切线斜率为2，又 则在处的切线方程为 即.故选C.点睛：本题考查函数在一点处的切线方程的求法，属基础题.4. 2018年6月14日，世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕.通过随机调查某小区100名性别不同的居民是否观看世界杯比赛，得到以下列联表：观看世界杯不观看世界杯总计男402060女152540总计5545100经计算的

3、观测值.附表：0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828参照附表，所得结论正确的是（ ）A. 有以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”B. 有以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关”【答案】C【解析】分析：根据题目的条件中已经给出这组数据的观测值，把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于7.879，在犯错误的概率不超过0.005

4、的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”详解：由题意算得， ，参照附表，可得在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”故选：A点睛：本题考查独立性检验的应用，属基础题5. 期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格.乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】A【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾详解：若甲预测正确，则乙，丙 ， 丁都正确，乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.

5、丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾，故甲预测错误.故选A.点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键6. 空间四边形中，点在线段上，且，点是的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由空间向量加法法则得到，由此能求出结果详解：由题空间四边形中，点在线段上，且，点是的中点，则 故选C.点睛：本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题7. 已知，则（ ）A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9【答案】D【解析】分析：根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，

6、利用对称性，即可求得详解：由题意 ，随机变量， 故选：D点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题8. “”是“函数在单调递增”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：求出导函数，若函数在单调递增，可得 在区间上恒成立解出，故选A 即可详解： ，若函数函数在单调递增， 在区间上恒成立 ，而在区间上单调递减，即“”是“函数在单调递增”的充分不必要条件.故选A.点睛：本题考查充分不必要条件的判定，考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属中档题9.

7、的展开式中含项的系数为（ ）A. -160 B. -120 C. 40 D. 200【答案】B【解析】分析：将化为含由展开式中的， 常数项与中展开式中的常数项， 分别对应相乘得到.分别求出相应的系数，对应相乘再相加即可.详解：将化为含由展开式中的， 常数项与中展开式中的常数项， 分别对应相乘得到. 展开式的通项为 ， 常数项的系数分别为展开式的通项为常数项， 的系数分别为故的展开式中含项的系数为故选B.点睛：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了利用展开式的通项公式求指定项的系数，是基础题目10. 周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经是我国古代数学的重要文献.现拟把这4部著作分给甲、乙、丙

8、3位同学阅读，每人至少1本，则甲没分到周髀算经的分配方法共有（ ）A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种【答案】B【解析】分析：先不考虑限制条件，则共有种方法，若甲分到周髀算经，有两种情况：甲分到一本（只有周髀算经），甲分到2本（包括周髀算经），减去即可.详解：先不考虑限制条件，则共有种方法，若甲分到周髀算经，有两种情况：甲分到一本（只有周髀算经），此时共有种方法； 甲分到2本（包括周髀算经），此时共有种方法，则分配方法共有种.点睛：本题考查了分组分配的问题，关键在于除去不符合条件的情况，属于基础题11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象

9、限的交点为，且满足，则的离心率满足（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：联立圆与渐近线方程，求得M的坐标，由，得点在双曲线右支上，代入双曲线方程化简即可求详解：由，得，即， 由，即 由 ，化简得，即，故选D.点睛：本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题12. 已知函数在有极大值点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：令，得，整理得，问题转化为求函数在山过的值域问题，令，则即可.详解：令，得，整理得，令，则，则令，则在单调递减，经检验，满足题意故选C点睛：本题主要考查导数的综合应用极值和导数的关系，要求熟练掌握利

10、用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键综合性较强，难度较大二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题：，为真命题，则实数的取值范围为_【答案】【解析】分析：，为真命题， 则 详解：已知命题：，为真命题，则实数的取值范围为.即答案为点睛：本题考查当特称命题为真时参数的取值范围，属基础题.14. 甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念，要求老师必须站在正中间，甲同学与老师相邻，则不同站法种数为_【答案】【解析】试题分析：老师必须站在正中间,则老师的位置是指定的；甲同学不与老师相邻，则甲同学站两端，故不同站法种数为：，故填：考点：排列组合综

11、合应用15. 如图，阴影部分为曲线与轴围成的图形，在圆：内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为_【答案】【解析】分析：由题求出圆的面积，根据定积分求出曲线与轴围成的图形的 面积，利用几何概型求出概率.详解：由题圆：的面积为 曲线与轴围成的图形的面积为 故该点取自阴影部分的概率为.即答案为.点睛：本题考查几何概型，考查利用定积分求面积，是缁.16. 已知点在圆上，点在椭圆上，则的最小值为_【答案】【解析】分析：根据题意，详解：根据题意，当三点共线时.点睛：本题考查椭圆的定义，看出最小值IDE求法，属难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 为了

12、实现绿色发展，避免能源浪费，某市计划对居民用电实行阶梯收费.阶梯电价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用电量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯电量第二阶梯电量第三阶梯电量月用电量范围（单位：）从本市随机抽取了100户，统计了今年6月份的用电量，这100户中用电量为第一阶梯的有20户，第二阶梯的有60户，第三阶梯的有20户.（1）现从这100户中任意选取2户，求至少1户用电量为第二阶梯的概率；（2）以这100户作为样本估计全市居民的用电情况，从全市随机抽取3户，表示用电量为第二阶梯的户数，求的概率分布列和数学期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）设“从100户中任意抽取

13、2户，至少1户月用电量为第二阶梯”为事件，利用对立事件可求.（2）从全市任取1户，抽到用电量为第二阶梯的概率， 则，即可求出的概率分布列和数学期望.详解：（1）设“从100户中任意抽取2户，至少1户月用电量为第二阶梯”为事件，则； （2）从全市任取1户，抽到用电量为第二阶梯的概率， 所以， ，的分布列为0123 点睛：本题考查离散型随机变量分布列及其期望的求法，考查古典概型，属基础题.18. 已知函数，.（1）若，求的极值；（2）若恰有三个零点，求的取值范围.【答案】（1）极大值为，极小值为.（2）【解析】分析：（1）若，则，根据利用导数函数的极值的方法即可，（2）， 分类讨论，若恰有三个零点

14、，则的极大值大于零，极小值小于零，即可求出的取值范围.详解：（1）若，则， 所以，当或时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以的极大值为，的极小值为. （2）， 当时，恒成立，在上单调递减， 至多一个零点，不合题意； 当时，令，则， 所以，当或时，；当时，；所以在和单调递增，在单调递减，所以的极大值为，的极小值为. 恰有三个零点，所以， 所以，即；综上，的取值范围为.点睛：本小题考查导数与函数的单调性、极值，函数的零点等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等19. 如图，四棱锥，底面为直角梯形，.（1）求证：平面平面；（2）若直线与平

15、面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）根据题意，设法证明平面，即可证得平面平面；（2） 如图以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值.详解：（1）证明：因为为直角梯形，又因为，所以， 所以，所以, 又因为，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）作于，因为，所以为中点，由（1）知平面平面，且平面平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 设，因为，所以， 如图以为原点建立空间直角坐标系，则， 9分设平面法向量，则，取，则， 所以平面一个法向量， 设与平面所成角为，则, 所以直线与平面所成角为正弦值为.点睛：本题考

16、查直线与直线，直线与平面，平面与平面垂直等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数学结合思想，化归与转化思想20. 厉害了，我的国这部电影记录：到2017年底，我国高铁营运里程达2.5万公里，位居世界第一位，超过第二名至第十名的总和，约占世界高铁总量的三分之二.如图是我国2009年至2017年高铁营运里程（单位：万公里）的折线图.根据这9年的高铁营运里程，甲、乙两位同学分别选择了与时间变量的两个回归模型：；.（1）求，（精确到0.01）；（2）乙求得模型的回归方程为，你认为哪个模型的拟合效果更好？并说明理由.附：参考公式：，.参考数据：1.3976.942850.220.

17、093.72【答案】（1） （2）模型的拟合效果较好【解析】分析：（1）求出，代入最小二乘法公式即可求得 ，（2）利用公式求得，比较大小可得结论.详解：（1）， ， （2）， ， 因为，所以模型的拟合效果较好点睛：本小题主要考查回归直线、回归分析等基础知识；考查运算求解能力和应用意识；考查数形结合思想、概率与统计思想21. 已知椭圆：的离心率是，以的长轴和短轴为对角线的四边形的面积是.（1）求的方程；（2）直线与交于，两点，是上一点，若四边形是平行四边形，求的坐标.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）根据题意可得，解之可得的方程；（2）设， 由得， ，解得，由四边形是平行四边形线，可得，

18、代入椭圆方程，则的坐标可求.详解：（1）椭圆长轴长，短轴长，由已知，得 解得 椭圆的方程是 （2）（2）设， 由得， ，解得， ，四边形是平行四边形线， ， 代入椭圆方程，得，即，解得， 又， ，点的坐标是点睛：本小题考查椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想22. 已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若，求证：当时，.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）依题意，的定义域为，分类讨论可求的单调性；（2）当时，要证明，即证明，只需证明. 设，利用导数研究其性质，即可证明详解：（1）依题意，的定义域为