数学人教版九年级下册28.1.1锐角三角函数：正弦.ppt

1、28.1 锐角三角函数(1),学习目标： 1、理解正弦函数的意义，掌握正弦函数的表示方法。 2、能根据正弦函数的定义计算直角三角形中一个锐角的正弦函数值。 3、通过经历正弦函数概念的形成过程，培养学生从特殊到一般及数形结合的思想方法。 重点： 对正弦函数定义的理解及根据定义计算锐角的正弦函数值。 难点 正弦函数概念的形成。,问题 :为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？,这个问题可以归结为，在RtABC中，C=90，A30，BC35m，求AB

2、,根据“在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半”，即,可得AB2BC70m，也就是说，需要准备70m长的水管,分析：,情 境 探 究,在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？,结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于,A,B,C,50m,35m,B ,C ,AB2B C 250100(m),在RtABC中，C90，由于A45，所以RtABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:,因此,即在直角三角形中，当一个锐角等于45时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于,综上可知，在一个Rt

3、ABC中，C90，当A30时，A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当A45时，A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值.,一般地，当A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？,结论,问题,在图中，由于CC90，AA，所以RtABCRtABC,这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比也是一个固定值并且直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大,如图，在RtABC中，C90，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做A的正弦（sine），记作：sinA 即,例如，当A30时，我们有,当A45时，我们有,c,a,b

4、,对边,斜边,正 弦 函 数,例1 如图，在RtABC中，C90，求sinA和sinB的值,解： （1）在RtABC中，,因此,（2）在RtABC中，,因此,A,B,C,A,B,C,3,4,13,例 题 示 范,5,练一练,1.判断对错:,1) 如图 (1) sinA= （ ） (2)sinB= （ ） (3)sinA=0.6m （ ） (4)SinB=0.8 （ ）,sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；,2)如图，sinA= （ ）,2.在RtABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大 100倍，sinA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定,C,练一练,根据下图，

5、求sinA和sinB的值,A,B,C,3,5,练 习,根据下图，求sinA和sinB的值,A,B,C,1,练 习,练 习,如图，RtABC中，C=90度，CDAB，图中sinB可由哪两条线段比求得。,解：在RtABC中，,在RtBCD中，,因为B=ACD，所以,求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。,28.1 锐角三角函数（2）,如图，在RtABC中，C90，当锐角A确定时，A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？,当锐角A的大小确定时，A的邻边与斜边的比我们把A的邻边与斜边的比叫做A的余弦（cosine），记作cosA，即,

6、情 境 探 究,1、sinA、cosA是在直角三角形中定义的，A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。 2、sinA、 cosA是一个比值（数值）。 3、sinA、 cosA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。,如图：在Rt ABC中，C90，,正弦,余弦,当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是惟一确定的吗？,在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与邻边的比是一个固定值。,如图，RtABC和RtABC，C=C=90，A=A=，,由于C=C=90，A=A=， 所以RtABC RtABC,如图：在Rt ABC中，C90，,我们把锐角A

7、的对边与邻边的比叫做A的 正切，记作 tanA。,一个角的正切表示定值、比值、正值。,思考：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？,可以大于1吗？,对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做A的锐角三角函数。,例2 如图，在RtABC中，C90，AB =10，BC6，求 sinA、cosA、tanA的值,解：,又,例 题 示 范,10,变题： 如图，在RtABC中，C90，cosA ，求 sinA、tanA的值,解：,例 题 示 范,设AC=15k，则AB=17k,所以,下图中ACB=90，CDAB,垂足为D。指出A和B

8、的对边、邻边。,试一试：,BC,AD,BD,AC,如图,在RtABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定,C,试一试：,例3： 如图，在RtABC中，C90,例 题 示 范,1.求证：sinA=cosB，sinB=cosA,2.求证：,3.求证：,例4： 如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若,例 题 示 范,那么 ( ),B,变题： 如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若 AB=10，CD=6，求 .,小结,如图，RtABC中， C=90度，,因为0sinA 1, 0sinB

9、 1,tan A0, tan B0,0cosA 1, 0cosB 1,所以，对于任何一个锐角 ，有 0sin 1， 0cos 1， tan 0，,1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值,练 习,解：由勾股定理,2. 在RtABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？,解：设各边长分别为a、b、c，A的三个三角函数分别为,则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c,3. 如图，在RtABC中，C90，AC8，tanA ， 求：sinA、cosB的值,A,B,C,8,解：,4. 如图，在ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cosDAC, （

10、1）求证：AC=BD； （2）若 ，BC=12，求AD的长。,5. 如图，在ABC中， C=90度，若 ADC=45度，BD=2DC，求tanB及sinBAD.,在RtABC中,及时总结经验，要养成积累方法和经验的良好习惯！,定义中应该注意的几个问题:,1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。,2、sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）。,3、sinA、 cosA 、tanA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。,28.1 锐角三角函数（3）,A,B,C,A的对边,A的邻边,A的对边,A的邻边,tanA,cosA,

11、A的邻边,A的对边,斜边,sinA,斜边,斜边,回顾锐角三角函数如图,设30所对的直角边长为a，那么斜边长为2a,另一条直角边长,30,60,45,45,活 动 1,设两条直角边长为a，则斜边长,30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：,仔细观察,说说你发现这张表有哪些规律?,例1求下列各式的值： （1）cos260sin260 （2）,解： （1） cos260sin260,1,（2）,0,例2：操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30度，并已知目高为1.65米然后他很快就算出旗杆的高度了。,1.65米,10米,?,你想知道小明怎样算出的吗？,应用生活,30,应用新知,例3、(1)如图，在RtABC中，C=90，AB= ,BC= 。求A的度数。 (2)如图,已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的 倍,求.,(1),(2),例4 如图，在RtABC中，ACB=90度，CDAB于D ，已知B=30度，计算 的值。,例5 如图，在ABC中，A=30度， 求AB。,解：过点C作CDAB于点D,A=30度，,求下列各式的值： （1）12 sin30cos30 （2）3tan30tan45+2sin60 （3）,练习,解：,（1）12 sin30cos30,（2）3tan30tan45+2