计算方法实验报告

1、计算方法与实习实验报告 目录实习题1-13实习题2-1（1）4实习题3-25实习题3-5（1）7实习题4-210实习题5-111实习题614实习题1-1用2种不同的顺序计算，分析其误差的变化。算法1:从n=1开始累加，n逐步增大，直至n=10000算法2:从n=10000开始累加，n逐步减小，直至n=1算法1的Matlab程序如下：m=0;for n=1:10000yl=1/(n.*n);m=m+yl;endformat longm算法1的输出结果m=1.8065算法2的Matlab程序如下：m=0;for n=10000:-1:1yl=1/(n.*n);m=m+yl;endformat lo

2、ngm算法2的输出结果m=1.8060结论分析：由运行结果可以发现，当从n=1开始计算时，算出结果为1.8065，而当从n=10000开始计算时，算出结果为1.8060.与题中所给结果相比，可知从n=10000开始计算时，所得近似结果更接近真实值。原因是从n=1开始算时，由于被累加的数是越来越小的，而且开始的几个数比后面的数大得多，而浮点数保留位数有限，因此在累加过程中出现了大数吃小数的现象，导致误差较大。而从n=10000开始累加就很好地避免以上问题，从而能够更接近精确值。实习题2-1（1）用牛顿法求方程的根算法：给定初始值,为根的容许误差，为的容许误差，N为迭代次数的容许值。如果或迭代次数

3、大于N，则算法失败，结束；否则执行。计算。若或N|abs(xl)eps) disp(Newton method failed); break; end d=xl-x0; x0=xl; if(abs(d)eps | abs(func1(xl)delta) break; end end其中函数体func1.func2为:function y = func1( x )y=x*x-exp(x);endfunction y = func2( x )y=2*x-exp(x);end程序输出结果:,分析：给定的初始值是1，根的容许误差为0.，的容许误差为10(-10),经过6次迭代得到满足根的容许误差的结果

4、。实习题3-2用LU分解法解方程组,其中, 算法：将方程组中的分解为,其中为单位下三角矩阵，为上三角矩阵，则方程组化为解2个方程组，具体算法如下：对计算 对计算 对a. 对计算 b.对 ,对计算 ,对计算 注：由于计算的公式与计算的公式形式上一样，故可直接对增广矩阵施行算法，此时的第列元素即为。Matlab程序如下：A=48,-24,0,-12;-24,24,12,12;0,6,20,2;-6,6,2,16;b=4;4;-2;-2;m,n=size(A);nb=n+1;Ab=A b;Ab(2:m,1)=Ab(2:m,1)/Ab(1,1);for k=2:m for j=k:nb Ab(k,j)

5、=Ab(k,j)-Ab(k,1:k-1)*Ab(1:k-1,j); end for i=k+1:m Ab(i,k)=(Ab(i,k)-Ab(i,1:k-1)*Ab(1:k-1,k)/Ab(k,k); endendx=zeros(n,1);x(n)=Ab(n,nb)/Ab(n,n);for k=n-1:-1:1 x(k)=(Ab(k,nb)-Ab(k,k+1:n)*x(k+1:n,1)/Ab(k,k);endfor k=1:n fprintf(x%d=%fn,k,x(k);end程序运行结果：x1=0.x2=1.x3=-0.x4=-0.实习题3-5（1）分别用雅克比迭代法与高斯赛德尔迭代法解下列

6、方程组：1. 雅克比迭代法算法:设方程组的系数矩阵的对角线元素,为迭代次数容许的最大值，为容许误差。取初始向量,令。对计算 如果，则输出，结束；否则执行。如果,则不收敛，终止程序；否则，转。Matlab程序如下：A=10,-1,2,0;0,8,-1,3;2,-1,10,0;-1,3,-1,11b=-11;-11;6;25eps=1e-6max=100n=length(A);x=zeros(n,1);x1=zeros(n,1);k=0;while(1) x1(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x(2:n,1)/A(1,1); for i=2:n-1 x1(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)

7、*x(1:i-1,1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n,1)/A(i,i); end x1(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*x(1:n-1,1)/A(n,n); k=k+1; if sum(abs(x1-x)=max fprintf(The ,Method is disconvergentn); break; end x=x1;endif kmax for i=1:n fprintf(x%d = %fn,i,x1(i); endend程序结果为：（初始设定迭代次数容许的最大值100，容许误差) 迭代次数为17x1 = -1.x2 = -2.x3 = 0.x4 = 2.2. 高斯赛

8、德尔迭代法算法：设方程组的系数矩阵的对角线元素为迭代次数容许的最大值，为容许误差。取初始向量,令。对计算 如果，则输出，结束；否则执行。如果,则不收敛，终止程序；否则，转。Matlab程序如下：A=10,-1,2,0;0,8,-1,3;2,-1,10,0;-1,3,-1,11b=-11;-11;6;25eps=1e-6max=100n=length(A);x=zeros(n,1);x1=zeros(n,1);k=0;while(1) x1(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x(2:n,1)/A(1,1); for i=2:n-1 x1(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*x1(1:i-1

9、,1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n,1)/A(i,i); end x1(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*x1(1:n-1,1)/A(n,n); k=k+1; if sum(abs(x1-x)=max fprintf(The ,Method is disconvergentn); break; end x=x1;endif keps T1=T2; m=2*n+1; x=a:(b-a)/(2*n):b; s=sum(f(x(2:2:m-1); T2=1/2*(T1+h*s); n=n*2;h=h/2;endfprintf(T(%d)=%fn,n,T2);程序运行结果为：T(1024)=1.复化辛卜生算法：复化辛卜生公式为计算过程为：令对 。Matlab程序如下：a=0;b=pi/2;n=2;for i=1:3 x=a:(b-a)/(2*n):b; m=2*n+1; h=(b-a)/n; s=(h/6)*(f(a)+2*sum(f(x(3:2