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1、2001级高等数学（上）期中试卷 一、填空题（每小题4分，共28分）1当时，与是等价无穷小，则 4 。2.设在处连续，则 1 ， 2 。3.若，其中可导，则 。4.函数由确定，则。5.函数在处的三阶带拉格朗日余项的泰勒公式为： . 6.设，则。二、单项选择题（每小题4分，共16分） 7.若，当时，与之差是关于（ A ） （A）高阶无穷小； （B）低阶无穷小； （C）同阶无穷小； （D）等价无穷小。8. （ D ）（A）等于2；（B）等于0；（C）为；（D）不存在但不为。9.设，则使存在的最高阶导数的阶数为（ C ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3。 10.设，有，且在内，则在内（

2、 A ） （A），；（B），； （C），；（D），。三、计算题（每小题6分，共24分）11. 12. 13.设 求。解： ， 。 14. 设函数 （1）求的表达式；（2）讨论的连续性及可导性。解：设， .，在点处连续。 又由初等函数的连续可知在和内连续，在内连续。 ， 不存在，。四、解答题（共30分）15.求函数的间断点，并指出类型。（6分） 解：的间断点为，。， ， 是第一类间断点且为跳跃间断点。 ， 是第一类间断点且为可去间断点。 ，是第二类间断点且为无穷间断点。16. 一飞机在离地面的高度，以/的速度飞行到某目标上空，以便进行航空摄影，试求飞机飞到该目标正上方时，摄影机转动的角速度。（8

3、分） 解：， ， 把，代入上式，得: 。17设某银行中的总存款量与银行付给存户年利率的平方成正比。若银行以的年利率把总存款的贷出，问银行给存户的年利率定为多少，它才能获得最大利润？解：设银行付给存户的年利率为，总存款量为，总利润为，则（为常数），即 ， ， ， 令，得，(应舍去)。 ，是极大值点，也是最大值点。 当银行给存户的年利率定为时，才能获得最大利润。18.试确定方程的根的个数，并指出每一根所在的范围。（8分） 解：设， 则在内的零点与方程的实根相同。 令，得驻点，。-+-极小值极大值， 在内单减，且， ，在内都有唯一零点。（1） 当，即时，在内有一个零点，原方程有一个实根。（2） 当，即时，是的零点， 在内还有一个零点，原方程有二个实根。（3） 当，即时，在内有一个零点； 在内单增，且，在内有唯一零点；在内单减，且，在内有唯一零点。 因此有三个零点，原方程有三个实根。五、证明题（8分） 19设在上二阶可导，且， 试证至少存在一点，使。解：

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