概率论2_2随机变量的数字特征

1、22 随机变量的数字特征,一、离散型随机变量的数学期望,二、连续型随机变量的数学期望,三、随机变量函数的数学期望,四、数学期望的性质,五、随机变量的方差,六、随机变量的矩与切比雪夫不等式,我们已经知道，分布函数（或概率分布、密度函数）全面地描述了随机变量的统计规律。 但是无论从理论或者应用的角度来看，从某些方面粗线条地描述随机变量的统计规律仍是十分必要的。 首先，全面地反映与描述没有突出重点； 其次，在实际应用中要全部掌握一个随机变量的分布也是困难的。事实上，只要能了解几个充分反映出分布特点的数值指标就够用了。这些数值指标就是随机变量的数字特征，它们是本节要讨论的主要内容。 随机变量有许多数字

2、特征，我们主要介绍数学期望、方差和相关系数，它们分别表示随机变量一切可能值的集中位置、集中和分散的程度以及随机变量之间相依的程度。 ,一、离散型随机变量的数学期望,引例 观察一名射手20次射击的成绩如下,当试验次数加大时 频率fi的稳定值就是概率pi 相应地 平均,评价射手的射击水平的“平均中靶环数” 为,一、离散型随机变量的数学期望,若离散型随机变量X的概率分布为 PXxipi i1 2 则当,定义26(数学期望),设 X 是离散型随机变量，其概率分布为,若级数,绝对收敛，则称该级数的和为随机变量,X 的数学期望（mathematical expectation）,（或均值（mean val

3、ue），记作EX,若级数,不是绝对收敛，即,则称随机变量 X 的数学期望不存在。,随机变量 X 的数学期望反映了 X 取值的平均值，它由,分布完全决定。当分布给定时，数学期望为一数值（常数）。,我们假定级数绝对收敛就保证了级数的和与求和的次序无关,例29 设盒中有5个球 其中两个白球 3个黑球 从中随意抽取3个球 记X为抽取到的白球数 求EX,X的可能取值为0 1 2 而且根据古典概型计算 有,解,于是,离散型随机变量的数学期望,提示,二、连续型随机变量的数学期望,设连续型随机变量X的密度函数f(x)只在有限区间a b上取不为零的值 把区间a b进行分割 ax0 x1 xn1b 将X近似地看成

4、是取值为x0 x1 xn的离散型随机变量 此时,分析,当分点越来越密时 近似会越来越好 令各小区间长度趋于0 则有,二、连续型随机变量的数学期望,设连续型随机变量X的密度函数f(x)只在有限区间a b上取不为零的值 把区间a b进行分割 ax0 x1 xn1b 将X近似地看成是取值为x0 x1 xn的离散型随机变量 此时,分析,二、连续型随机变量的数学期望,定义 27(数学期望),若X为连续型随机变量 f(x)为其密度函数 如果,解,连续型随机变量的数学期望,例:设 X 服从均匀分布，即XUa，b，试求 X,解 均匀分布 XUa，b的密度函数为：,的数学期望。,均匀分布的数学期望，正好是区间a

5、， b的中点。,故有：,解,显然EX存在 且,连续型随机变量的数学期望,三、随机变量函数的数学期望,定理21,例 212 设X的概率分布如下表 求E(XEX)2,根据例29 EX12 于是根据定理21(1)有,解,036,根据例211 EX1 于是由定理21(2)有,解,四、数学期望的性质,性质1 对任意常数a 有Eaa 性质2 设a1 a2为任意实数 g1(x) g2(x)为任意实函数 如果Eg1(X) Eg2(X)均存在 则 Ea1g1(X)a2g2(X)a1Eg1(X)a2Eg2(X) (223),例214 设EX EX 2均存在 证明 E(XEX)2EX 2(EX)2 (225),EX

6、2(EX)2,EX 22EXEX(EX)2,EX 22XEX(EX)2,E(XEX)2,因为(XEX)2X 22XEX(EX)2,证明,于是由(223)得,性质3 如果EX存在 则对任意实数a 有 E(Xa)EXa (224),应用举例 设某种商品每周的需求量X是服从区间10，30上均匀分布的随机变量,而经销商店的进货数量为10，30中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元。为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。,解 设进货量为 a，10 a 30，且

7、用 Y 表示利润，则,显然 Y 为 X 的函数，记Yf（X）， 从而期望利润为,为使商店所获利润期望值不少于9280元，有：,即：,解不等式得：,最少进货量为 21 单位。,平均抗拉强度都是126,若最低抗拉强度要求为110，,第二批质量较差。,在平均值或期望值相同的情况下，,随机变量的离散程度也是分布的一个特征。,引 例 有两批钢筋，每批10根，它们的抗拉强度指标如下：,说明,五、随机变量的方差,定义28(方差) 设X为一个随机变量 其数学期望EX存在 如果E(XEX)2也存在 则称E(XEX)2为随机变量X的方差 记作D(X)或DX,XEX称为X的离差,一个随机变量的方差 粗略地讲 反映随

8、机变量偏离数学期望的平均偏离程度,五、随机变量的方差,定义28(方差) 设X为一个随机变量 其数学期望EX存在 如果E(XEX)2也存在 则称E(XEX)2为随机变量X的方差 记作D(X)或DX,(1)设离散型随机变量X的概率分布为PXxipi i12,方差的计算,(2)设连续型随机变量X的密度函数为f(x) 则,(3)计算方差的常用公式为,方差的性质,设X的方差DX存在 a为任意常数 则 (1) Da0 (229) (2) D(Xa)DX (230) (3) D(aX)a2DX (231),例 215 设X的概率分布如下表 已知EX12 求DX,DXEX 2(EX)2,解,18(12)2,0

9、36,解,因为EX1 且,从而,例217 X为一随机变量 方差存在 令 l(C)E(XC)2 (232) 证明 当且仅当CEX时 l(C)达到最小值 此时最小值为DX,显然 当且仅当CEX时 最后一个不等式的等号成立 故l(C)在CEX时达到最小值 且最小值为DX,证明,l(C)E(XC)2E(XEX)(EXC)2,E(XEX)22(XEX)(EXC)(EXC)2,E(XEX)2(EXC)2,E(XEX)2DX,两种方案的预期收益相同。,第二种方案风险更大。,应用举例,六、随机变量的矩与切比雪夫不等式,定义29(原点矩) X为一随机变量 k为正整数 如果EX k存在(即E|X|k) 则称EX k为X的k阶原点矩 称E|X|k为X的k阶绝对矩,定义210(中心矩) X为一随机变量 k为正整数 如果EX k存在 则称E(XEX)k为X的k阶中心矩 称E|XEX|k为X的k阶绝对中心矩,定理22 随机变量X的t阶矩存在 则其s阶矩(0st)也存在,推论 设k为正整数 C为常数 如果EX k存在 则E(XC)k存在 特别地 E(XEX)k存