浅论各类积分之间的关系

1、新乡学院2009级毕业论文论文题目：浅论各类积分之间的关系姓 名 学 号 所在院系 专业名称 指导教师 指导教师职称 2012 年 4 月 1 日目录内容摘要1Abstract1一、积分的分类2二、各积分的特征2（一）定积分的特征2（二）二不定积分的特征3(三) 重积分的特征41、一重积分42、二重积分5（四）曲线积分的特征6(五) 曲面积分的特征6三、各积分之间的关系7（一）定积分与重积分、定积分与线、面积分的关系 7（二）积分与线、面积分和线、面积分的关系 8（三）一般斯托式 10参考文献14致谢15内容摘要：在积分学中，我们学习了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分等。在多元函

2、数中，由于自变量的个数不同，定义域的类型(如平面区域、空间区域、曲线、曲面等)不同，有几种不同类型的积分(如二重积分、三重积分、第一型线面积分、第二型线面积分)，初学者往往感到多元函数的积分类型多，关系繁重，不易掌握，因此本文试图阐述一下各种积分之间的相互关系，揭示各种积分之间的内在联系，从而对掌握多元函数几种积分有所裨益。关键词：积分 定积分 重积分 曲线积分 曲面积分 积分之间关系Abstract: In the integral calculus，we studied the definite integration、double integral、triple integral、lin

3、e integral、rface integral and so on .In the multivariate function, because the number of independent variables are different，the type of domain（such as planar region、space area、curve、surface and so on）is different, there are several different types of integral(such as double integral、triple integral

4、、the first type line range、the second type line range)，beginners tend to feel that there is a lot of multivariate function of integral type, relationship is heavy，not easy to control，this article tries to elaborate the relationship between various points，reveals the inner relationship between the va

5、rious points，thus to the grasp of a function of many benefit several points.Key words: Integration Definite integration Multiple integral line integral Rface integral The relationship between the points在科学领域中，微积分不仅在数学方面占据着及其重要的地位，它还在天文、物理、力学等方面有着及其重要的贡献。不管从其学习的难度方面来讲还是从其应用的广泛程度来说，微积分一直都是数学研究的重点课题，所以

6、研究各类积分之间的关系在数学研究中占着及其重要的地位，它不仅方便初学者学习，可以使初学者更加清晰地认识到各类积分之间的区别和联系，并对其理解和掌握，也对其能熟练的运用到现实生活中，起着及其重要的引导作用，本文就几个常见积分展开论述，阐述它们之间的一些区别与联系，希望通过本文的阐述，能够对大家以后更好的学习积分学以及微分学有写帮助。 一、积分的分类积分按其未知数的个数，分为一元积分学和多元积分学。而一元积分学又分定积分和不定积分两大类。多元积分学也有含参量积分、曲线积分、曲面积分、重积分等分类。所以积分学可谓是种类繁多，纷繁复杂。二、各积分的特征（一） 定积分的特征 定积分就是求函数在区间 a,

7、b中图线下包围的面积。即由=0, =a ,=b, =所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。 设函数 在区间a,b上连续，将区间a,b分成n个子区间a， , ,b.在每个子区间,任取一点 (i=1,2,n)，作和式（见右下图），当n+时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数在区间(a,b)的定积分，记为（见右下图）：其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数叫做被积函数，x 叫做积分变量，叫做被积式， 叫做积分号。 之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。和式：记为：即：（二） 不定积分的特征设是函数的一个

8、原函数，我们把函数的所有原函数+ （为任意常数）叫做函数的不定积分，记作，即。 其中叫做积分号叫做被积函数，x叫做积分变量，叫做被积式，叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。 由定义可知： 求函数的不定积分，就是要求出的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数的一个原函数，再加上任意的常数，就得到函数的不定积分。性质：1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。2、求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来， （三） 重积分的特征 1、二重积分 设二元函数定义在有界闭区域上,将区域任意分成个子域(=1,2,3,)，并以表示第个子域的面积.

9、在上任取一点（，）,作和+ (/=1 ).如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数在区域上的二重积分,记为,即 ,=+ （)这时,称在上可积,其中称被积函数, 称为被积表达式,称为面积元素，称为积分域，称为二重积分号。同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。 性质性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即 性质2 （积分满足数成） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即 (k为常数） 性质1与性质2合称为

10、积分的线性性。 性质3 如果在区域上有,则 推论性质4 设和分别是函数在有界闭区间上的最大值和最小值，为区域的面积， 则性质5 如果在有界闭区域上=1, 为的面积，则性质6 二重积分中值定理 设函数在有界闭区间上连续，为区域的面积，则在上至少存在一点（，），使得=2、三重积分如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数在闭区域上的三重积分。 设三元函数定义在有界闭区域上,将区域任意分成个子域 (=1,2,3,n),并以表示第个子域的体积.在上任取一点,作和+ (/i=1 ).如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数在区域上的三重积

11、分,记为,即 =+（ ），其中叫做体积元素。 （四） 曲线积分的特征设为平面上的一条光滑的简单曲线弧, 在上有界，在上任意插入一点列, 把分成 个小弧段的长度为，又是上的任一点，作乘积,并求和即，记 ，若的极限在当0的时候存在，且极限值与的分法及在的取法无关，则称极限值为在上对弧长的曲线积分，记为：；其中叫做被积函数，叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。曲线积分分为：对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）和对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分） 两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素；例如：对的曲线积分 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素

12、或，例如：对的曲线积分。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。（五） 曲面积分的特征先看一个例子：设有一构件占空间曲面，其质量分布密度函数为(密度分布)，求构件的质量。同样，对于密度不均匀的物件，也不可以直接利用（这里的代表的是面积,下同）处理问题的思想方法类似于分布在平面区域的质量问题，就需要利用曲面积分； ；，就是对面积的曲面积分。而曲面积分又分为对面积的曲面积分 （第一类曲面积分）和对坐标轴的曲面积分（第二类曲面积分）； 对面积的曲面积分和对坐标轴的曲面积分是可以转化的；两类曲面积分的区别在于形式上积分元素的不同，第

13、一类曲面积分的积分元素是面积元素,例如：在积分曲面上的对面积的曲面积分：；而第二类曲面积分的积分元素是坐标平面或,例如：在积分曲面上的对坐标平面的曲面积分：；三、各积分之间的关系（一） 定积分与重积分、定积分与线、面积分的关系一元函数定积分是多元函数几种积分的基础，二重积分、三重积分、第一型曲线积分、每一型曲面积分是定积分不同形式的推广。1、 一元函数定积分的被积函数展布于数直线上的区问，若被积函数的自变量增至两个或三个，积分区域同一维空间的直线段推广为二维空间的区域D或三维空间的区域v，定积分即推广为二重积分或三重积分。二重积分定积分 自变量： 自变量：积分区域：直线段 积分区域：平面区域三

14、重积分定积分 自变量： 自变量：积分区域：直线段 积分区域：立体区域V2、 一元函数定积分，中，被积函数的自变量增至两个或三个，积分区域由一维空间的直线段推广为二维空间(三维空间)的曲线弧或三维空间的曲面块，定积分即推广为第一型曲线积分或第一型曲面积分：第一型空间曲线积分第一型曲线积分定积分 自变量：积分区域：空间曲线自变量：积分区域：平面曲线自变量：积分区域：直线段 定积分第一型曲面积分自变量：积分区域：直线段 自变量：积分区域：空间曲面3、 定积分、二重积分、三重积分、第一型曲线积分、第一型曲面积分可以统一为同一个积分定义如下:设为有界闭的可度量几何体(直线段、平面区域、立体区域、曲线弧、

15、曲面块等）是定义在上的函数，用分法T将分成几个可度量的小几何体，记（=1,2,.）为各几何体的“体积”，且令 的直径，在每个上任取一点M,，作和存在，则称在上可积，记此极限值为在上的积分，记为。（二） 重积分与线、面积分和线、面积分的关系1、 二重积分与二维空间上的曲线积分之间的关系，由格林定理给出：定理1 若函数在闭区域上连续，且有连续的一阶偏导数，则有 这里为区域的边界曲线，并取正方向。格林定理沟通了沿封闭曲线的积分与二重积分之间的联系，给出了利用二重积分计算第二型曲线积分的方法。2、 三重积分与三维空间上的曲面积分之间的关系，由奥高定理给出：定理2 设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面围成

16、，若函数，在上连续，且有一阶连续偏导数则其中取外侧。奥高定理沟通了沿封闭曲面的积分与三重积分之间的联系，给出了三重积分计算第二型曲面积分的方法。3、 三维空间上，曲线积分与曲面积分之间的关系，由斯托克斯定理给出：定理3 设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线，若，在 (连同)上连续，且有一阶连续偏导数，则其中的侧与的方向按右手法则确定斯托克斯公式沟通了三维空间上曲线积分与曲面积分之间的联系。综上所述，各种积分之间的关系可用下图来表述：化为两次定积分计算推广格林公式斯托克斯公式推广二重积分奥高公式三重积分曲线积分曲线弧长计算公式推广定积分曲线积分再者，格林定理、奥高定理、斯托克斯定理还有一个共同之

17、处，都是揭示了在某个区域(二维空间的平面区域、三维空间的立体区域与曲面块)上的积分与沿着该区域的边界(二维空间的封闭曲线、三维空间的封闭曲线和封闭曲面)上的积分之间的内在联系，事实上，元函数定积分的牛顿一莱布尼茨定理也是表述了这样一种关系。定理4 设函数在上连续，是在上的一个原函数，则此定理揭示了展布于数直线上区间的的定积分与函数在区间的两端点 (即积分区域的边界)的函数值之间的联系。因此，从这个意义上讲，上述四个公式可以统一起来，用一个公式表述，这就是下边要讨论的一般斯托克斯公式。 （三） 一般斯托克斯公式下边先简要介绍外积、微分形式和对微分形式的微分与积分，以便把格林公式、奥高公式、斯托克

18、斯公式、牛顿一莱布尼茨公式及这些公式所蕴含的微分与积分之间的关系给予统一地描述。定义1在已有微分之间的加法与数乘运算外，定义微分之间的乘法运算为外积，记为，譬如微分与的外积表示为。定义2三维空间中自变量的微分为基本一次微分形式；两个基本一次微形式的外积，称为基本二次微分形式；三个基本一次微分形式连乘外积称为基本三次微分形式，它们满足以下运算律：(1) (K为实数)(2) (乘法关于加法的分配律)(3) (反交换律)(4)定义3设F，P，Q，R为三维空间中的函数，则称(1) 为三维空间中零次微分形式；(2) 为三维空间中一次微分形式；(3)为三维空间中二次微分形式；(4) 为三维空间中三次微分形

19、式；定义4 对于三维空间中各次微分形式，定义其外微分占分别为：利用外积的运算律与性质，有以下结果：同理可得：由上可知，一般地，在n维空间中K(n)次微分形式的外微分是k+1次微分形式，n次微分形式的外微分等于零。定义5三维空间中K(3)次微分形式在三维空间的K维区域上的积分为 下边讨论格林公式、奥高公式、斯托克斯公式在上述对微分形式积分的意义下的形式：由二维空间的一次微分形式是于是，格林公式 可写为 (1)类似地，奥高公式可写为 (2)斯托克斯公式 (3)可写为 上式右端是三维空间的一维区域(曲线)上一次微分形式的积分，左端是三维空间的二维区域(曲面)上对一次微分形式外微分的积分。牛顿一莱布尼

20、茨公式 （4）可写为上边(1)、(2)、(3)、(4)可统一地表述为，在三维、二维或一维空间中K次微分形式的外微分在K+1维区域上的积分等于K次微分形式在K维区域的边界(K维区域)上的积分。将这个结论推广到n维空间，就得到一般斯托克斯公式上式中，Kn，为n维空间的K一1维区域，a是的边界，是n维空间的K维区域，一般斯托克斯公式可表述为：在n维空间中K(n)次微分形式的外微分在K+1维区域上的积分等于K次微分形式在K维区域的边界a上的积分。它揭示了外微分运算与积分之间的抵消作用，即外微分后再积分等于低一维区域上低一次微分形积分。这样，积分学中的斯托克斯公式、奥高公式、格林公式和牛顿一莱布尼茨公式都可以统一用一般斯托克斯公式表述。参考文献：1鲁俊生.论各种积分之间的关系.殷都学刊,1993(2):34-37.2 谌勇. 系统论述不定积分的解题方法与技巧J.科技信息,2010(15X):23-26.3 曹桂文 程小强. 非负递减函数无穷积分的敛散性几个新的判别法J. 商丘职业技术学院学报,2010(5):3