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1、重积分的应用摘 要：我们认识了重积分，本文主要讨论重积分的应用。关键词：重积分；应用；重心；转动惯量1 求物体的重心密度设是密度函数为的空间物体，在上连续。为求得的重心坐标公式，先对作分割，在属于分割的每一小块上任取一点，于是小块的质量可以近似代替。若把每一小块看作质量集中在的质点时，整个物体就可用这个质点的质点系来近似代替。由于质点系的重心坐标公式为当时我们很自然地把的极限的定义为的重心坐标公式，即当物体的密度均匀即为常数时，则有例2 求密度均匀的上半椭圆的重心。解 设椭球体有不等式表示。由对称性知又由为常数，所以2 求空间物体转动惯量设为空间物体的密度分布函数，它在上连续。对作分割，在属于

2、的每一个小块上任取一点于是的质量可以用近似代替。当以质点系近似代替时，质点系对于轴的转动惯量则是当时上述积分和的极限就是物体对于轴的转动惯量例3 求密度均匀的圆环对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量解 设圆环为密度为，则中任一点与转轴的距离的平方为于是转动惯量其中为圆环的质量3 求空间立体对质点的引力设的坐标为中点的坐标用表示。我们使用微元法求对的引力。 中质量微元对的引力在坐标轴上的投影为，其中为引力系数，其中到的距离。于是力在三个坐标轴上的投影分别为所以例4 设球体具有均匀的密度，求对球外一点的(质量为1)的引力(引力系数为)。解：设球体为球外一点的坐标为显然有现在计算由上述公式，其中用柱坐标计算:4 求空间立体的体积例5 求椭球体解 由对称性，椭球的体积是第一卦限部分体积的8倍，这一部分是以为曲顶，为底的曲顶柱体，所以应用广义极坐标，由于，因此。当时，得到球的体积为。5 求空间物体的质量例6 设球体上各点的密度等于该点到坐标

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