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1、习 题 课 二 十 五一、选择题1函数的极小值点是（B） （A）（0，0）； （B）（2，2）； （C）（0，2）； （D）（2，0）。解：，得驻点：（极大值点）；（非极值点）；（非极值点）；（极小值点）。2. 若函数在点的某个邻域内连续，且满足 则在点（ A ）（A）取极大值； （B）取极小值；（C）无极值； （D）是否取极值不确定。解：由题设及极限的保号性知：存在点的某去心邻域D：，在该邻域D内有，且分母，故，从而，由极值的定义知为极大值。二、解答题1过曲线在第一象限部分中哪一点作的切线与原曲线及坐标轴 之间所围成的图形面积最小？解：设切点为，这是长半轴为，短半轴为的椭圆。切线方程为，化为

2、截距式：，设切线与原曲线及坐标轴所围成的面积为S，则 ，即。求条件极值问题：，令，代入(3)，得 ，得唯一驻点，函数S必有最小值，且S在定义域内只有唯一驻点，在点处面积S有最小值。2求中心在原点的椭圆的长半轴与短半轴的长度。解：设为椭圆上的任一点，点M到原点的距离，d的最大值即为长半轴a，d的最小值即为短半轴b。设，令由(1)得，代入(2)化简得，.把，即，.把，即，.由于最值必存在，故长半轴，短半轴。3求椭球面与平面之间最短距离。解法1: 设为椭球面上的任一点，则点M到平面的距离为.原问题等价于求条件极值设目标函数为， 代入(4)，得，。 驻点为，距离，故所求的最短距离为。4某公司可通过电台

3、及报纸两种方式做销售某商品的广告，据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费及报纸广告费之间有如下经验公式： ，求（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（2）若提供的广告费用为，求相应的最优广告策略。解：（1）利润函数为 ，即， 由解得，。 利润函数在处的二阶偏导数为 ， ， ， 在处达到极大值，即最大值。故当电台广告费用为，报纸广告费用为时，可使利润最大。（2）若广告费用为，则求利润函数在条件下的最大值。设函数： ， 令， 解之得，即将广告费用万元全部用于报纸广告，可使利润最大。5当时,（1）求在球面上的最大值，（2）证明对任何正数，有.解：（1）记,则当点趋于S的边界时, ，这说明的最大值不可能在边界上取得

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