高等数学试卷：03~08高等数学期末答案

1、03级高等数学（上,非电）期终试卷参考答案一、填空题（36=18）1、e 2、 3、4、 5、 6、 二、单项选择题（44=16） 1、C 2、B 3、D 4、C.三、（6 6=36）1、 2、xu 另解：原式= 3、 4、令 则 原式= 另解：原式= 5、 6、 另解：令y=ux，则原方程化为 四、（8）12设 代入方程，求得 3 由初始条件得 0xyy=x12.五、（8） 法一：法二：V= 六、（7）0x2y 七、（7） ，在0与x之间. 有介值定理，至少一点 因而 .04-05-2高等数学期末试卷答案一、 填空题10,一； 2 ； 3 ； 4 1； 5 。二、 单项选择题1 A; 3 D

2、; 4C.三、1. 2.(略) 3. 4. 5.因此是在上的唯一的极小值点,故是最小值点. 五、设,原不等式等价于, 即等价于，,且等号当且仅当时成立。因此单增,从而单增,原不等式得证. 六、由题设知,所给方程可变形；两端对求导整理得，求二阶微分方程得；由得，单减；而所以当时,对 有。七、 记,则在上可导,且若在内无零点,不妨设，矛盾说明在内至少存在一个零点对在上分别使用Rolle定理知存在,使得即高等数学05-06-2（A、B）期末试卷（A、B）参考答案及评分标准 06。1。19一填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1（3）；2（1）；3（4）；4（6）；5；6（8）；7（2）；8

3、（9）；9（7）非充分非必要。二计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）1令， 2 3（4）4（3）令，三（本题满分9分）设为切点， 令，当时，当时，是唯一的极大值点，因而是最大值点，。四（本题共2小题，满分14分）1（本题满分6分）（1分），2（本题满分8分），解得一特解，解得一特解，由得，五（本题满分7分）（1）设严格单增，所以方程存在唯一实根。（2），六（本题满分6分）设为正整数，三边积分得，左边关于相加得：，右边关于相加得：，所以学号 姓名 06-07-2高数A、B期末参考答案及评分标准一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1； 2曲线在对应的点处的切线方程为；

4、3函数在区间内严格单调递减；4设是由方程所确定的隐函数，则； 5 ；6设连续，且，已知,则；7已知在任意点处的增量，当时，是的高阶无穷小，已知，则；8曲线的斜渐近线方程是；9若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解，则该方程为二.计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）1计算不定积分 解：2计算定积分 解：3计算反常积分 解：4设 ，求 解：三（本题满分7分）求曲线自到一段弧的长度。 解：四（本题共2小题，第1小题7分，第2小题9分，满分16分）1求微分方程的通解。解：2求微分方程的特解，使得该特解在原点处与直线相切。解：， 由题设条件得，求得，于是五（本题满分7分）设，求积分的最大值。

5、解：令，得为唯一驻点， ，为在上的最小值，而最大值只能在端点取得。，所以六（本题满分6分）设函数在上存在二阶连续导数，且，证明：至少存在一点，使得 。证：，由于在上连续，在上存在最大值和最小值，故，即 ，由介值定理知至少存在一点，使得 07-08-2高数（AB）期末试卷A参考答案及评分标准08.1.15一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1；2设，则；3已知，则；4对数螺线在对应的点处的切线方程是；5设是由方程确定的隐函数，则的单调增加区间是，单调减少区间是；6曲线的拐点坐标是，渐进线方程是；7；8 ； 9二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式为.二.计算下列积分（本题共3小题，

6、每小题7分，满分21分）10. 解 （2分） （）（1+1分）（3分）11 解 ，（2分）令，（1+3分）原式（1分）12。解 （3+3分）（1分）三（13）（本题满分8分）设，.（1）问是否为在内的一个原函数？为什么？（2）求.解 （1）不是在内的一个原函数，因为，在内不连续.（1+2分）（2） （2+3分）四（14）（本题满分7分）设，求.解 令，（2+3+2分）五（15）（本题满分6分）求微分方程的通解.解 ，（1分）（2+1分）（2分）六（16）（本题满分8分）设、满足，且，求.解 由已知条件得，（1分），（3分）（4分）七（17）（本题满分8分） 设直线与抛物线所围成的图形面积为，它

7、们与直线所围成的图形面积为.（1）试确定的值，使达到最小，并求出最小值.（2）求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.解 (1)（3分）令，得，又，则是唯一的极小值即最小值. （2分）（2）=.（3分）八（18）（本题满分6分）设，求证：当时，.证 令，（1+1分）（1分）（2+1分）08-09-2高数（AB）期末A参考答案一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1函数的单调增加区间为；2已知，则；3曲线的拐点是；4曲线的斜渐近线的方程是；5二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式是；6设是常数，若对，有，则；7；8设是连续函数，且，则； 9设，则.二.按要求计算下列各

8、题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）10 解 11. 解 （）12已知的一个原函数为，求 解 13设，求常数、，使得。 解 由 得 ，由得（2分），由得，。14。解 三（15）（本题满分8分）求微分方程满足初始条件，的特解.解 齐次微分方程的通解为，非齐次微分方程的一个特解为于是原微分方程的通解为代入初始条件得四（16）（本题满分7分）设函数在区间上连续，且恒取正值，若对,在上的积分(平)均值等于与的几何平均值，试求的表达式.解 ，等式两端对求导，记，令，。五（17）（本题满分7分） 在平面上将连接原点和点的线段（即区间）作等分，分点记作，过作抛物线的切线，切点为，（1）设三角形的面积为

9、，求；（2）求极限.解 （1）设，切线方程，切线过，解得（2）六（18）（本题满分6分）试比较与的大小，并给出证明. （注：若通过比较这两个数的近似值确定大小关系，则不得分）解 设当时， ，七（19）（本题满分6分）设在区间上连续可导，求证： .解 09-10-2高数（AB）期末A卷参考答案1函数的定义域是，值域是；2设，当时，在处连续；3曲线的斜渐进线的方程是；4；5函数的极大值点是；6； 7设是由所确定的函数，则；8曲线族（,为任意常数）所满足的微分方程是 ； 9.二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）10 解 。11. 解 。12 解 。13解 。14。设，计算.解 三（15）（本题满分8分）求微分方程满足初始条件，的特解.解 方程的通解为，根据初值条件得，于是特解为四（16）（本题满分8分）设函数在区间上可导，在内恒取正值，且满足，又由曲线与直线所围成的图形的面积为，求函数的表达式，并计算图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.解 解方程，得通解，由题设得，于是，。五（17）（本题满分6分） 已知方程在区间内存在两个互异的实根，试确定常数的取值范围.解 设，令，得唯一驻点