角平分线讲义

1、角的平分线的性质 教学目标 1知识与技能 通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理 2过程与方法 经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法 3情感、态度与价值观 激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力 重、难点与关键 1重点：领会角的平分线的两个互逆定理 2难点：两个互逆定理的实际应用3关键：可通过学生折纸活动得到角平分线上的点到角的两边的距离相等的结论利用全等来证明它的逆定理知识点1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。如右图：OC平分AOBOC平分AOBAOC=BOC2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距

2、离相等。【重点】如上图：OC平分AOB（或1=2）,PEOA，PDOBPD=PE，此时我们知道OPEOPD（直角三角形 斜边是OP即公共边，直角边斜边）3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。如上图：PEOA，PDOB，PD=PEOC平分AOB（或1=2）4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。如右图：C是AB的中点 AC=BC5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。如右图：【重点】ABCDAOC=AOD=BOC =BOD=90 或AOC=90ABCD注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所

3、形成的四个角中的一个角是直角就可以了。反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。典型例题例1. 已知：如图所示，CC90，ACAC求证：（1）ABCABC；（2）BCBC（要求：不用三角形全等判定） 分析：由条件CC90，ACAC，可以把点A看作是CBC平分线上的点，由此可打开思路 证明：（1）CC90（已知），ACBC，ACBC（垂直的定义）又ACAC（已知），点A在CBC的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）ABCABC（2）CC，ABCABC，180（CABC）180（CABC）（三角形内角和定理）即BACBAC，ACBC，ACBC，BCBC（角平分线上的点到这

4、个角两边的距离相等） 评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性例2. 如图所示，已知ABC中，PEAB交BC于E，PFAC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分BAC，并说明理由分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出12，再利用平行线推得34，最后用角平分线的定义得证 解：AD平分BACD到PE的距离与到PF的距离相等，点D在EPF的平分线上12又PEAB，13同理，2434，A

5、D平分BAC 评析：由角平分线的判定判断出PD平分EPF是解决本例的关键“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”例3. 如图所示，已知ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分BAC？请说明理由由此题你能得到一个什么结论？ 分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段 解：AP平分BAC结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、DBM是ABC的角平分线且点P在BM上，PDPE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PFPE，P

6、DPFAP平分BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m；点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号 解：（1）点P在公路与铁路所夹角的平分线上，点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，又点P到公路的距离是400m，点P（学校）到铁路的距离是400m熟能生巧1、已知：如图1，

7、中，C2B，12，求证：ABAC+CD。2、已知，如图2，12，P为BN上一点，且PDBC于D，AB+BC2BD，求证：BAP+BCP180。3、如图，ABC中，ACBC，BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，若CAD2ADC，求B的度数。4、如图4、D是ABC一个外角的平分线上一点。求证：AB+ACDB+DC。5、如图5、ABCD，B90，E是BC的中点。DE平分ADC，求证：AE平分DAB。7、如图7、已知在ABC中，分别以AC、BC为边向外作正BCE、正ACD，BD与AE交于M，求证：（1）AEBD。（2）MC平分DME。8、如图8、ABCD，PCD的面积等于PAB的面积，求证：OP平分BOD。9如图9、在ABC中，B60，ABC的角平分线AD、CE交于点O，求证：AE+CDAC。10、如图10、已知在四边形ABCD中，BDAB，ADDC， BD平分ABC，求证：A+C180。11