函数极限的求法（正文）

1、目录0.引言11.函数极限的定义12. 一元函数极限的求法32.1 利用函数极限定义求极限32.2 利用恒等变形和极限运算法则求极限42.3 利用迫敛性求极限52.4 利用两个重要极限及其推导公式求函数极限52.5 利用洛必达法则求解62.6 利用函数的连续性质求解72.7 利用等价无穷小量代换求解82.8 利用导数的定义求解82.9 利用泰勒公式求极限92.10 利用微分中值定理求极限102.11 利用积分中值定理求极限102.12 利用瑕积分的极限等式求极限113. 二元及多元函数极限的解法123.1 利用二元函数的连续性求解123.2 利用极限的运算法则求解123.3 利用不等式，使用夹

2、逼法则求解123.4 变量替换化为已知极限，或化为一元函数的极限求解133.5 利用恒等变形法求解133.6 利用两个重要极限求解143.7 利用等价无穷小代换求解153.8 利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小的结论求解163.9 利用二重积分来计算二元函数的极限163.10 利用极坐标变换求解173.11 利用二元函数的泰勒展式求解174. 总结18致谢18参考文献20函数极限的求法0.引言极限描述了数列和函数在无限变化中的一种趋势，它体现了从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的数学思想。在数学分析和微积分学中，极限的概念占有重要的地位并以各种形式出现且贯穿全部的内容。极限理论

3、又是研究连续，导数，积分，级数等的基本工具，是微积分的理论基础。极限的计算在解决许多实际问题中不可缺少。因此，掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分学的关键一环。对于如何求极限，怎样使求极限变得容易，这是让绝大多数学生较为头痛的问题。我们如何在准确理解极限的概念、性质和极限存在条件的基础上，灵活巧妙的运用各种不同的方法解决有关极限的实际问题。本文针对一元函数和二元函数极限，对它们的求解方法进行了归纳总结。1.函数极限的定义定义1 设函数在(的空心邻域)内有定义,为一个确定的常数, 若对任给的正数,总存在某一正数, 使得当时, 都有, 记作:或, 称当时以为极限. 或简单地写成: 定义2 设

4、函数在（或 ）内有定义,为定数, 若对任给的, 存在正数, 使得当（或）时有, 则称数为函数当趋于（或）时的右(左)极限. 记作: 和, 或者记作: 和. 右极限与左极限统称为单侧极限。定义3 设为定义在上的二元函数,为的一个聚点,是一个确定的实数。若对任意的正数, 总存在某正数, 使得当时, 都有，则称在上当时, 以为极限, 记作： （1）当分别用坐标表示时, 在不产生误解时, 式也常写作： （2）定义 4 设 , 是的聚点, 是的聚点, 二元函数在集合上有定义, 若对每一个, 存在极限, 由于此极限一般与有关, 因此记作而且进一步存在极限 则称此极限为二元函数先对后对的累次极限, 并记作：

5、，或简记作：.类似地可以定义先对后对的累次极限: .2. 一元函数极限的求法求一元函数极限使高等数学的基本运算之一，能够合理运用解决函数极限的方法至关重要。对求于函数极限问题，从不同的角度思考，从不同角度分析，能得出各种不同的方法。2.1 利用函数极限定义求极限利用函数极限的定义以及不等式证明方法,关键是找出和的函数表达式,满足函数极限定义中的要求。例1 证明.分析：用定义验证的过程，就是根据给出的找的过程，就是解不等式的过程。将经适当的变化（如放大等）为为止（表示仅与常数和有关的表达式），这里证明：这里,函数在点是没有定义的,但是函数当时的极限存在或不存在与它有没有定义并无关系。事实上, ,

6、不等式约去非零因子后就化为,因此只要取,那么当时,就有.所以由函数极限定义知：.2.2 利用恒等变形和极限运算法则求极限恒等变形通常是利用提取出因式约简分式, 分子或分母有理化及三角函数变换等。利用极限运算法则时则应特别注意法则的适用条件即各项极限存在且和, 积运算只能推广出有限项。例2 求.分析：当时，分母，显然不能运用极限运算法则进行处理，但在的过程中，所以在所求的极限公式中可约去不为零的公因式，在求解中所用的方法就是对分子、分母进行合理的因式分解，约去产生奇异的因子，从而达到化简求解的目的。解：原式 .2.3 利用迫敛性求极限利用迫敛性求极限，就是利用所谓的夹逼定理，通过确定两端式子的极

7、限来求解所要求解的极限值。给出夹逼定理：若函数满足，且，则.例3 证明分析：本题函数为无穷级数和的形式，不易用一般方法简单的求出极限值，故在这里考虑与的极限值。证明：利用放缩思想，容易看出而，于是由两边夹准则知：.2.4 利用两个重要极限及其推导公式求函数极限第一个重要极限：；其变形为：.第二个重要极限：；其变形为：或者；其变形为：.例4 求.分析：先判断类型，当时，故所求极限是“”型，且不能消去零因子，现在我们利用第一个重要极限求解。令，通过变形可得.解：原式.例5 求.分析：先判断类型，因为，故知是“”型，且不能消去零因子，令，可化简的第二个重要极限的形式，现在我们利用第二个重要极限求解。

8、解：原式.2.5 利用洛必达法则求解这是目前最常用的求极限的方法之一，最好能与等价无穷小替换相结合，以减少求导的次数。常见的未定式有：型，型，型，型，型，型，后四种未定式能化成前两种基本型型和型下面是形式语言的变换：（1） 或 .（2）. . （3）. . .例6 求极限.分析：当时，显然是型，故可直接使用洛必达法则进行求解。解： .2.6 利用函数的连续性质求解若在连续，则知，即求连续函数的极限，可归结为计算函数值。常见有以下几种形式：(1)设在处连续，若，则及。(2)设，、在处连续,则.例7 求极限.解：因为是初等函数，在定义域内是连续的，所以在处也连续，根据连续的定义，极限值等于函数值。

9、所以.2.7 利用等价无穷小量代换求解定理:设在自变量的某一变化过程中，均为无穷小，又且 ，则. 例如：当时，有，.例8 求极限.解：当时，.故 .2.8 利用导数的定义求解利用导数的定义求极限，一般可得，此方法要求熟练掌握导数的定义及性质。例9 若函数在点处可导, 且，求极限：.解：由于在点处可导, 若令，则.2.9 利用泰勒公式求极限如果函数在含的某个开区间内具有直到阶导数, 即, 那么对于, 有这就是泰勒公式。这是一种非常有效的方法，它实际上已包含了洛必达法则的求解方法，利用泰勒公式求 型极限是一种重要而有效的方法, 因为有些此类不定式运用洛必达法则需要连续几次求导, 但用此法较为方便。

10、例10 求极限.分析：首先要求掌握复合函数的泰勒展式，注意先展里层函数，再展外层函数。其次要把握好将函数展开到适当的阶数。本题中很明显，分母是2阶无穷小量，因此，需将函数展开到2阶泰勒公式带皮亚诺余项。解：由泰勒公式可知 所以因此.2.10 利用微分中值定理求极限若连续, 那么, 于是，其中，（主要是利用拉格朗日中值定理）.例11 求极限.分析：利用拉格朗日中值定理：，在与之间，且.解： 原式.2.11 利用积分中值定理求极限积分中值定理：设在上连续, 则, 使得。积分中值定理的推广形式是, 设在上连续, 在上不变号, 则, 使得.例12 求极限.解： ，.2.12 利用瑕积分的极限等式求极限

11、命题 设在上连续，是的瑕点且瑕积分收敛，则等式成立。例13 求极限.解：因为.而函数在上连续，是的瑕点，且瑕积分于是由上面命题，有，进而有：.3. 二元及多元函数极限的解法二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，两者之间既有联系又有区别。由于变量个数的增加，二元函数极限的求法比一元函数极限的求法要复杂得多，但一元函数极限的基本运算在二元函数极限的运算中同样适用。因此，可将一元函数的计算方法推广至二元函数。3.1 利用二元函数的连续性求解 由二元函数连续的性质可得以下命题命题 若函数在点处连续，则.例14 求极限解：由函数连续的定义不难证明函数在点处连续.故.3.2 利用极限的运算法则求

12、解例15 求极限.解：.3.3 利用不等式，使用夹逼法则求解例16 求极限.解： 由不等式，得到又所以：.3.4 变量替换化为已知极限，或化为一元函数的极限求解通过变量代换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单。例17 求极限.解：设，因.故当时，则原式.3.5 利用恒等变形法求解将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等，以约去零因子或无穷大因式。例18 求极限.解：3.6 利用两个重要极限求解；.它们分别是一元函数中两个重要极限的推广，其中时，视为新变量，考虑极限过程.例19 求极限解：例20 求极限.解： 而故.3.7 利用等价无穷小代换求解

13、一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数。在二元函数中常见的等价无穷小，有 ； ； ； ； ； ； ； .同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用。例21 求极限.解：由；可知.故.3.8 利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小的结论求解例22 求极限.解：因为，所以 原式.3.9 利用二重积分来计算二元函数的极限例23 求极限解：原式可化为其中为.3.10 利用极坐标变换求解设,求极限，若结果与有关，或设，求极限；若结果与有关，则二重极限不存在；若结果与或无关，则二重极限可能存在，这时还要进一步证明所得极限就是所求的二重极限。例24 求极限.解：设，则，极限与有关.或设 （为

14、变量，为参数）极限与有关故原式极限不存在.3.11 利用二元函数的泰勒展式求解例25 求极限.解：把在点展开得：所以.4. 总结一元函数的极限求法基本可以归纳为以下几种方法（1）利用函数极限的定义求极限。（2）利用恒等变形和极限运算法则求极限（3）利用恒等变形和极限运算法则求极限（4）利用迫敛性求极限（5）利用两个重要极限及其推导公式求函数极限(6) 利用洛必达法则求极限（7）利用函数的连续性质求极限（8）利用等价无穷小量代换求极限（9）利用导数的定义求极限（10）利用泰勒公式求极限（11）利用微分中值定理求极限 (12)利用积分中值定理求极限（13）利用瑕积分的极限等式求极限。二元函数极限是

15、在一元函数极限的基础上发展起来的，虽然二元函数极限的求法比一元函数极限的求法要复杂得多，但一元函数极限的基本运算在二元函数极限的运算中同样适用。因此，又可将一元函数的计算方法推广至二元函数。致谢弹指一挥间，大学四年已经接近了尾声。这次毕业设计得到了很多老师、同学和同事的帮助，其中我的导师郑绿洲老师对我的关心和支持尤为重要，每次遇到难题，我最先做的就是向郑老师寻求帮助，而郑老师每次不管忙或闲，总会抽空来找我面谈，然后一起商量解决的办法。此片论文得以完成,首先要感谢郑绿洲老师的细心指导。郑老师开阔的视野，为我提供了极大的发挥空间，在这段时间里让我明白了做任何事情要严谨细致、一丝不苟，对人要宽容、宽

16、厚，郑老师宽厚待人的学者风范更是令我无比感动。感谢各位老师在这几年一直在生活中、组织上给予我的教导和无私的帮助，让我在湖北师范学院学院这个大舞台上有锻炼的能力、自我完善的平台。在此文即将完成之际，我衷心的感谢在此过程中帮助过我的每个人，在这里请接收我最诚挚的谢意！由于时间仓促、自身等原因，文章错误疏漏之处在所难免，恳请各位老师斧正。 参考文献1 张雅平. 二重极限的几种求法. 雁北师范学院学报J. 2005, (2):65-672 扶炜.刘松. 常见的函数极限求法分析. 知识经济J. 2010, (1):1383 康彩萍. 浅谈求函数极限的方法. 科技创新导报J.2010, (4):1604 冯英杰.李丽霞. 二元函数极限的求法. 高等数学研究J. 2003, (1):32-335 符兴安. 二元函数极限计算方法研究. 楚雄师范学院学报J. 2