数学建模 高校教师综合评价

1、“行健杯”数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了“行健杯”数学建模竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： A 参赛队员 (打印并签名) ：1. 赖际亮 2. 李柯 3.

2、 孙勇 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 教练组 日期： 2015 年 4 月 6 日评阅编号（由组委会评阅前进行编号）： “行健杯”数学建模竞赛编 号 专 用 页评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：评阅记录（可供评阅时使用）：评阅人评分备注统一编号：评阅编号：基于AHP、熵权法、灰色关联度评价法对高校教师进行综合评价摘要通过对教师考核评价，可以形成有效的人才激励机制，有助于教师改进教学质量。而通过科学、合理的数学模型，处理由调查问卷得到的数据，将极大提高评价的准确性。本次建模，我们经过优选，确定了1、层次分析法2、熵权法3、将层次分析法和熵权法得到的权重，通过合理的运算，得到综合

3、权重的综合权重法4、灰度关联度评价法。对教师进行了综合评价。针对本题中领导评价指标值模糊的问题，通过与合理的隶属度曲线拟合，科学的将等级制度转换为百分制，使得与其他评价指标量纲相同。针对工作量指标量纲与其他指标不统一，而且离散程度较大，对评价结果影响过大的问题，结合生活中的实际情况，发现将工作量指标的值拟合为一条斜率越来越小的曲线较为合理，即初期基本工作量阶段，该指标权重较大，随着工作量越来越多，该值的影响将越来越小。为了减小随意性，本次选取了一条经过统计学验证的曲线进行拟合，既统一了量纲也解决了该问题。通过上述四种评价方式的验证，发现在四次评价中，教师最终得分的排序基本相同，证明以上数据处理

4、的方法较为合理。本次选取的四种建模方法各有不同的特点：一、 层此分析模型结合权威专家的判断，确定各指标的权重，并通过分层两两比较的方法减小了人的主观判断的误差，并且数据通过一致性检验公式，可以认为确定的权重是可信的，其结果具有科学性，准确性。二、 熵权法模型去除了人的主观因素的影响，仅从数据的波动中刷选出波动较大即有筛选价值的指标，给予较大的权重，使得出的结果有筛选价值。三、 综合权重模型是本次建模的创新点，通过熵权法确定的权重与结合层次分析模型得出的权重相结合，通过科学运算得出综合权重，即解决了层次分析法中人的主观因素影响较大的问题又解决了熵权法中数据处理的机械性的问题，得出的结果较为合理。

5、四、 灰色综合分析法模型通过优选一个最佳的理想样本，求待评教师与该理想样本的相似度，相似度越高的教师则越优秀，客观的对教师进行了评价。关键词： 隶属度拟合 统一量纲 AHP 熵权法 灰色关联度 综合权重一、问题重述某高校对教师考核有4个指标，它们分别是：学生的评价得分（）、领导评价（）、教学小组测评得分（）和工作量考核（）；下表是某教学小组8名教师的考核结果：待评对象（n） 教师1 87 优- 100 233.9教师2 95 良 98.2 192.9教师3 89 良 99.1 311.1教师4 82 良 95.5 274.9 教师5 77 优 97.3 263.6教师6 97 优 100 18

6、2.3教师7 88 良 91.97 220.6 教师8 70 良 91.97 182.0试用多种方法对8名教师进行评价。二、模型假设1， 假设题目中的数据都真实可靠2， 假设题目给出的数据都有代表性和合理性3， 假设各评判人都公正客观。无拉票，乱选等不正常因素4， 假设各教师资质，教学科目，工作任务都相同三、符号说明由于本次建模采用了四种模型，故相应的符号说明放在各建模方法的开始，便于查阅四、问题分析本文根据题目给出的各项评价指标及各指标的值，建立数学模型，对八位教师工作教学情况进行科学的评价。模型要求尽可能减少人的因素的影响，并通过一系列数学运算减小误差。本题给出了四项评价指标，对八位教师进

7、行了打分评价，需要科学的确定各评价指标的权重，根据权重对教师进行综合评价。存在的问题：1） 领导评价指标的值是模糊值。2） 工作效绩的值量纲与其他指标不同，且数据离散程度很大。3） 各评价指标在评价过程中所占的权重未定，需要科学的方法计算权重。五、模型的建立和求解题目给出的评价指标如果按相同权重对待，直接相加求和，其结果将缺乏科学性和准确性，故应该通过数学模型确定权重，弱化不重要指标对评价结果的影响。本问题中存在：1、工作量项的值离散较大，且未统一量纲。本次建模，通过与拟合精选的统计学曲线得到了较为合理的百分制的值。2、领导评价项的值模糊，故需要将等级制转换为百分制，为减小这种转换的的随意性，

8、采用了偏大性柯西分布和对数函数构造了一个隶属函数，通过与该曲线拟合得到了科学合理的统一量纲的具体值。具体实现：将领导评价项定为十个等级（优+，优，优-，），以6为基准进行赋值。“优+”为9.5，“优”为9.0， “良”为7.5，以此类推。因为我们需要的是百分制的确定值，且不能直接进行线性转化。故采用偏大型柯西分布和对数函数构造了一个隶属函数（其中、a、b为待定参数）求解隶属函数当“优+”时，则隶属度为1，即f（10）=1；当“良-”时，则隶属度为0.7；即f（5）=0.7；当“差”时，则隶属度为0.01，即f（1）=0.01；通过MATLAB计算得到=7.8570, =0.7183,a=0.4

9、328,b=0.3422则画出隶属度函数图象根据这个规律，对于任何一个评价，都可以给出一个合理化的量化值。将等级转化百分制：等级优+优优-良+良良-中+中中-差分数98.5895.4490.8883.3177.1669.9458.7441.9317.295对于工作量指标，以最大工作量为10分，线性得出其余教师的工作量的分数，带入故采用偏大型柯西分布和对数函数的隶属函数转化后的考核结果表待评对象学生评价领导评价教学小组工作量教师18790.8810087.3150教师29577.1698.278.974教师38977.1699.199.6893教师48277.1695.594.3053教师577

10、95.4497.392.4886教师69795.4410076.5273教师78877.1691.9784.7812教师87077.1691.9776.4566下面三种方法均基于上表数据（一） 层次分析法5.1.1符号说明A: 表示目标层；B: 表示指标层；：表示评价因素；：表示对的相对重要性数值；P：表示判断矩阵；：表示判断矩阵的最大特征值根；：表示最大特征值对应的特征向量；CI：表示判断矩阵的一致性指标；CR:表示判断矩阵的随机一致性比率；RI:表示判断矩阵的平均一致性指标；:教师评价指标向量；:第i位教师的最终成绩。5.1.2层次分析法简介20 世纪 80 年代， 美国 TLSaaty

11、教授提出一种用于解决多目标、 多方案的决策方法层次分析法。它的基本原理是:根据问题的性质和需要达到的总目标， 把问题分解为不同的组成要素， 同时根据各要素之间的相互关联程度和隶属关系， 将要素按照不同层次进行组合， 从而得到一个多层次的分析结构模型。其中， 把决策的备选方案放在最底层，考虑的因素、 准则放在中间层， 决策的目的、 解决的问题放在最高层。本题只提供了四项评价指标，为了便于一致性检验，把四项指标归于一层，则高校教师考核评价模型如下图所示。5.1.3层次分析模型的基本步骤包括：1）建立层次模型如上图所示。用成对比较法，构造判断矩阵，构造判断矩阵的规则如下：表1：标度定义含义1同样重要

12、两元素对某准则同样重要3稍微重要两元素对某准则，一元素比另一元素稍微重要5明显重要两元素对某准则，一元素比另一元素明显重要7强烈重要两元素对某准则，一元素比另一元素强烈重要9极端重要两元素对某准则，一元素比另一元素极端重要2，4，6，8相邻标度中指表示相邻两标度之间折中时的标度倒数反比较元素i对元素j的标度为，反之为1/（1-9表读法则符合人的认识规律，有一定的科学依据。从人的直接判断能力看在区分事物数量差别时，习惯使用相同、稍强、强、明显强、绝对强等判断语言。根据心理学试验表明，多数人对不同事物在相同准则上的差异，其分辨能力介于5-9级之间，1-9标度反映了多数人的判断能力。Saaty将1-

13、9标度方法和其它标度方法进行对比，大量模拟实验证明，1-9标度是可行的，与其它标度方法比较，能更有效地将思维判断数量化。）表2（RI）:n1234567891011RI000.580.9021.411.451.491.51n:判断矩阵的维数；：判断矩阵的最大特征值；（C.I越大，偏离一致性越大。反之，偏离一致性越小。判断矩阵的阶数m越大，判断的主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大，反之偏离一致性越小。当阶数m小于等于2时，C.I=0判断具有完全一致性，因此引入平均随即一致性指标R.I,并且一致性指标与其比较，得一致比率：RI：随机一次性指标，根据n的取值查表。）如果

14、一致性检验指标 CR 0. 10， 则认为判断矩阵的一致性是可以接受的， 否则应对判断矩阵作适当修正。 我们依据判断矩阵可以采用算术平均法(求和法) 计算出同一层次各元素所占的权重。2）根据表1读法则对指标层进行两两比较，得到四个比值/,/,/,/(i=1,2,3,4), 构成一个4行4列的判断四个因素重要 的判断矩阵P。设计四个因素所组成的向量元素 0(正矩阵),I,j=1,2,3,4 并且满足下列两个条件:（1）=1；（2）=且此矩阵为互反矩阵5.1.4 模型计算通过查阅资料及问卷调查判断，如下表所示：学生评价领导评价教学小组测评工作量学生评价1323领导评价1/311/22教学小组测评1

15、/2212工作量1/311/21则得出：根据互反矩阵A计算特征值和特征向量，运用MATLAB和归一化3）验证P的一致性，查表2得RI（4）=0.89此矩阵的一致性可以接受4） 得出考核评价权重表：学生评价领导评价教学小组测评工作量0.45470.14110.26300.1411 对最总成绩进行排名如下表：（二） 熵权法计算权重5.2.1符号说明：表示第i个评价项目的第j个指标：表示数据原始矩阵：表示第i个评价项目第j个指标的指标值的比重：表示第j个指标的熵值：表示第j个指标的熵权：方法一中根据分层评价法的权重：表示方法二中的熵权值：与的综合权重5.2.2熵权法原理熵原本是一热力学概念，它最先由

16、申农 C. E.Shannon 引入信息论 ，称之为信息熵。根据信息论的基本原理 , 信息是系统有序程度的一个度量，而熵是系统无序程度的一个度量。申农定义的信息熵是一个独立于热力学熵的概念，但具有热力学熵的基本性质(单值性、可加性和极值性)，并且具有更为广泛和普遍的意义，所以称为广义熵。根据熵权法的思想，如果某个指标的熵值越小，说明其指标的变异程度越大，提供的信息量就越多，在综合评价中该指标起的作用就越大，其权重就应该相应增大。熵权法根据各指标的变异程度，利用信息熵计算出各指标的熵权，再通过熵权对各指标进行加权，从而得出较为客观的指标权重。有较强的科学性和可操作性，符合测量学的要求。熵权法是一

17、种客观的付权方法，避免了层次分析法中过于依赖人的主观判断的缺点。若系统可能处于多种不同的状态。而每种状态出现的概率为（i=1,2,m）时，则该系统的熵就定义为：显然，当=1/m（i=1,2,m）时，即各种状态出现的概率相同时，熵取最大值，为：现有m个待评项目，n个评价指标，形成原始评价矩阵对于某个指标 有信息熵：，其中5.2.3实现方法：1) 将m个评价项目，n个评价指标形成阶数据矩阵2) 计算第j个指标下第i个项目的指标值的比重的公式为：4) 计算第j个指标的熵值的公式为：5) 计算第j个指标的熵权的公式为：6) 根据熵权对各指标进行加权计算，得出顺序5.2.4模型实现：Matlab编程程序

18、运行结果：学生评价领导评价教学小组评工作量考核熵权0.33750.32640.03510.3010利用熵权法对教师的综合评价表为了提高评价的准确性，科学性，根据层次分析法确定的权重和熵权确定综合权重，依照此综合权重再次对教师进行评价使用matlab计算出综合权重表：学生评价领导评价教学小组评工作量考核0.61000.18310.03670.1702使用综合权重得出的评价表：(三)基于灰色关联度的评价方法5.3.1符号说明：: 各个评价对象的指标数据构成的矩阵；：目标对象的指标数据；：权重系数矩阵；：相关系数；: 各个对象与目标对象之间的灰色加权关联度矩阵；5.3.2灰色系统理论灰色系统理论是我

19、国学者邓聚龙于1982年提出的，其中灰色关联度分析的用途最为广泛。关联度是表示两个事物的关联程度的度量。例如：下图中有3 条曲线，我们可以直观地看出曲线1与曲线2比较相似，而曲线3 与曲线1的2的形状相似程度就差一些。关联度就是用来表示这种相似程度的数字。虽然我们通过肉眼就能很快地看出图1中曲线的相似情况；但是，若曲线比较多，形状比较复杂时，我们再用直观的方法就不容易准确判断出相似性了，而必须借助数学计算。这就是关联度分析的意义所在。衡量关联程度一般用绝对关联度和速度关联度这两种度量方法。5.3.3基于灰色关联度的评价方法基于灰色关联度的评价方法是：先求出评价对象对目标对象关联度数据，再用这些

20、数据作为对象的指标数据进行评价。具体步骤如下：(1) 确定目标对象 目标对象的确定既要考虑先进性也要考虑可行性，可以是公认的最优值，也可以从评价对象的指标数据中选出最优值。假设有n个评价对象，评价指标有m种（均是极大型指标），即：描述被评价对象的指标数据：描述被评价对象的指标数据：描述被评价对象的指标数据：写成矩阵形式为：在这个问题中，可得：则可以由A求出目标对象的指标数据：代入8个教师的数据，得：(2) 确定权重系数 确定m种评价的相对重要性。设权重系数为：我们由前面的方法计算的权重系数为：(3) 计算关联系数 由于评价对象各指标间并非时间序列的关系，因此用下式计算各指标数据的关联系数。可用

21、下面的公式计算这n个数据中每一个数据（）与参考数字之间的关联系数。其中：， ；一般。最终求出 n个评价对象与目标对象的所有关联系数，即：用MATLAB程序（程序见附录）计算的结果为：(4) 计算评价结果 假设我们使用线性加权评价模型，即计算各个对象与目标对象之间的灰色加权关联度：程序运行的结果为：得出排名如下：基于灰色综合评价系统的教师评价从结果可以看出，教师6的评价结果最优。六、模型的评价与推广6.1模型的优点：使用曲线拟合将领导评价指标模糊的一项较为科学地转化为百进制数，同时对工作量项进行了类似的转换，使得全都的指标都变成了统一量纲的数值，在后续计算权重分时，减少了因为量纲不同而带来的系统

22、误差。工作量项的值离散很大，如果直接代入权重公式，则该项对评价结果的影响过大，尤其是对熵权法的影响难以接受。通过与生活中教师的实际工作情况，我们知道工作量项的值对教师考核优劣的影响应该是一条斜率越来越小的曲线，即初期基本工作量阶段影响大，随着工作量越来越多该值的影响越来越小。故本次采用了与一个广泛应用的统计学曲线进行拟合，得到比较合理的数值。本次建模采用多种模型进行了评价一、 层此分析模型采用对权威专家确定权重，并用分层两两比较的方法减小了误差，并且通过一致性检验，可以认为确定的权重是可信的，其结果具有科学性。二、 熵权法模型去除了人的主观因素的影响，仅从数据的波动中刷选出波动较大即有筛选价值

23、的指标，给予较大的权重，使得出的结果有筛选价值。三、 综合权重模型在熵权法的基础上，结合了层次分析模型得出的权重，得出综合权重。解决了层次分析法中人的主观因素影响较大，和熵权法中方法的机械性，得出的结果较为合理。四、 灰色综合分析法模型假设一个教师所有得分是满分，分析待评教师与假设教师的相似度，认为与假设教师的相似度越高的教师越优秀，较为客观的分析数据得出结论。6.2模型的缺点一、 层级分析模型人的主观因素影响较大。二、 熵权法模型将各指标的重要性取为相等。三、 转化百分制时不能完全反映评判人的意愿。七、参考文献1 郭金玉, 层次分析法的研究与应用J, 中国安全科学学报, 2008, 18（5

24、）: 148153.2 毛毅刚, 基于熵权法的高校体育教师评价指标体系的建立J. 重庆理工大学学报, 2015, 29（1）:1511543 张玲, 浅析高校英语教师绩效评价体系的构建J. 教育教学论坛, 2015, 9: 2122.4张宁,高校教师绩效评价的定性分析及数学模型J.江苏社会科学,出版年缺失,卷缺失(期缺失):8184. 5佚名，熵权法确定指标权重， /link?url=wrl_bucdjidk4nwiYwTCggfzHQMTwwB732RuU8vHGkPXpZCj-jUamRU_LZ6T7VyBJLl4I9EQ5nlUw1DloCAGU

25、Jvbu7YiWlz0DEImYMYjcfm&qq-pf-to=pcqq.discussion， 2015.4.5 6 郝威, 灰色综合评价法用于教学效果评价J. 中国教育技术装备, 2012, 22: 1.2八、附录8.1 层次分析法MATLAB程序a=1 3 2 3;1/3 1 1/2 1;1/2 2 1 2;1/3 1 1/2 1;S=sum(a);w=zeros(1,4);for i=1:4 for j=1:4 w(i)=w(i)+a(i,j)/S(j); endendw=w/4; r=87 90.88 100 233.9;95 77.16 98.2 192.9;89 77.16 99

26、.1 311.1;82 77.16 95.5 274.9; 77 95.44 97.3 263.6;97 95.44 100 182.3;88 77.16 91.97 220.6;70 77.16 91.97 182.0; for j=1:8 r(j,4)=r(j,4)/31.11;end for j=1:8 r(j,4)=43.28*log(r(j,4)+0.3422e-2;endw=w; result=r*w8.2 熵权法MATLAB程序r=87 90.88 100 233.9;95 77.16 98.2 192.9;89 77.16 99.1 311.1;82 77.16 95.5 27

27、4.9; 77 95.44 97.3 263.6;97 95.44 100 182.3;88 77.16 91.97 220.6;70 77.16 91.97 182.0; for j=1:8 r(j,4)=r(j,4)/31.11;end for j=1:8 r(j,4)=43.28*log(r(j,4)+0.3422e-2;endS=sum(r);p=rand(8,4); for i=1:8 for j=1:4 p(i,j)=r(i,j)./S(j); endendk=-1/log(8);e=0 0 0 0;for i=1:8 for j=1:4 e(j)=e(j)+p(i,j)*log(

28、p(i,j); endende=e*k; w=zeros(1,4);b=0;for j=1:4 b=b+(1-e(j);endfor j=1:4 w(j)=(1-e(j)/b;endw=w;result=r*w8.3 综合权重法MATLAB程序format shortr=87 90.88 100 233.9;95 77.16 98.2 192.9;89 77.16 99.1 311.1;82 77.16 95.5 274.9; 77 95.44 97.3 263.6;97 95.44 100 182.3;88 77.16 91.97 220.6;70 77.16 91.97 182.0; fo

29、r j=1:8 r(j,4)=r(j,4)/31.11;end for j=1:8 r(j,4)=43.28*log(r(j,4)+0.3422e-2;endS=sum(r); p=rand(8,4);for i=1:8 for j=1:4 p(i,j)=r(i,j)./S(j); endendk=-1/log(8); e=zeros(1,4); for i=1:8 for j=1:4 e(j)=e(j)+p(i,j)*log(p(i,j); endende=e*k; w=rand(1,4);b=0;for j=1:4 b=b+(1-e(j);endfor j=1:4 w(j)=(1-e(j)/b;endwa=w; a=1 3 2 3;1/3 1 1/2 1;1/2 2 1 2;1/3 1 1/2 1;S=sum(a);w=zeros(1,4);for i=1:4 for j=1:4 w(i)=w(i)+a(i,j)/S(j); endendw=w/4; r=87 90.88 100 233.9;95 77.16 98.2 192.9;89 77.16 99.1 311.1;82 77.16 95.5 274.9; 77 95.44 97.3 263.6;9