椭圆简单的几何性质.ppt

1、8.2椭圆的简单几何性质,1.椭圆的定义:,到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。,2.椭圆的标准方程是：,3.椭圆中a,b,c的关系是:,b2=a2-c2,当焦点在X轴上时,当焦点在Y轴上时,二、椭圆 简单的几何性质,由 1, 1 得,1、范围,-axa, -byb 知 椭圆落在x=a,y= b围成的矩形中,2、对称性：,关于x轴对称,关于y轴对称,关于原点对称,3、椭圆的顶点,令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？,*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 *长轴、短轴：线段A1A2

2、、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。,4、椭圆的离心率,离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：,叫做椭圆的离心率。,2离心率的取值范围：,3离心率对椭圆形状的影响：,1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆,1e与a,b的关系:,0e1,例 1、求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形。,解：由椭圆方程知 a=5,b=3,c=,因此，长轴长2a=10,短轴长2b=6,焦点为F1（-4，0）和F2（4，0），顶点为 A1（-5，0），A2

3、（5，0），B1（0，-3），B2（0，3）,离心率,将方程变形为 根据 算出椭圆第一象限内的几个点的坐标,先描点画出第一象限的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆。,例2、我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）F2为一个焦点的椭圆。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地B（离地面最远的点）距地面2384km，AB是椭圆的长轴，地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程。,解：以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系xOy，AB与地球交于C，D两点。设椭圆方程为,由题意知 AC=439，BD=2384，F2C=F2D=6371,a

4、-c=OA-OF2=F2A=439+6371=6810 a+c=OB+OF2=F2B=2384+6371=8755,解得 a=7782.5 c=972.5,因此，卫星运行的轨道方程是,|x| a,|y| b,关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称,(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b),(c,0)、(-c,0),长半轴长为a,短半轴长为b. ab,|x| b,|y| a,同前,(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a),(0 , c)、(0, -c),同前,同前,同前,例3、椭圆的中心在原点，一个顶点是（0，2），离心率 ，求椭圆的标准方程,解：（1）当（0，2）点是短

5、轴端点时 所以a=2,（2）当（0，2）点是长轴端点时 所以b=2,练习,1、求下列椭圆的长轴和短轴长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标,答案：（1）长轴长为10，短轴长为4，焦距为 离心率为 顶点为（2，0） （-2，0） （0，5）（0，-5）焦点坐标为（0， ） （0， ）,(2)长轴长为2，短轴长为1，焦距为 离心率为 顶点为（2，0） （-1，0） （0，0.5）（0，-0.5） 焦点坐标为（0， ） （0， ）,2、椭圆以两坐标轴为对称轴，一个顶点是（0，3），另一个顶点是（-12，0）则焦点坐标为（ ）,椭圆,的几何性质（2）,A1,B1,复习：椭圆的几何性质,b,-b,a,-a

6、,1、范围： x ， y .,A2,B2,2、顶点:,3、对称性：椭圆既是 对称图形，也是 对称图形.,轴,中心,4、离心率:,e=,( e ),0,1,5、a、b、c的关系 .,a,c,b,6、准线方程：x= .,椭圆的定义和标准方程分别是什么？,平面内到两个定点的距离的和（2a）等于定长（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。定点F1、F2叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。,焦点在x轴上,焦点在y轴上,(ab0),(ab0),问题1,问题2,求曲线的方程的步骤有哪些？,建系设点 列方程化简 最后别忘了检验,点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l：xa2/c的距

7、离的比是常数e=c/a(ac0)，求点M的轨迹。,探究：,解：设d是点M到直线L的距离，由题意知所求轨迹就是集合：,由此得,将上式两边平方，并化简，得,设,就可化成,这就是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是焦点在x轴，长轴、短轴长分别2a,2b的椭圆,当点M与定点F的距离和它到定直线l的距离的比是常数e=c/a(0e1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。,（一）椭圆的第二定义,对于椭圆x2/a2y2/b21，相应于焦点F2(c,0)的准线方程是l：xa2/c，根据椭圆对称性，相应于焦点F1(c,0)的准线方程是l：xa2/c；,注 意：,（1）

8、焦点和准线是对应的。,对于椭圆x2/b2y2/a21： 相应于焦点F2(0,c)的准线方程是l：ya2/c 相应于焦点F1(0,c)的准线方程是l：ya2/c。,椭圆上的点M与焦点F和它到准线l(与焦点F相对应的准线)的距离的比。,（2）离心率的几何意义：,（3）解题常用到的相关量：,除了a、b、c、e外 两准线间的距离：2a2/c 焦点到相应准线的距离-焦准距p: p=a2/c-c=b2/c,例题分析,例1求椭圆4x2y21的x、y的范围，长轴长，短轴长，离心率，焦点与顶点坐标，准线方程。,解：范围：1/2x1/2,1y1 长轴长2a2，短轴长2b1 顶点(0,1),(1/2,0) 焦点 离

9、心率 准线方程,解法1：,解法2：,课堂练习： 1、椭圆的x2/9+y2/25=1准线方程是 （） A 、 x=+25/4 B、 y=+16/5 C、 x=+16/5 D、y=+25/4 2、椭圆x2/25+y2/16=1上一点P到一个焦点的距离等于3，则它到相应的准线的距离是,5,D,3、椭圆x2/4+y2=1上一点到右焦点的距离是3/2，则到左准线的距离是 4、设P是椭圆x2/100+y2/36=1上一点，P到左准线的距离是10，则P到右准线的距离是（ ） A、6 B、8 C、10 D、15,D,5、已知椭圆x2/25+y2=1，点M(4,y0)在椭圆上，求点M到两个焦点的距离。 6、求中

10、心在原点，离心率为6/3，且一条准线方程是y=3的椭圆方程。,到左焦点距离是37/5，到右焦点距离是13/5,y2/6+x2/2=1,课后反思,椭圆的离心率是焦距与长轴的比，椭圆上任意一点到焦点的距离与这点到相应准线的距离的比也是离心率，它反映了椭圆的扁圆程度，也沟通了椭圆上的点的焦半径与到相应准线距离之间的关系，同时要注意椭圆的准线方程与焦点所在的位置的关系。,思考上面探究问题，并回答下列问题：,探究：,（1）用坐标法如何求出其轨迹方程，并说出轨迹,（2）给椭圆下一个新的定义,|PF1|a+ex0， |PF2|aex0,焦半径公式,归纳:,椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。,基础练习:,D

11、,A,定义：,注：我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义，,而相应的把另一个定义称为椭圆的第一定义。,定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线。,H,d,敬请指导,椭圆的简单的几何性质,第四课时 椭圆的参数方程,目 标,1、了解椭圆的参数方程,理解参数方程中系数a、b和参数的几何意义; 2、会用椭圆参数方程解决有关问题.,椭圆的准线与离心率,离心率：,椭圆的准线 方程：,离心率的范围：,相对应焦点F（c,0），准线方程是：,相对应焦点F（- c,0），准线方程是：,复习,椭圆的有关几何量,1.两准线间距离 2.焦半径:,M F1= a+ex, MF2= a-ex .,1.圆x2+y2=r2(r0)

12、的参数方程:,2.圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程:,其中参数的几何意义为:,为旋转角,参数方程的实质:三角换元,新课探究,问题1:,与圆类似,把方程(1)叫做椭圆的参数方程.,问题2:椭圆的参数方程中 ，a,b, 的含义是什么?,探求新知,例1 如图,以原点为圆心,分别以a、b(ab0) 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点， 过点A作ANOx，垂足为N，过点B作BMAN，垂足 为M，求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。 分析：本题是给定条件求轨迹问题，请同学们观察并 思考下列各问题： （1）动点A、B、N、M分别是如何运动的？相互关系如何？其中最主要的动点

13、是哪个点？ （2）动点M是如何产生的？M的坐标与点A、B的坐标的关系如何？ （3）什么是参数方程？如何设出恰当的参数？,例1：如图，以原点为圆心，分别以 a、b（ab0)为半径作两圆.点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作 ANOx ，垂足为N，过点 B作 BMAN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程。,解：,x,O,y,A,M,N,B,x,O,y,A,M,N,B,说 明,由图形可知:椭圆上到中心距离最远的点为两长轴端点,最长距离为a; 最近的点为短轴两端点,最短距离为b.,圆和椭圆的参数方程的比较,(a,b)为圆心, r为半径,a为长半轴长,b为短半轴长; 为离心角,练

14、习1,把下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参数方程.,例2.P(x,y)为椭圆 上任意一点, (1)求3x+4y的取值范围; (2)求x2+y2的最值.,解：由已知可设,知识应用,例3:如图在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最小. 解1:把直线l平移至首次与椭圆相切,切点就是所求的 点P,即:设l1的方程为x-y+m=0 ,整理得9y2-2my+m2-8=0, =4m2-49(m2-8)=0, 解得m=3.由图形可知m=3,l1首先与 椭圆相切,此时 ,即9y2-6y+1=0.,X,Y,l,O,x-y+m=0,X2+8y2=8,x-y+3=0,X2+8y2=8,例3:如图在