多面体欧拉定理的发现

1、多面体欧拉定理的发现本论文主要讲述多面体欧拉定理的发现，证明与完善，及其拓展应用前言多面体欧拉定理是著名瑞士数学家莱昂哈德欧拉所提出的.欧拉,出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城,13岁就进巴塞尔大学读书,得到当时最有名的数学家约翰伯努利（Johann Bernoulli,1667-1748年）的精心指导有许多关于欧拉的传说。比如，欧拉心算微积分就像呼吸一样简单。有一次他的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来。欧拉创作文章的速度极快，通常上一本书还没有印刷完，新的手稿就写好了，导致他的写作顺序

2、与出版顺序常常相反，让读者们很郁闷。而且，收集这些数量庞大的手稿也是一件困难的事情。瑞士自然科学会计划出一部欧拉全集，这本全集编了将近100年，终于在上个世纪90年代基本完成，没想到圣彼得堡突然又发掘出一批他的手稿，使得这本全集至今仍未完成。欧拉在数学上的建树很多,对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究.欧拉还发现,不论什么形状的凸多面体,其顶点数V、棱数E、面数F之间总有V-E+ F=2这个关系.V-E F 被称为欧拉示性数,成为拓扑学的基础概念.以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见, 与此同时,他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就.欧拉还创设了

3、许多数学符号,例如（1736年）,i（1777年）,e（1748年）,sin和cos（1748年）,tg（1753年）,x（1755年）,（1755年）,f(x)（1734年)等.1733年,年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授1735年,欧拉解决了一个天文学的难题（计算彗星轨道）,这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决,而欧拉却用自己发明的方法,三天便完成了然而过度的工作使他得了眼病,并且不幸右眼失明了,这时他才28岁据说是因为操劳过度，也有一说是因为观察太阳所致.尽管如此他仍然靠心算完成了大量论文。正文多面体欧拉公式的背后是一门新的几何学,这种新的几何学只研究图形各部分位置的

4、相对次序,而不考虑图形尺寸大小,这就是由莱布尼兹和欧拉共同奠基的“橡皮膜上的几何学”（位置几何学）,如今这门学科已经发展成数学的一个重要的分支拓扑学.有关凸多面体最有趣的定理之一是欧拉公式“V-E+F=2(式中V表示多面体的顶点数，E表示棱数，F表示面数)”,其实大约在1635年笛卡尔就早已发现了它.欧拉在1750年独立地发现了这个公式,并于1752年发表了它.由于笛卡尔的研究到1860年才被人们发现,所以这个定理就称为欧拉公式而不是笛卡尔公式.下面给出对该定理的证明.方法一【拓扑法（1）】对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假 设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶

5、）的个数，那么F-E+V=2。试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。证明 ：（1）把多面体（图中）看成表面是薄橡皮的中空立体。（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中的样子。假设F，E和V分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F-E+V=1。（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中的样子。每引进一条对角线，F和E各增加1，而V却不变，所以F-E+V不变。因此当完全分割成三角形的时候，F-E+V的值仍然没有变。有些三角形有一

6、边或两边在平面图形的边界上。（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图中的ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了ABC。这样F和E各减去1而V不变，所以F-E+V也没有变。（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图中的DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉DEF。这样F减去1，E减去2，V减去1，因此F-E+V仍没有变。（6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中的样子。这时F=1，E=3，V=3，因此F-E+V=1-3+3=1。（7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的

7、，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中那样。（8）如果最后是像图中的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F-E+V仍然没有变。即F-E+V=1成立，于是欧拉公式：F-E+V=2证毕方法二【拓扑法（2）】读者应当验证一下如下事实：欧拉公式对图120的简单多面体成立，而对图121的多面体则不成立. 为了证明欧拉公式，我们想象一个其表面用橡皮薄膜做成的简单空心多面体.这时如果剪掉这个空心多面体的一个面，我们就能把剩下的表面变形、展开、平放到一平面上.当然，这个表面的面积以及多面体棱与棱之间的夹角在这过程中是改变了.但是，在这平面上由顶点和边形成的网

8、络和原来的多面体包含同样的顶点数和棱数，只是多边形的个数比原来多面体上的多边形少了一个，因为一个面被剪掉了.我们现在将说明，这个平面网络有V-E+F=1这样，如果加上剪掉的面，则对原来的多面体，结果是V-E+F=2. 首先，我们把这个平面网络按下述方式“分成三角形”：对网络的某个不是三角形的多边形，我们画出它的一条对角线，这样做的效果是使E和F同时增加1，因此保持V-E+F=2的值.我们继续画出连接这些点的对角线（图122），直到图形完全由三角形组成为止最终必然会如此.在这三角形的网络中，V-E+F=2的值与被分为三角形之前的值一样，因为做对角线的过程中并没有使它改变.这里，有些三角形的边是平

9、面网络的边界.其中有的三角形，例如ABC。只有一条边在边界上，而另一些三角形可以有两条边在边界上.我们取一个边界三角形，去掉不属于其他三角形的那些部分.因此从ABC中我们去掉边AC和面，剩下顶点A,B，C，以及AB和BC两条边；而从DEF中我们去掉两条边DF、FE及顶魚F和面.去掉一个像ABC这种类型的三角形，将使E和F减少1而V不受影响，所以V-E+F保持不变.去掉一个像DEF这种类塑的三角形，将使V减少1，E减少2而F减少1，所以V-E+F仍然不变.适当地采取一系列这种作法，我们就能去掉边界上有边的三角形(每次去掉这种三角形，边界都跟着改变），直到最后只剩下一个三角形.它有三个边、三个顶点

10、和一个面.对这简单的网络有V-E+F=3-3+1=1.但是我们已经看到，不断地消去三角形，不会改变V-E+F的值.所以，原来的平面网络V-E+F也必须等于1，对消去了一个面的多面体也是等于1.我们得出结论，对完整的多面体有V-E+F=2这就完全证明了欧拉公式方法三【内角法】设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和.一方面，在原图中利用各面求内角总和.设有F个面，各面的边数为n1,n2，nF，各面内角总和为：=(n1-2)180度+(n2-2)180度+(nF-2)180度=(n1+n2+nF-2F)180度=(2E-2F)180度=(E-F)3

11、60度 （1）另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和.设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间.中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)180度.所以，多面体各面的内角总和：=(V-n)360度+(n-2)180度+(n-2)180度=（V-2）360度（2）由(1)(2)得：(E-F)360度=（V-2）360度所以V+F-E=2.公式的完善和发展欧拉公式V+F-E=2有个方便记忆的方法：“加两头减中间”，因为几何最基本的概念是点线面，这个公式是“顶点加面减棱”，V+F-E=X(P)

12、，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。但是这时的欧拉并没有考虑到此公式是否对任何多面体都成立。于是乎，在1813年，瑞士数学家吕利埃发现此公式并不是对任意多面体都成立。他的思路是：将一个正方形中挖去一个小正方形，则V+F-E=4，或者将小立方体上下都挖通，就有V+F-E=0。因此吕利埃

13、发现了适用于该公式的多面体只能是凸多面体。从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。一个橡皮圈，在它的弹性限度内，任凭我们把它拉长、扭转，只要不把它弄断，那么它永远是一个圈圈。拉长使它的长度改变了，扭转使它的形状改变了，然而在拓扑学上不会理会这些，只是专注在“它永远有一个圈圈”上。直至今日，从拓扑学所衍生出来的知识已和近世代数、分析共同成为数学理论的三大支柱。由此可见多面体欧拉定理

14、对数学的发展有着深远而巨大的影响。因此我们可以用拓扑学的方法来证明多面体欧拉定理。拓展与应用在19世纪中叶，几何学开始了一个新的发现，他很快地变成了现代数学中的一个巨大力量这门新的学科称为位置解析或拓扑学.它所研究的是几何图形的这样些性质，这些性质在图形经过受剧烈的变形，以致所有度量性质和射影性质都失去之后，仍然存在着.莫比乌斯（A.F.Moebius,17901868）是那个时代伟大的几何学家之一，然而，由于他缺乏主见却使他一生中只能在德国的第二流的天文台里当一个不知名的天文学家.他在68岁时向巴黎科学院提交了一篇关于“单侧”曲面的论文，其中包琯了这种新型几何学的一些最惊人的事实.这篇文章在

15、公之于世之前它就像以前其他一些重要贡献一样，在科学院的文件堆里被埋没了许多年.哥廷根的天文学家李斯庭（J.B.Listing，18081882）独立于莫比乌斯作出了类似的发现，而且他接受高斯的建议在1847年出版了一本小书拓扑学的初步研究（Vorstudien zur Topologie）.当黎曼（18261866）作为一个学生来到哥廷根时，他发现这个大学城对这种新奇的几何思想具有强烈的兴趣.他立刻认识到，这是理解复变量解析函数最深刻的性质的关键,黎曼的函数理论极大地促进了拓扑学后来的发展，而且，在黎曼的理论中，拓扑的概念则是最基本的东西.最初，这个新领域中的方法之所以新奇就在于，它使数学家无法把他们的结果表示为初等几何的传统公理形式.于是，像庞加莱的一些先驱者不得不依赖于几何直视.甚至今天拓扑学的研究者也会发现，过多地坚持严格的形式表述，容易使他在大量的形式细节中看不到几何内容的本质.尽管如此，把拓扑学纳入严格的数学模式仍然是最近工作的一大功绩，在那里，直观仍然是真理的源泉，而不是检验真理的最终标准.在这个过程中由于布劳威尔（L.E.J.Brouwer）的开创，拓扑学对几乎整个数学的重要性一直在不断地增长着.美国数学家，尤其是韦布林（O.Veblen）,亚历山大（J.W.Alexander）,莱夫切茨（S.Lefschetz）对这门学科作出了重要的贡献.虽