圆锥曲线重要结论

1、圆锥曲线中的重要性质经典精讲上性质一：椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段(长为2b)1已知动点P在椭圆上，为椭圆之左右焦点，点为内心，试求点的轨迹方程.2已知动点P在双曲线上，为双曲线之左右焦点，圆是的内切圆，探究圆是否过定点，并证明之.性质二：圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值。椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数AB在同支时 AB在异支时抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 3.已知椭圆，F为椭圆之左焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点，是否存在实常数，使恒

2、成立.并由此求AB的最小值.性质三：圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数4 已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点和C，D两点，且，是否存在实常数，使恒成立.并由此求四边形ABCD面积的最小值.性质四：椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值5已知椭圆，点为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，设直线AB与轴于点，试求的值.性质五：椭圆、双曲线的焦半径向量模的比之和为定值过椭圆或双曲线上任点A作两焦点的焦点弦AB，AC，其共线向量比之

3、和为定值即6已知方向向量为的直线过点和椭圆的焦点，且椭圆的中心和椭圆的右准线上的点满足：.求椭圆的方程；设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为,设，求的值.圆锥曲线中的重要性质经典精讲中性质一：过圆锥曲线焦点所在轴上任意一点N（t,0）的一条弦端点与对应点的连线所成角被对称轴平分。1. 已知椭圆，点为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，问是否在x轴上存在一点P，使得斜率.2.已知双曲线，过点的直线交双曲线于A，B两点，问是否在x轴上存在一点P，使得斜率.3.抛物线，直线过点P(t,0)并交抛物线于A,B两点，点A关于x轴的对称点A,则点A，B，P(-t,0)三点共线。性质二：过圆锥曲线

4、上一定点作倾角互补的两直线与曲线的另两交点的连线的倾角为定值4. 过点作抛物线的直线PA、PB，且斜率.（1） 探究直线AB的斜率是否为定值.（2） 试研究三角形PAB的面积是否有最大值.性质三：椭圆的弦的斜率与其中点和椭圆中心连线的斜率积为定值双曲线的弦的斜率与其中点和双曲线中心连线的斜率积为定值椭圆上动点对直径端点的斜率积为定值双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值5.已知椭圆的动弦AB的中点为M，试研究斜率是否为定值（O为原点）。6.已知定点，动点P满足，直线PA，PB的斜率，试探求点P的轨迹.7已知椭圆的离心率为，且过点。（1）求椭圆C的方徎;（2）设椭圆的左右顶点分别为A、B，点S是椭

5、圆上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线L :分别交于M，N两点，求线段MN长度的最小值。 （法1：设直线AS：x=my-2,得点S纵坐标与m的关系，同理设BS： x=ny+2得点S纵坐标与n的关系，进而易得mn=-4，成为MN最值分析的条件。法2，直接使用上述结果可得斜率之积为定值=-1/4，或转为直接证明之得关健条件，后面过程相同，简化了运算。）性质四：椭圆切线与切点和中心连线的斜率积为定值双曲线切线与切点和中心连线的斜率积为定值7.已知点P为椭圆上的动点，设点P的切线斜率为，试研究斜率是否为定值（O为原点）。性质五：在圆锥曲线焦点所在轴上必存在一定点，它与焦点弦端点所张的向量数量积为

6、定值，且该定值为,此时的定点坐标为，抛物线时定点为原点。8.已知椭圆，直线过焦点交椭圆于A、B两点，是否存在一定点P使为定值.9.已知椭圆，直线过点交椭圆于A、B两点，是否存在一定点P使为定值.圆锥曲线中的重要性质经典精讲下性质一：以圆锥曲线上一定点为顶点作直角三角形，则斜边所在直线必过定点。1.抛物线上一点，A,B是抛物线上两动点，且，问直线AB是否过定点？定点坐标是什么？性质二：直角三角形的直角顶点在中心，斜边的端点在圆锥曲线上,则中心在斜边上的射影轨迹是圆。2.若直角三角形ABO的直角顶点O在椭圆的中心，OA，OB交椭圆于A,B两点，求证：点O在斜边上的射影H的轨迹是圆。3.椭圆，直线l

7、交椭圆于P,Q两点，若,试求直线l在y轴上截距的取值范围。4. (2009山东卷理)设椭圆E： 过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。5. （2009北京理）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值。性质三：椭圆中垂直于长轴的弦的端点对长轴顶点的连线的交点轨迹为与椭圆共顶点的双曲线 双曲线中垂直于长轴的弦的端点对实轴顶点的连线的交点轨迹为与双曲线共顶点的椭圆.6.已知椭圆的动弦垂直交x轴于点，椭圆的长轴端点分别为，试探求直线交点的轨迹.性质四： 椭圆、双曲线、抛物线准线上点对焦点弦端点及焦点斜率成等差数列。（推广：x轴上一定点Q(t，0)的直线交椭圆于两点A，B，则