小学奥数之排列组合问题.

1、最新 料推荐计 数 问 题教学目标1. 使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2. 了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3. 掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4. 会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。5. 根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。知识点拨：例题精讲：一、排 列 组 合 的 应 用【例1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出

2、在下列条件下有多少种站法？（ 1）七个人排成一排；（ 2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（ 3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（ 4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（ 5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（ 6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（ 7）七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。75040（种）。【解析】 （ 1） P7（ 2）只需排其余6 个人站剩下的 6 个位置 P66720 （种） .（ 3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6 个位置 2 P66=1440( 种 ) （ 4）先排两边，再排剩下的5 个位置，其中两

3、边的小新和阿呆还可以互换位置2P55240 ( 种 ) （ 5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5 个人中选 2 人，再排剩下的 5 个人， P52P552400 （种） .（ 6）七个人排成一排时， 7 个位置就是各不相同的现在排成两排，不管前后排各有几个人，7 个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7 个元素的全排列75040 （种） .P7（ 7）可以分为两类情况： “小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2 即可 4 3 P55 2=2880( 种) 排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。【例 2】 用 1、 2、 3、 4

4、、 5、 6 可以组成多少个没有重复数字的个位是5 的三位数？【解析】 个位数字已知， 问题变成从从 5 个元素中取2 个元素的排列问题， 已知 n5 ， m2，根据排列数公式，2( 个 ) 符合题意的三位数。一共可以组成 P55 4 20【巩固】 用 1、 2、 3、4、 5 这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是 3的无重复数字的五位数？【解析】 可以分两类来看： 把3 排在最高位上，其余4 个数可以任意放到其余4 个数位上，是4 个元素全排列的问题，有P44432 124 ( 种 ) 放法，对应24 个不同的五位数； 把 2，4， 5 放在最高位上，有 3 种选择，百位上有除

5、已确定的最高位数字和3 之外的 3 个数字可以选择，有3 种选择，其余的3 个数字可以任意放到其余3 个数位上，有 P336 种选择由乘法原理，可1最新 料推荐以组成 3 36 54 ( 个 ) 不同的五位数。由加法原理，可以组成 24 54 78( 个 ) 不同的五位数。【巩固】 用 0 到 9 十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则 5687 是第几个数？【解析】 从高位到低位逐层分类： 千位上排1， 2 ， 3 或 4 时，千位有 4 种选择，而百、十、个位可以从0 9 中除千位已确定的数字之外的 9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取 3

6、个的排列问题，所以百、十、个位可有 P939 87 504 ( 种 ) 排列方式由乘法原理，有4 5042016( 个 ) 千位上排5 ，百位上排 0 4 时，千位有 1种选择，百位有5 种选择，十、个位可以从剩下的八个数字 中 选 择 也 就 是 从 8 个 元 素 中 取 2 个 的 排 列 问 题 ， 即 P828 7 5 6， 由 乘 法 原 理 ， 有1 5 56 280(个 ) 千位上排 5 ，百位上排 6 ，十位上排 0 ， 1 ， 2 ， 3， 4 ， 7 时，个位也从剩下的七个数字中选择，有1 1 6 7 42( 个 ) 千位上排5，百位上排 6 ，十位上排 8时，比 568

7、7小的数的个位可以选择0 ， 1， 2 ， 3 ， 4 共 5 个综上所述，比5687小的四位数有 2016 280 42 52343( 个) ，故比5687小是第2344个四位数【例3】 用 1、 2、3、4 、5 这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3 的倍数？【解析】 按位数来分类考虑： 一位数只有1个3；两位数：由1与2， 1 与 5 ， 2 与 4 ， 4 与 5 四组数字组成，每一组可以组成P222 12 ( 个 ) 不同的两位数，共可组成2 4 8 ( 个 ) 不同的两位数；三位数：由1 ， 2 与 3 ； 1 ， 3 与 5 ； 2 ， 3 与 4 ； 3 ， 4 与

8、5 四组数字组成，每一组可以组成P333 216( 个 ) 不同的三位数，共可组成 64 24( 个 ) 不同的三位数；四位数：可由1， 2 ， 4， 5 这四个数字组成，有P4443 2 1 24 ( 个 ) 不同的四位数；五位数：可由1， 2 ， 3 ， 4， 5 组成，共有 P555 432 1 120( 个 ) 不同的五位数由加法原理，一共有1 824 24120177 ( 个 ) 能被 3 整除的数，即 3 的倍数【巩固】 用 1、2、3、 4、5、6 六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【解析】 由于组成偶数， 个位上的数应从 2 ， 4 ， 6

9、中选一张， 有 3种选法； 十位和百位上的数可以从剩下的5 张中选二张，有P525 420 ( 种 ) 选法由乘法原理，一共可以组成3 20 60 ( 个 ) 不同的偶数【例4】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9 ，那么确保打开保险柜至少要试几次？【解析】 四个非0数码之和等于 9 的组合有1， 1， 1， 6； 1，1， 2， 5； 1， 1，3， 4； 1， 2， 2， 4； 1，2， 3， 3；2， 2， 2，3 六种。第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6 的位置就可以了，6 可以任意选择4 个位置中的一个，其余位置放 1，共有4

10、 种选择；第二种中，先考虑放2 ，有 4 种选择，再考虑 5 的位置，可以有 3种选择，剩下的位置放1 ，共有 4 312( 种 )选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择最后一种，与第一种的情形相似，3 的位置有4种选择，其余位置放2 ，共有 4 种选择综上所述，由加法原理，一共可以组成41212 12 12 456( 个 ) 不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次【例5】 两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，( 同一位置上坐不同的人算不同的坐法) ，那么共有多少种不同的坐法？【解析】 第一个位置在6 个人中任选一个，有C616 (

11、种 ) 选法，第二个位置在另一胞胎的3人中任选一个，有C313( 种 ) 选法同理，第3， 4 ， 5 ， 6 个位置依次有 2 ， 2 ， 1 ， 1 种选法由乘法原理，不同的坐法有 P1P1P1P1P1P1 6 3 2 2 1 1 72( 种 ) 。6322112最新 料推荐【例6】 一种电子表在6 时 24 分 30 秒时的显示为 6: 24：30，那么从8 时到 9 时这段时间里， 此表的 5 个数字都不相同的时刻一共有多少个 ?【解析】 设 A: BC DE 是满足题意的时刻，有A 为 8，B、D 应从 0，1，2， 3，4，5 这 6 个数字中选择两个不同的数字，所以有 P62 种

12、选法，而 C、E 应从剩下的 7 个数字中选择两个不同的数字，所以有P72 种选法，所以共有 P62 P72=1260 种选法。从 8 时到 9 时这段时间里，此表的5 个数字都不相同的时刻一共有1260 个。【例7】 一个六位数能被11 整除，它的各位数字非零且互不相同的将这个六位数的6 个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11 整除的六位数 ?【解析】 设这个六位数为 abcdef ，则有 (ac e) 、 (b df ) 的差为0 或 11的倍数且a、 b、 c、 d、 e、 f均不为 0，任何一个数作为首位都是一个六位数。先考虑 a、 c、 e 偶数位内， b、 d、 f 奇数位内的

13、组内交换，有P33 P33=36 种顺序；再考虑形如 badcfe 这种奇数位与偶数位的组间调换，也有P33 P33=36 种顺序。所以，用均不为0 的 a、b、c、d、e、f 最少可排出 36+36=72 个能被 11整除的数 ( 包含原来的 abcdef ) 。所以最少还能排出 72- 1=71 个能被 11 整除的六位数。【例8】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5 名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军 ”对乙说： “你当然不会是最差的 ”从这个回答分析，5 人的名次排列共有多少种不同的情况？【解析】 这道

14、题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化仔细审题，已知“甲和乙都未拿到冠军”，而且“乙不是最差的” ，也就等价于5人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有3种排法，再排甲，也有3种排法，剩下的人随意排，有P3 3 2 16( 种 ) 排法由乘法原理，一共有3 3 6 54 ( 种) 不同的排法。3【例9】4名男生，5 名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法： 甲不在中间也不在两端； 甲、乙两人必须排在两端； 男、女生分别排在一起； 男女相间【解析】 先排甲， 9 个位置除了中间和两端之外的意排，也就是 8 个元素全排列的

15、问题， 有共有 6 40320 241920( 种 ) 排法6 个位置都可以，有6 种选择，剩下的8 个人随P888765432140320 ( 种) 选择由乘法原理， 甲、乙先排，有P222 1 2 ( 种 ) 排法；剩下的7 个人随意排，有P7776 5 43215040( 种 ) 排法由乘法原理，共有2 5040 10080( 种 ) 排法 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有P222 12( 种 ) 不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是4 个元素与 5 个元素的全排列问题，分别有P4443 2 124( 种 ) 和 P555 4 3 2 1120( 种 ) 排法由乘

16、法原理，共有224120 5760( 种) 排法 先排 4名男生，有 P4443 21 24 ( 种 ) 排法，再把 5 名女生排到 5 个空档中，有P5554 3 21120 ( 种 ) 排法由乘法原理，一共有24 120 2880( 种 ) 排法。【巩固】 五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝和妮妮不相邻，共有（）种不同的排法。【解析】 五位同学的排列方式共有5 4 3 2 1=120（种）。如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4 3 2 1=24（种）。因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24 2=4

17、8( 种 ) ；贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120- 48=72（种）。【例10】一台晚会上有 6 个演唱节目和4 个舞蹈节目求： 当 4 个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？ 当要求每 2个舞蹈节目之间至少安排1 个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？3最新 料推荐【解析】 先将 4 个舞蹈 目看成1个 目，与6 个演唱 目一起排， 是7个元素全排列的 ，有P777! 7 6 5 43215040( 种 ) 方法第二步再排 4 个舞蹈 目，也就是4 个舞蹈 目全排列的 ，有P444!432 124 ( 种 ) 方法根据乘法原理，一共有504024( 种 ) 方法120

18、960首先将 6 个演唱 目排成一列( 如下 中的“” ) ，是 6 个元素全排列的 ，一共有P666! 6 5 4 32 1 720 ( 种) 方法第二步，再将 4 个舞蹈 目排在一 一尾或2 个演唱 目之 ( 即上 中“”的位置 ) ， 相当于从 7 个“”中 4个来排，一共有P747 6 5 4 840 ( 种 ) 方法根据乘法原理，一共有720840( 种 ) 方法。604800【巩固】 由4 个不同的独唱 目和3个不同的合唱 目 成一台晚会，要求任意两个合唱 目不相 ，开始和最后一个 目必 是合唱， 台晚会 目的 排方法共有多少种？【解析】 先排独唱 目，四个 目随意排，是4个元素全

19、排列的 ，有P444 3 21 24种排法；其次在独唱 目的首尾排合唱 目，有三个 目，两个位置，也就是从三个 目 两个 行排列的 ，有P232 6( 种 ) 排法；再在独唱 目之 的3个位置中排一个合唱 目，有3种排法由乘法原理，3一共有 2463432 ( 种) 不同的 排方法【小 】 排列中，我 可以先排条件限制不多的元素，然后再排限制多的元素如本 中，独唱 目排好之后，合唱 目就可以采取“插空”的方法来确定排法了 的排列数用乘法原理把若干个排列数相乘，得出最后的答案。【例11】 从 1， 2， 8 中任取 3 个数 成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）从 8 位候 人中任

20、三位分 任 支 ， 委 ，宣 委 ，共有多少种不同的 法？ 3位同学坐8 个座位，每个座位坐1 人，共有几种坐法？ 8个人坐 3个座位，每个座位坐1 人，共有多少种坐法？一火 站有 8 股 道，停放 3 列火 ，有多少种不同的停放方法？ 8种不同的菜籽，任 3 种种在不同土 的三 土地上，有多少种不同的种法？【解析】 按 序，有百位、十位、个位三个位置，8 个数字（ 8 个元素）取出3 个往上排，有 P83 种 3 种 3个位置，从 8 位候 人（ 8 个元素）任取 3 位往上排，有P83 种 3 位同学看成是三个位置，任取 8 个座位号（ 8 个元素）中的 3 个往上排（座号找人） ，每确定

21、一种号 即 一种坐法，有 P83 种 3 个坐位排号 1， 2， 3 三个位置，从 8 人中任取 3 个往上排（人找座位） ，有 P83 种 3 列火 1， 2， 3 号，从 8 股 道中任取 3 股往上排，共有 P83 种土地 1， 2， 3 号，从 8 种菜籽中任 3 种往上排，有 P83 种。【巩固】 有男同学 3 人，女同学 4 人 ( 女同学中有一人叫王 ) ，从中 出男女同学各2 人，分 参加数学、英 、音 、美 四个 趣小 ：( 1) 共有多少种 法 ?( 2) 其中参加美 小 的是女同学的 法有多少种?( 3) 参加数学小 的不是女同学王 的 法有多少种?( 4) 参加数学小

22、的不是女同学王 ，且参加美 小 的是女同学的 法有多少种?【解析】 （ 1）从 3 个男同学中 出 2 人，有 3 2 =3 种 法。从 4个女同学中 出2 人，有4 3 =6 种 法。24 3 2 1=24 种 法。2在四个人确定的情况下，参加四个不同的小 有3 6 24=432，所以共有 432 种 法。（ 2）在四个人确定的情况下，参加美 小 的是女同学 有2 3 2 1=12 种 法。3 6 12=216，所以其中参加美 小 的是女同学的 法有216 种。（ 3）考 参加数学小 的是王 的 法，此 的 相当于从3 个男同学中 出2 人，从 3 个女同学中 出 1 人， 3 个人参加 3

23、 个小 的 法。3 3 3 2 1=54，所以参加数学小 的是王 的 法有54 种， 432- 54=378，所以参加数学小 的4最新 料推荐不是女同学王 的 法有378 种。（ 4）考 参加数学小 的是王 且参加美 小 的是女同学 的 法，此 的 相当于从3 个男同学中 出 2 人参加两个不同的小 ，从3 个女同学中 出1 人参加美 小 的 法。3 2 3=18，所以参加数学小 的是王 且参加美 小 的是女同学 的 法有18 种， 216- 18=198，所以参加数学小 的不是女同学王 ，且参加美 小 的是女同学的 法有198 种。【例12】某校 行男生 球比 ，比 分成3 个 段 行，第一

24、 段：将参加比 的48 名 手分成 8 个小 ，每 6 人，分 行 循 ；第二 段：将8 个小 生的前2名共 16 人再分成4 个小 ，每 4 人，分 行 循 ；第三 段：由4 个小 生的 4 个第 1名 行2 半决 和2 决 ，确定1至4 名的名次 ：整个 程一共需要 行多少 比 ？【解析】 第一 段中，每个小 内部的6个人每 2人要 一 ， 内 C626515 ，共 8 个小 ，有2143158120 ；第二 段中，每个小 内部4人中每 2 人 一 ， 内 2 ，共 4 个小 ，C4261有 64 24 ；第三 段 224 根据加法原理，整个 程一共有12024 4148 比 。【例13】

25、由数字 1，2，3 成五位数， 要求 五位数中1，2，3 至少各出 一次， 那么 的五位数共有_个。 ( 2007 年“迎春杯”高年 决 )【解析】 这 是一道 合 数 由于 目中 要求1，2， 3至少各出 一次，没有确定1， 2 ， 3出 的具体次数，所以可以采取分 枚 的方法 行 ，也可以从反面想，从由1,2,3 成的五位数中，去掉 有 1个或 2个数字 成的五位数即可1( 法 1) 分两 ：1， 2 ， 3中恰有一个数字出 3次， 的数有460 ( 个 ) ； 1 ， 2 ， 3 中有C3 5两个数字各出 2次， 的数有C325 C4290( 个 ) 符合 意的五位数共有60 90 15

26、0 ( 个 ) ( 法2) 从反面想，由1 ，2 ， 3 成的五位数共有35 个，由 1 ， 2 ， 3 中的某 2 个数字 成的五位数共有3 (2 52)个，由1， 2， 3 中的某 1 个数字 成的五位数共有3 个，所以符合 意的五位数共有353(2 52) 3 150 ( 个 ) 。【例14】10个人 成一圈，从中 出两个不相 的人，共有多少种不同 法？【解析】( 法1) 乘法原理按 意，分 站在每个人的立 上，当自己被 中后，另一个被 中的，可以是除了自己和左右相 的两人之外的所有人，每个人都有7 种 ， 共就有71070 种 ，但是需要注意的是， 的 程中，会出 “ 了甲、乙， 了乙

27、、甲” 的情况本来是同一种 ，而却算作了两种，所以最后的 果 是( 101 11)10 235 ( 种) C102 ，而被 的两个人相 ( 法2) 排除法可以从所有的两人 合中排除掉相 的情况， 的 合数 的情况有 10 种，所以共有 C10210451035 ( 种) 。【例15】 8 个人站 ，冬冬必 站在小悦和阿奇的中 （不一定相 ），小慧和大智不能相 ，小光和大亮必 相 ， 足要求的站法一共有多少种？【解析】 冬冬要站在小悦和阿奇的中 ，就意味着只要 三个人 定了三个位置，中 的位置就一定要留 冬冬，而两 的位置可以任意地分配 小悦和阿奇小慧和大智不能相 的互 事件是小慧和大智必 相

28、小光和大亮必 相 ， 可以将两人捆 考 只 足第一、三个条件的站法 数 ：32123（种）C7P2C4P2P3 3360同 足第一、三个条件， 足小慧和大智必 相 的站法 数 ：C63P22P32P22P22960 （种）因此同 足三个条件的站法 数 ：33609602400（种）。【例16】小明有 10 大白兔奶糖 , 从今天起 , 每天至少吃一 . 那么他一共有多少种不同的吃法?【解析】 我 将 10 大白兔奶糖从左至右排成一列, 如果在其中 9个 隙中的某个位置插入“木棍” , 将 lO 块糖分成了两部分。我 从左至右 , 第 1 部分是第1 天吃的 , 第 2 部分是第 2天吃的 ,

29、，如 : | 表示第一天吃了3 粒 , 第二天吃了剩下的7 粒： | |表示第一天吃了4 粒, 第二天吃了 3 粒 , 第三天吃了剩下的3 粒不 知 , 每一种插入方法 一种吃法, 而 9个 隙 , 每个 隙可以插人也可以不插入, 且相互独立， 故共有 29=512 种不同的插入方法, 即 512 种不同的吃法。5最新 料推荐【巩固】 小红有 10 块糖，每天至少吃1 块， 7 天吃完，她共有多少种不同的吃法？【解析】 分三种情况来考虑： 当小红最多一天吃4块时，其余各每天吃1块，吃 4 块的这天可以是这七天里的任何一天，有7 种吃法； 当小红最多一天吃3块时，必有一天吃2块，其余五天每天吃1

30、块，先选吃 3块的那天，有7 种选择，再选吃2 块的那天，有6种选择，由乘法原理，有7642种吃法； 当小红最多一天吃2块时，必有三天每天吃2 块，其四天每天吃1 块，从 7天中选3 天，有3765( 种 ) 吃法。C732351742 35 84 ( 种) 不同的吃法根据加法原理，小红一共有还可以用挡板法来解这道题，10 块糖有9 个空，选6 个空放挡板，有C96C9384 ( 种 ) 不同的吃法。【巩固】 把 20个苹果分给 3 个小朋友，每人最少分3 个，可以有多少种不同的分法？【解析】 ( 法 1) 先给每人2 个，还有14 个苹果，每人至少分一个，13 个空插2 个板，有 C1327

31、8 种分法(法 2)也可以按分苹果最多的人分的个数分类枚举。【巩固】 有 10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？【解析】 如图： | | ，将 10粒糖如下图所示排成一排，这样每两颗之间共有9 个空，从头开始吃， 若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九个空中画两条竖线，一共有98236 种方法【例17】某池塘中有 A、B、C 三只游船，A 船可乘坐3 人， B 船可乘坐 2 人， C 船可乘坐 1 人，今有3个成人和 2 个儿童要分乘这些游船，为安全起见， 有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们 5 人乘坐

32、这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？【解析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，所以儿童不能乘坐C 船若这5人都不乘坐 C 船，则恰好坐满 A、B 两船， 若两个儿童在同一条船上，只能在 A 船上，此时 A船上还必须有1个成人， 有 C313种方法； 若两个儿童不在同一条船上，即分别在 A、B 两船上， 则 B船上有1个儿童和 1个成人，1个儿童有 C212种选择， 1个成人有 C313 种选择，所以有 23 6 种方法故5人都不乘坐 C 船有369 种安全方法；若这5人中有1人乘坐 C 船，这个人必定是个成人，有C313 种选择其余的2 个成人与 2 个儿童，若两个儿童在同一

33、条船上，只能在A 船上，此时 A 船上还必须有 1 个成人，有C212 种方法，所以此时有 326 种方法；若两个儿童不在同一条船上，那么B 船上有1个儿童和1个成人，此时1个儿童和1 个成人均有C212 种选择，所以此种情况下有3 2212 种方法；故 5 人中有 1 人乘坐 C 船有61218种安全方法所以，共有9 1827 种安全乘法【例18】从 10名男生， 8名女生中选出 8 人参加游泳比赛在下列条件下，分别有多少种选法？恰有 3名女生入选；至少有两名女生入选；某两名女生，某两名男生必须入选；某两名女生，某两名男生不能同时入选；某两名女生，某两名男生最多入选两人。【解析】 恰有 3

34、名女生入选，说明男生有5 人入选，应为C83C10514112 种；要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：C188C108C107C8143758 ； 4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4 人，有 C1441001 种；从所有的选法C188 种中减去这4 个人同时入选的C144 种：C188C14443758 100142757分三类情况：4人无人入选；4 人仅有 1人入选； 4 人中有 2人入选，共：C148C41C147C42C14634749 。6最新 料推荐【巩固】 在 6 名内

35、科医生和4 名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5 人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？ 有 3 名内科医生和 2 名外科医生； 既有内科医生，又有外科医生； 至少有一名主任参加； 既有主任，又有外科医生。【解析】 先从 6 名内科医生中选 3名，有 C6365420 种选法；再从4 名外科医生中选2名，共有 C42 433216 种选法根据乘法原理，一共有选派方法206120种21109876 用“去杂法”较方便，先考虑从10 名医生中任意选派 5人，有 C105252 种选派方54321法；再考虑只有外科医生或只有内科医生的情况由于外科医生只有4人，所以不可能只

36、派外科医生如果只派内科医生，有C65C616种选派方法所以，一共有2526246 种既有内科医生又有外科医生的选派方法。 如果选 1 名主任， 则不是主任的8 名医生要选4 人，有 2C8428765140 种选派方法； 如果4321选 2 名主任，则不是主任的8 名医生要选3人，有 1 C83187656 种选派方法 根据加法原理，321一共有 14056196 种选派方法 分两类讨论：若选外科主任，则其余4人可任意选取，有49876126 种选取方法；C94321若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余4 人不能全选内科医生，用“去杂法”有C84C54 8765543265 种选取法4321

37、4321根据加法原理，一共有12665191种选派方法。【例19】在 10 名学生中，有5 人会装电脑，有3 人会安装音响设备，其余2 人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由6 人组成的安装小组，组内安装电脑要3 人，安装音响设备要3人，共有多少种不同的选人方案？【解析】 按具有双项技术的学生分类： 两人都不选派，有C5354310 ( 种 ) 选派方法； 两人中选派 1人，有 2321种选法而针对此人的任务又分两类：若此人要安装电脑， 则还需225410( 种 )选法，而另外会安装音响设备的3 人人安装电脑， 有 C521全选派上，只有1种选法由乘法原理，有10110( 种) 选法；若此人安装音响设备，则还需从3人中选2 人安装音响设备，有C32323 ( 种 ) 选法，需从5 人中54321选 3人安装电脑，有C5310 ( 种 ) 选法由乘法原理，有31030( 种 ) 选法321根据加