函数的奇偶性课件

1、函数的奇偶性,宝马,奔驰,东风,雪铁龙,丰田,请 你 欣 赏,四川曹家大院一景,曹家多子院大门,二道门,水镜台,请 你 欣 赏,曹家大院某院,晋祠鼓楼,晋祠硕亭,太谷民居门墩石狮子,请 你 欣 赏,世博会中国馆,世博会巴基斯坦馆,故宫博物院,x,y,o,x,y,o,观察下列两个函数图象并思考以下问题： （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？,再观察表，你看出了什么？,当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等。,（二）学生活动,我们得到,这两个函数图象都关于 y轴对称.从函数值对应表可以看到， 当自变量x取一对相反数时,相应的 两个函数值

2、相同.即点(x,f(x)在图象 上,相应的点(-x,f(x)也在函数图象上。 我们能否利用函数解析式来描述函 数图象的特征呢？,y=x2,-x,x,当x1=1, x2= -1时，f(-1)=f(1),当x1=2, x2= -2时，f(-2)=f(2),对任意x，f(-x)=f(x),偶函数定义： 如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。,【强化】判断：,（1）若则是偶函数；,（2）若对于定义域内的一些，使 则是偶函数；,（3）若对于定义域内的无数个，使 则是偶函数；,（4）若对于定义域内的任意，使 则是偶函数；,（5）若则是偶函数。,对于定义在 上

3、的函数，,再观察下列函数的图象，它们又有什么相的特点 规律呢？,我们得到,这两个函数图象都关于 原点对称.从函数值对应表可以看到: 当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相反.即点(x,f(x)在图象上,相应的点(-x,-f(x)也在函数图象上。 我们同样可以利用函数解析式来描述函数图象的这个特征。,例如：对于函数f(x)=x3,有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1,f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8,f(-x)=(-x)3=-x3,f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x),-x,x,奇函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x

4、 ,都有f(-x）= -f(x)。那么f(x)就叫奇函数。,思考:偶函数与奇函数图象有什么 特征呢?,偶函数的图象关于 Y轴对称.,函数y=x2的图像,偶函数的图像特征,奇函数的图像特征,函数y=x3的图像,O,奇函数的图象关于原点对称.,对于奇、偶函数定义的几点说明:,(2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。,（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)成立。 若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。,（1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 是说函数f(x) 具有奇偶性。,例1.根据下列函数图象,

5、判断函数奇偶性.,y,x,y,x,y,x,-1,2,y,x,-1,1,偶,奇,非奇 非偶,奇,例2.判断下列函数的奇偶性:,解:(1)对于函数 ，其定义域为 ，因为对定义域内的每一个x,都有 所以函数 为奇函数。,（1）,（2）,先确定定义域,再验证f(x)与f(-x)之间的关系.,(3),(2)对于函数 ,其定义域为 x|x 0,定义域内每个x,都有 故f(x)为偶函数。,(3)f(x)定义域为R,定义域内每个x都有 故f(x)为奇函数.,（5）,（4）,定义域关于原 点对称是函数具有奇偶性的必要条件。,定义域不关于原点对称，所以 f(x)为非奇非偶函数。,解：（4）,（5）,故函数f(x)

6、为既是奇函数也是偶函数。,奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数,根据奇偶性, 函数可划分为四类:,判断函数奇偶性步骤: (1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称; (2)确定f(x)与f(-x)的关系; (3)作出结论. 若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0, 则f(x)是偶函数; 若f(-x)= - f(x)或f(-x)+f(x)=0, 则f(x)是奇函数.,思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？,x,y,0,1,2,f(x)=2x+1,-1,分析：函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1 = -2x+1 f(-x) - f(x)且f(-x) f(x) f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数） 如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。,思 考：,思考2：完成课本页的练习,例2、若函数 为奇函数，求 的值。,例3、已知是一个定义在 上的函数，求证：,小结：,奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，把任意一个x换成-x，(x,-x均在定义域内） 若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数； 若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。 定义域关于原点对称