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无穷小的比较,利用等价无穷小替换求极限,小结,第七节 无穷小的比较,第一章 函数与极限,如,不可比.,观察各极限,是无穷小.,一、无穷小的比较,不存在.,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,定义,记作,记作,是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小;,低阶的无穷小;,同阶无穷小;,等价无穷小,如,高阶无穷小,同阶无穷小.,因为,二阶无穷小.,k 阶无穷小.,例,解,例,解,定理1,证,因此,设,则,因此,设,则,二、利用等价无穷小替换求极限,两个等价无穷小的差,比它们中的任何一个都是高阶无穷小;,此定理说明:,或者说,一个无穷小,例,所以,所以,所以,所以,定理2,证,(等价无穷小替换定理),例,解,等价无穷小替换定理说明,两个无穷小之,比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限,代替.,给 型未定式的极限运算带来方便.,例,解,加、减项的无穷小不要用等价无穷小代换.,例,解,解,错,练习,解,练习,解,故,以及,1. 无穷小的比较,2. 等价无穷小的替换,求极限的又一种方法, 注意适用条件.,高(低)阶无穷小;,同阶(等价)无穷小;,无穷小的阶.,三、小结,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度
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