数列的概念及其表示

1、数列的概念及其表示 第一课时一 学习目标1 了解数列的定义及表示法2 了解数列是反映自然规律的基本数学模型二 教学重点 理解数列的概念，探索并掌握数列的几种简单的表示方法三 学习难点 1 认识数列是一种特殊函数 2 认识数列的规律，找出数列可能的通项公式四 学习过程 问题一 请阅读课本 回答下列问题 三角形数 1 3 6 10 这些数有什么规律？与它表示的三角形序号是什么关系？正方形数 1 4 9 16 这些数有什么规律？与它表示的三角形序号有什么关系？上述三角形数，正方形数的共同特点是什么？数列的定义各项依次叫做这个数列的 数列一般形式可写成 简记 其中 叫做数列的第 n 项 问题二观察下列

2、数列，它们有什么样的特点？ 1 1996-2002年，某市普通高中人数（单位：万） 82 ，93 ，105, ，119 ，129 ， 130 ，1322 无穷多个3 构成数列 3 ，3 ， 3 ，3 3目前通用的人民币的面额按从大到小的顺序构成数列（单位：元） 100 ， 50 ，20 ， 10 ， 5 ，1 ，0.5 ，0.1 4全体自然数构成的数列 0 ，1 ，2 ， 3 ，4 .5 -1的1 次幂 ，2次幂，3次幂，4次幂。构成数列 -1 ，1 ， -1 ，1 问题三中央电视台开心辞典节目中曾经出现这样的一道题，观察以下几数的特点，按照其中的规律，写出括号里的数 项 2 ， 5 ，10

3、， 17 ，26 （ ） ，50 ，你能从中得到什么启示?通项公式的概念 例题探究1 判断下列数列哪些有穷数列,无穷数列,递增数列,递减数列,摆动数列,常数列 1 , , , 1 , 2 , , 1 ,-0.1 , , , , , 0 , 10 , 20 , , ,1000 4 ,4 , 4 , 4 2请先出下列数列的一个通项公式 1 ，3 ，6 ，10 1 , 4 , 9 , 16 1 , , , 2, 0 , 2 , 0 1 ,3 ,5 ,7 8 , 88 ,888, 8888 ，2 ， ，8 ， ， , , , 3 已知数列的通项公式为 写出数列的前三项 试问 和 是不是它的项 ,如果是

4、,是第几项?数列的概念与简单表示法第二课时学习目标 1 进一步了解数列的通项公式2 了解数列的其它表示方法学习重点 了解数列的递推公式以及数列和函数的关系学习难点 数列和函数的关系学习过程 我们在前面学习了数列的定义以及数列的通项公式表示数列 ,那么,数列还有其它的表示方法吗? 请同学们研究下列问题 问题一 全体正偶数按从小到大的顺序构成数列,完成下表,并用描点法把相应的点在图像上作出n 1 2 3 k 我们可以知道，表示数列还可以用 和 表示问题二若一个数列的首项 ，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍，再加1 ，则有： +1= +1= +1= +1= . +1 (n1)像这样给出数列的方法

5、叫做递推法，其中 +1 (n1)叫做这个数列的递推公式，递推公式也是表示数列的一种方法例题研究在数列中， ， 则 在数列中， , , 则 在数列中， , , 则 在数列中， , (1) 写出这个数列的前5项(2) 猜想这个数列的通项公式(3) 画出数列的图像 等差数列第一课时学习目标 1 了解等差数列的定义，等差中项 2 了解等差数列是一种特殊的函数学习重点等差数列的通项公式的应用学习难点了解等差数列是一种特殊的函数学习过程探究一阅读课本 ,从现实生活中引入这样的几个数列 0 ， 5 ，10 ，15 ，20 ，. 48 , 53 , 58 , 63 18 ,15.5 , 13 , 10.5 ,

6、 8 , 5.5 10072 , 10144 , 10216 ,10288 , 10360观察这四个数列,它们的共同特点是什么?等差数列的定义 探究二 观察上述四个数列,取任意的相连的三项,观察它们有什么样的共同特点?等差中项 探究三上述四个数列的通项公式是什么?对于这样的数列,我们能得出一般规律吗?等差数列的通项公式 典例研究1 在等差数列, 2在等差数列, 3在等差数列, 4在等差数列, 5在等差数列, 6 已知数列 8 ,a ,2 ,b ,c 成等差数列，则a= b= c= 7已知m和2n的等差中项为4 ，2m和n的等差中项是5，则m和n 的等差中项是 8 已知等差数列中，且是方程的两个

7、实根 求此数列的通项公式268是否是此数列中的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由。8体育场一角看台的座位是这样排列的，第一排有15个座位，从第二排起每一排比前一排多2个座位，那么第十排有多少个座位？等差数列第二课时（等差数列的性质）学习目标 了解等差数列的性质，并能运用有关性质解决等差数列的有关问题学习重点 应用等差数列的有关性质解决等差数列的有关问题学习难点 等差数列的有关性质的推导学习过程探究一 在直角坐标系下，画出通项公式为的数列及函数的图像，它们的图像有什么特点？已知数列的通项公式为 其中p ,q 为常数，那么这个数列是等差数列吗？若是，请说明理由探究二设是公差为d的等差数列，那么

8、 ，成立吗？探究三若是公差为d的等差数列，则下列数列 , 是等差数列吗？探究四若是公差为d的等差数列若去掉前几项后，余下的项还是等差数列吗？取出数列中所有的奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？取出数列中所有项的序号是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？探究五是公差为d的等差数列， 若m,n ,p () 成等差数列，是否有 成等差数列？探究六 是公差为d的等差数列， m,n ,p q () 若m+n=p+q 是否有 ？若m+n=2p , 是否有 课堂训练1在等差数列中，则 2 若 且两个数列 ， 各成等差数列，那么= 3在3与27 之间插入7个数，使得这9个数成等差数列，则插入这7个数中

9、的第四个的值为 4在等差数列和中， ， ， 则= 5在等差数列中， ，求 6在等差数列中， 7在等差数列中， 8在等差数列中， 9在等差数列中， ，求10在等差数列中，满足 ，求数列的通项公式11 三个数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求这三个数12 若四个数成递增的等差数列，中间两个数的和为2，首末两数的积为-8，求这四个数12 在数列中， 13 已知数列是等差数列，且 14 已知数列是各项均为正数，且满足15数列 满足 （1）求证：数列是等差数列 （2）求数列的通项公式等差数列前n项和第一课时学习目标 1 了解等差数列前n项和的公式推导 2 会用等差数列前n项和的公式解决

10、一些实际问题学习重点 会用等差数列前n项和的公式解决一些实际问题学习难点 倒序相加法推导等差数列前n项和的公式学习过程探究一阅读了解 的求和的算法体会其中的思想一般地，若 ，我们则称为数列 的前n项和探究二 若的首项为 公差为d的等差数列，请同学们由上面的启示来研究等差数列的前n项公式 公式推导 例题探究 1 在等差数列中， 为数列的前n项和 已知 ，=5 ，求 已知 已知 已知 已知 已知 求 2 为了参加冬季运动会的5000米的比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划，第一天跑了5000米，以后每天比前一天多跑500米，这个同学7天一共跑了多长的距离？等差数列前n项和第二课时学习目标 学会在

11、数列中，已知 求学习重点学会在数列中，已知 求学习过程探究 在数列中， 当n=1时 , = 当 时，= 典例研究 1 已知数列的前n项和为 求这个数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？2已知下面数列的前n项和的公式，求的通项公式 3 思考 ：若一个数列的前n项和为，若 ，其中p ,q ,r 为常数，且 , 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？拓展研究 已知在正数数列中，前n 项和 求证数列为等差数列，求其前n项和等差数列前n项和第三课时学习目标 了解等差数列前n项和是关于n的一个一元二次函数 掌握等差数列前n项和的最值问题学习重点了解等差数

12、列前n项和是关于n的一个一元二次函数 掌握等差数列前n项和的最值问题学习难点 等差数列前n项和的最值问题学习过程 探究 等差数列当首项为 ，公差为d 满足什么条件时，有最大值或最小值，并探讨研究的最值的求法典例研究 1 已知等差数列5 ， ， ， 的前n项和为 ，求使得最大的序号2 已知等差数列中， ， 求公差d 求数列的前n项和的最小值等差数列前n项和第四课时（等差数列前n项和的性质）学习目标 了解等差数列前n项和的简单性质学习重点 等差数列前n项和的性质的应用学习难点 等差数列前n项和的性质的理解学习过程 探究一为等差数列前n项和， ，是否成等差数列？探究二 数列是等差数列为等差数列探究三

13、在等差数列中，若， 表示偶数项之和 若项数为偶数2n时，则 -=nd 若项数为偶数2n+1时，-= , 探究四若等差数列 的前n项和为， ,则典例研究1 在等差数列中，2在等差数列中， 3 已知两个等差数列，它们的前n项和为， 若 ，则= 若 ，则= 4 一个等差数列共有10项， 则 等比数列一 学习目标1 了解等比数列的定义，及其通项公式2 利用通项公式解决一些简单的计算问题，及一些实际应用问题。3 掌握等比中项二 学习重点1 理解等比数列的定义及其通项公式且能利用公式解决问题2 利用等比中项进行技巧性计算三 学习难点 等比数列的定义的理解及等比数列的通项公式的推导四 学习过程 探究一 阅读

14、，并观察以下数列有什么共同特点？1 ,2 , 4 , 8 ,1 , , , 1 , 20， , , , , , , 等比数列的定义 思考（1）公比 可以为0 吗？ （2）在等比数列中可以有某些项或某一项为零吗？探究二 若三个数 成等比数列，这三个数有着什么样的的关系？探究三 等比数列通项公式的推导等比数列的通项公式 典例研究1 在等比数列中， （1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）2 阅读的例2，了解等比数列的实际应用并完成学习心得等比数列 第二课时 学习目标 了解判断等比数列的方法，并能证明简单的等比数列学习重点 证明一个数列为等比数列学习过程阅读并探究发现证明等比数列的方法典例

15、研究1 已知数列是首项为2 ，公差为-1的等差数列，令，求证数列且等比数列，并求其通项公式2已知数列的前n项和3已知数列满足（1） 证明： 是等比数列（2） 求数列的通项公式4 已知 的前n项和 （1）求 （2）求证：数列是等比数列5 已知数列中， （1）判断数列是否为等比数列？并说明为什么？（2）求学习心得等比数列 第三课时（等比数列的性质）学习目标（1） 了解等比数列的性质（2） 应用性质解决简单的问题学习重点 等比数列性质的应用学习过程 探究一 在直角坐标系中，画出通项为的数列和函数的图像以及 ，和的图像，观察图像，你能发现什么？探究二 已知是项数相同的等比数列，仿照表格中的例子填写表格

16、，你能得出什么结论？判断数列 是否为等比数列例自选1自选2考虑：， ，是否也为等比数列探究三 是等比数列，公比为q ,在数列中取出若干项，若项的序号成等差数列，那么这些项是否成等比数列？探究四（1） 在等比数列中，若（2） 在等比数列中，若 ，则 有什么关系？（3） ，证明这个结论探究五 在等比数列中， ，是否为等比数列？典例研究1 在等比数列中 （1） （2） （3）（4） （5） （6） （7） 2 已知三个数成等比数列，它们的积为27 ，它们的平方和为91 ，求这三个数？等比数列前n项和学习目标(1) 学会等比数列前n项和公式及其推导(2) 会用前n项和公式解决简单问题学习重点 会用公式

17、解决简单的计算问题学习难点 前n项和的公式推导的理解学习过程 探究一 阅读 , 了解等比数列前n项和的推导，并试着推导等比数列前n项和公式等比数列等比数列前n项和公式例题研究 1 求下列等比数列的前8项和 （1） （2）2 ， 2 ， 2 ， (3) 2在等比数列中 (1) (2) 课堂检测 在等比数列中，（1）（2）(3) 课后训练在等比数列中，（1）（2）（3）（4）等比数列前n项和的性质学习目标 等比数列前n项和的性质及其应用学习重点 性质的应用学习过程 探究一 在等比数列中，前n项和为 ，是否成等比数列？探究二 若等比数列项数为2n ,则 典例研究（1） 在等比数列中，（2）设等比数列

18、前n项和为 ，若 （3）等比数列中共有2n项，其和为-240，且奇数项之和比偶数项之和大80，求公比q数列求和学习目标 1 学习几种求和的方法 2 利用所知道的求和方法求各种数列的和学习重点 会求数列的和学习过程 分组求和 若一个数列的每一项是由几个独立的数列的项组合而成，并且各独立的项也可以组成等差，等比数列，则该数列前n项和可考虑拆项后利用公式求和 典例1 已知数列 试求数列 的前n项和 裂项相消法对于裂项后明显有相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法” 分式的求和多利用此法，可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消的规律，即消去哪些项。保留哪些项。 常见的拆项公式有（自己总结）典例2 已知数列 满足 ，的前n项和为 ，（1） 求（2） 令 ，求数列的前n项和错位相减法 若数列为等差