共点线的证明方法与塞瓦定理_第1页
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文档简介

1、共点线的证明方法与塞瓦定理所谓共点线就是指这些直线通过同一点要证明三线共点，常常采用以下方法思考1证直线a、b、c共点，可先确定a、b交于一点P，然后在直线c上取两点Q、R，证明P、Q、R共线这样就把共点线问题转化为共线点问题来解决了2证直线a、b、c共点，可先证a、b交于某点P，然后将P与c上一点Q连结，证明PQ与c重合3证明若干条直线共点，可证它们都通过某一特殊点4应用已知共点线定理等等例14 已知：O1、O2、O3两两外切，A、B、C分别为切点，AX、BY、CZ分别为公切线(图144)求征：AX、BY、CZ共点证明由于O1、O2、O3不共线，AX、BY、CZ必两两相交设AX、BY交于I，

2、连结CI如果CI不垂直O1O3，不妨设ICO1ICO3则ICO190ICO3ICO1IAO1，IBO3ICO3但O1AC=O1CA，O3BC=O3CB，ICAIAC，IBCICB，IAIC，ICIB 但IA=IB， 这样，与矛盾因此，IC不能不垂直于O1O3由于CZO1O3，IC与CZ重合AX、BY、CZ三线共点例15 设在ABC中，以BC为直径的圆交AB、AC于F、E，求证：圆在E、F的切线与高线AD共点证明设H是ABC的重心，M为一条切线EM与ABC的高AD的交点，BHE、CHF分别为另外两条高线(图145)则有MEH=MEB=ACB又H、D、C、E四点共圆，ACB=MHE因此，RtAEH

3、中，MEH=MHEMAE=MEAMH=ME=MA即M为AH的中点同理，过F的圆的切线也过AH的中点M例16 塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别是ABC三边BC、CA、AB(或其延长线)上的点，则AX、BY、CZ三线共点或互相平行的充要条件为证明 (1)必要性设AX、BY、CZ交于一点O(图146)因为直线BOY截AXC，直线COZ截ABX，所以根据梅内劳斯定理，有以上两式相乘，得：如果AX、BY、CZ互相平行(图147)，这时显然有(2)充分性如果X、Y、Z分别为ABC三边BC、AC、AB(或其延长线)上的点，且那么若BY、CZ交于一点O，连AO并延长交BC边于X点(图146)，根据(1)则有即X、X同时内分或外分BC，且比值相等因此，X与X必重合所以AX、BYCZ三线共点假如BYCZ，则过A作AXBY，交BC于X点(图1-47)那么和已知条件相比较，有因此，X必与X重合AXBYCZ例17 设AD、BE、CF为ABC的三条高线，求证：AD、BE、CF三线共点(图148)证明ADBC于D，BEAC于E，CFAB于FBADBCF同理，CBECAD，、式相

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