2020届辽宁省朝阳市高三上学期高中联合考试数学(理)试题

1、绝密启用前2020届辽宁省朝阳市高三上学期高中联合考试数学（理)试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1设集合，集合，则（ ）ABCD2函数的零点为（ ）ABCD3若复数的虚部为-1，则z可能为（ ）ABCD4某地有两个国家AAAA级景区甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的客流量，下列结论正确的是（ ）

2、A甲景区客流量的中位数为13000B乙景区客流量的中位数为13000C甲景区客流量的平均值比乙景区客流量的平均值小D甲景区客流量的极差比乙景区客流量的极差大5已知是正项等比数列，则（ ）AB2CD46设，表示两个不同平面，表示一条直线，下列命题正确的是（ ）A若，则.B若，则.C若，则.D若，则.7已知，若，且，则（ ）A6B7C9D128已知函数，则的图象的对称中心为（ ）ABCD9若x，y满足约束条件且的最大值为，则a的取值范围是（ ）ABCD10过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB，且，若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为（ ）ABC2D11函数在上单调递增，

3、且为奇函数.当时，且，则满足的的取值范围是（ ）ABCD12在三棱锥中，在底面内的射影位于直线上，且. 设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）ABCD第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13若抛物线上的点P到焦点的距离为8，则P到x轴的距离是_.14函数的图像在点处的切线垂直于直线，则_.15某中学音乐社共有9人，其中高一的同学有4人，高二的同学有3人，高三的同学有2人.他们排成一排合影，则同年级的同学都排在一起的概率为_.16对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在梦溪笔谈中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和

4、的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的通项公式_，数列的前项和_.评卷人得分三、解答题17如图.四棱柱的底面是直角梯形，四边形和均为正方形.（1）证明；平面平面ABCD；（2）求二面角的余弦值.18中，角所对的边分别为，已知（1）求；（2）若，求的面积.19某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该

5、省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.（i）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；（ii）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p的取值范围.可能用到的参考数据：取，.20已知圆的圆心为，直线l过点且与x轴不重合，l交圆于C，D两点，过作的平行线，交于点E.设点E的轨迹为.（1）求的方程；（2）直线与相切于点M，与两坐标轴的交点为A与B，直线经过点M且与垂直，与的另一个交点为N，当取得最小值时，求的面

6、积.21已知函数（1）设函数，讨论的单调性；（2）当时，若存在，使，证明：22在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知点的极坐标为，与曲线交于两点，求23已知函数（1）求不等式的解集；（2）设表示不大于的最大整数，若对恒成立，求的取值范围.参考答案1B【解析】【分析】先求出,再求得解.【详解】因为，.所以.故选：B【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2B【解析】【分析】由函数零点与方程的根的关系，解方程3x80，即可得解【详解】由，得

7、，即.故选：B【点睛】本题考查了函数零点与方程的根的关系，考查指对互化及对数运算，属简单题3C【解析】【分析】设，利用复数代数形式的乘除运算化简得值可得答案【详解】依题意可设，则.当时，；当时，故选：C.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题4D【解析】【分析】对A，中位数为12950；对B，中位数为12450；对C，通过茎叶图直观感知甲数据的平均数大；对D，分别计算极差进行比较.【详解】对A，甲景区客流量的中位数为12950，故A错误；对B，乙景区客流量的中位数为12450，故B错误；对C，根据茎叶图的数据，可知甲景区客流量的平均值比乙景区客流量的平均值大，

8、故C错误；对D，甲景区客流量的极差为3200，乙景区客流量的极差为3000，故D正确.故选D.【点睛】本题利用茎叶图呈现数据，考查数据处理能力，考查样本的数据特征，属于容易题.5C【解析】【分析】根据等比数列的下标和性质解得.【详解】解：由，得，由是正项等比数列,得.故选：【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题.6C【解析】【分析】由或判断；由，或相交判断；根据线面平行与面面平行的定义判断 ；由或相交，判断.【详解】若，则或，不正确；若，则，或相交，不正确；若，可得没有公共点，即，正确；若，则或相交，不正确,故选C.【点睛】本题主要考查空间平行关系的性质与判断，属于基础题. 空间直线、平面

9、平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7B【解析】【分析】根据平面向量的坐标表示公式，求出相应向量的坐标，然后根据平面向量共线、垂直的坐标表示公式得到方程组，解方程组即可.【详解】因为，又，且，所以，解得. 故选：B【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示公式，考查了平面向量共线、垂直的坐标表示公式，考查了数学运算能力.8D【解析】【分析】化简得到，取，计算得到答案.【详解】令，得则的图象的对称中心为.故选：【点睛】本题考查了

10、三角恒等变换，三角函数对称中心，化简得到是解题的关键.9A【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为的最大值为，所以在点处取得最大值，则，即.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键10C【解析】【分析】由得F是弦AB的中点.进而得AB垂直于x轴，得，再结合关系求解即可【详解】因为，所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以，即，则，故.故选：C【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题

11、11A【解析】【分析】计算，判断函数在上单调递增，将不等式变换为，计算得到答案.【详解】，所以，则.，所以.在上单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增.所以.故选：【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用.12A【解析】【分析】先求出外接圆的半径，利用勾股定理求出，再利用线面的垂直的性质，结合球的性质可以求出的值，而后利用勾股定理求出外接球的半径，最后利用球的表面积公式进行求解即可.【详解】因为，所以外接圆的圆心在上，设此圆的半径为，因为，所以，解得. 因为，所以，设，易知平面，则. 因为，所以，即，解得. 所以球的半径，表面积. 故选：A【点睛】

12、本题考查了三棱锥外接球的问题，考查了球的表面积公式，考查了空间想象能力和数学运算能力.136【解析】【分析】由抛物线的焦半径公式得则的坐标，则到x轴的距离可求【详解】设点，则，即，即P到x轴的距离是6.故答案为：6【点睛】本题考查抛物线的标准方程，着重考查抛物线定义的应用，是基础题14【解析】【分析】先求出，再解方程即得解.【详解】因为.所以.因为.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15【解析】【分析】用捆绑法分析，视三个班为三个元素，再分析高一、高二、高三三个元素的之间的排法数目，进而由分步计数原理计算可得答案【详解】由捆绑法可得

13、所求概率.故答案为：【点睛】本题考查排列、组合的运用及古典概型，涉及分步计数原理的应用，本题实际是相邻问题，可用捆绑法分析求解16 【解析】【分析】由题意可得，利用累加法可求数列的通项公式，求出数列的通项公式，利用裂项相消法求其前项和.【详解】解：由题意可知，累加可得，.故答案为：；.【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求和，属于中档题.17(1)证明见解析；(2) 【解析】【分析】（1）证明平面ABCD，再利用面面垂直判定定理证明（2）由（1）知，AB，AD两两互相垂直，故以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建系，求出两个半平面的法向量，再利用二面角的向量

14、公式求解即可【详解】（1）证明：因为四边形和均为正方形，所以，. 又，所以平面ABCD. 因为平面，所以平面平面ABCD. （2）（法）由（1）知，AB，AD两两互相垂直，故以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，. 设为平面的法向量，则令，则，所以.又因为平面ABCD，所以为平面ABCD的一个法向量.所以. 因为二面角是锐角.所以二面角的余弦值为. （法二）过B作于H，连接. 由（1）知平面ABCD，则，而，所以平面 所以从而为二面角的平面角.由等面积法，可得，即.所以， 故.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时

15、要注意向量法的合理运用18【解析】【分析】（1）由题得，解三角方程即得解；（2）先求出，再求的面积.【详解】（1）因为所以，因为所以所以，因为，所以.（2）由题得所以，所以的面积为.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角恒等变换，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19(1)60%；(2) （i）0.12 （ii） 【解析】【分析】（1）利用上线人数除以总人数求解；（2）（i）利用二项分布求解；（ii）甲、乙两市上线人数分别记为X，Y，得，.，利用期望公式列不等式求解【详解】（1）估计本科上线率为.（2）（i）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A，由图可知，甲市每个

16、考生本科上线的概率为0.6，则. （ii）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X，Y，依题意，可得，. 因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，所以，即， 解得，又，故p的取值范围为.【点睛】本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.20(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据三角形相似得到，得到AE+DE4，再利用椭圆定义求解即可（2）设的方程为，与椭圆联立，由直线与相切得，由在x轴、y轴上的截距分别为，m，得表达式，结合基本不等式求得坐标及，进而得，则面积可求【详解】（1）因为，所以.又，所以，则，所以，从而.化为，所以，

17、从而E的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆（剔除左、右顶点）.所以的方程为.（2）易知的斜率存在，所以可设的方程为，联立消去y，得. 因为直线l与相切,所以，即.在x轴、y轴上的截距分别为，m，则 ，当且仅当，即时取等号. 所以当时，取得最小值，此时，根据对称性.不妨取，此时，即，从而.联立消去y，得，则，解得，所以，故的面积为.【点睛】本题考查了椭圆定义求轨迹方程，考查直线和椭圆的关系，考查基本不等式求最值，确定取得最值时直线方程是关键，属于压轴题21（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导后，分和两种情况，考虑函数的单调性；（2）不妨设，由，得，所以构造函数

18、，利用函数的单调性，可得，接着再转化一下，可证.【详解】（1）解：的定义域为，当时，恒成立，所以在上单调递减当时，令，得，则单调递减；令，得，则单调递增综上，当时，在单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）证明：不妨设，由，得，所以设，则，故在上单调递增因为，所以，所以，即，故，所以，于是，则【点睛】本题主要考查利用导数求含参函数的单调区间以及利用导数证明不等式.22（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用消参数将参数方程化成普通方程，再利用公式化成极坐标方程；（2）将点的极坐标化为直角坐标，得点为直线参数方程所过的定点，再利用参数的几何意义进行求解.【详解】解：（1）曲线C的直角坐标方程为，即，因为所以，即，故曲线C的极坐标方程为.（2）将代入，得.设A、B两点对应的参数分别为，则，.因为点P的极坐标为，所以点P的直角坐标为，所以.【点睛】本题考查曲线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、直线参数