“PA-kPB”最值探究(胡不归-阿氏圆)

1、“PA+kPB”型的最值问题-孙洋清【问题背景】 “PA+kPB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当 k 值为 1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型 来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当 k 取任意不为 1 的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无 法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点 P 所在图像的不同来分类，一般分为 2 类研究。 即点 P 在直线上运动和点 P 在圆上运动。其中点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题； 点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。本文将分别从这两类入手与大家共同探究

2、线段最值问题的解决方案。【知识储备】 线段最值问题常用原理：三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；两点间线段最短；连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（一）点 P 在直线上运动“胡不归”问题如图 1-1-1 所示，已知 sinMBN=k,点 P 为角MBN 其中一边 BM 上的一个动 点，点 A 在射线 BM、BN 的同侧，连接 AP,则当“PA+kPB”的值最小时，P 点的 位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“kPB”的大小，过点 P 作 PQBN 垂足为 Q，则 kPB=PBsinMBN=PQ,本题求“PA+kPB”的最小值转化为求“PA+PQ”

3、的最小值(如图 1-1-2)， 即 A、P、Q 三点共线时最小（如图 1-1-3），本题得解。图 1-1-1图 1-1-2图 1-1-3动态展示：见 GIF 格式！思考：当 k 值大于 1 时，“PA+kPB”线段求和问题该如何转化呢？ 提取系数 k 即可哦！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危 的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原 理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 AB（如图所示），而忽视了走折线虽 然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小 伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断

4、念叨着“胡不归？ 胡不归？何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到 家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问 题”。（二）点 P 在圆上运动“阿氏圆”问题如图所示 2-1-1，O 的半径为 r,点 A、B 都在O 外，P 为O 上的动点， 已知 r=kOB.连接 PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P 点的位置如何确定？BPAOPCOPCOAABB图 2-1-1图 2-1-2图 2-1-3分析：本题的关键在于如何确定“kPB”的大小，（如图 2-1-2）在线段 OB 上截取 OC 使 OC=kr,则可说明BPO 与PCO 相似，即 kP

5、B=PC。本题求“PA+kPB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如图 2-1-3），本题得解。动态展示：见 GIF 格式！【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B，则所有满足 PA=kPB（k1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼 斯发现，故称“阿氏圆”。“阿氏圆”一般解题步骤：第一步：连接动点至圆心 O（将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心 相连接），则连接 OP、OB；第二步：计算出所连接的这两条线段 OP、OB 长度；第三步：计算这两条线段长度的比 OP = k ；OB第四步：在 OB 上取点 C，

6、使得 OC = OP ；OPOB第五步：连接 AC，与圆 O 交点即为点 P【模型类比】 “胡不归”构造某角正弦值等于小于 1 系数 起点构造所需角（k=sinCAE）-过终点作所构角边的垂线- 利用垂线段最短解决问题 “阿氏圆”构造共边共角型相似AC构造PABCAP 推出 PA2 = AB即：半径的平方=原有线段 构造线段【典型例题】1(胡不归问题)如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=4，且ABC=60，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点,则 AM+ 1 BM 的最小值为.2AD分析：如何将 1 BM 转化为其他线段呢？2即本题 k 值为 1 ，必须转化为某一角的正弦值啊，2M即

7、转化为 30角的正弦值。思考到这里，不难发现，只要作 MN 垂直于 BC， BC则 MN= 1 BM，即 AM+ 1 BM 最小转化为 AM+MN 最小，本题得解。22ADM详解：如图，作 AN于 BC 垂足为 N,四边形 ABCD 是菱形且ABC=60，DBC=30，即 sinDBC= 1 = MN ，2BM 1 BM=MN，2BNCAM+ 1 BM=AM+MN，即 AM+ 1 BM 的最小值为 AN.22在 RTABN 中，AN=ABsinABC= 6 AM+ 1 BM 的最小值为 3 3 .23 = 3 3 .2变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？ (2) 本题如

8、要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？答案：（1） 6 3 （2） 6 3本题也可用“费马点”模型解决哦！-详见：本公众号前文！2(阿氏圆问题) 如图，点 A、B 在O 上，且 OA=OB=6，且 OAOB，点 C 是 OA 的中点，点 D 在 OB 上，且 OD=4，动点 P 在O 上，则 2PC+ PD 的最小值为 分析：如何将 2PC 转化为其他线段呢？不难发现本题出现了中点，即 2 倍关系 就出现了。套用“阿氏圆”模型：构造共边共角相似半径的平方=原有线段 构造线段EAPCOD详解：连接 OP,在射线 OA 上截取 AE=6.即： OP2 = OC OEOPCOEP PE = 2P

9、C 2PC+ PD = PE + PD ,即 P、D、E 三点共线最小.在 RTOED 中， DE =BOD2 + OE216 +14410= 4即 2PC+ PD的最小值为 4 10 .变式思考：(1)本题如要求“ PC + 1 PD ”的最小值你会求吗？2(2) 本题如要求“ PC + 3 PD ”的最小值你会求吗？2ACPODBE答案：（1） 2 10 （2） 3 10【变式训练】(胡不归问题) 1.如图，等腰ABC 中，AB=AC=3，BC=2，BC 边上的高为 AO，点 D 为射线 AO 上一点，一动点 P 从点 A 出发，沿 AD-DC 运动，动点 P 在 AD 上运动速度 3 个

10、单位每秒，动点 P 在 CD 上运动的速度为 1 个单位每秒，则当 AD= 时， 运动时间最短为 秒.答案： 7 2 ， 4 2432.如图，在菱形 ABCD 中，AB=6， 且ABC=150，点 P 是对角线 AC 上的一个动点， 则 PA+PB+PD 的最小值为 .答案： 6 2本题也可用“费马点”模型解决哦！【中考真题】(胡不归问题)1.（2016徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过3点 A（-1，0），B（0，-）、C（2，0），其中对称轴与 x 轴交于点 D。若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则 1 PB + PD 的最小值为。22.（

11、2014.成都）如图，已知抛物线 y = 8 3 (x + 2)(x - 4) 与 x 轴从左至右依次交于点9A、B，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y = -D（-5， 3 3 ）。3 x + 4 3 与抛物线的另一个交点为33设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标为 时，点 M 在整个运动过程中用时最少？答案： 3 3 ， (-2, 2 3)4课外提升：2015 日照、2015 内江、2016 随州多个城市均在压

12、轴题考察了“胡不 归”问题。要好好专研哦！(胡不归问题变式)【变式训练】(阿氏圆问题)1.（1）【问题提出】：如图 1，在 RtABC 中，ACB90，CB4，CA6，C 半径为 2，P 为圆上一动点，连结 AP，BP，求 AP 1 BP 的最小值2尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2，连接 CP，在CB 上取点 D，使 CD1，则有 CD = CP = 1 ，又PCDBCP,PCDBCP,CPCB2 PD = 1 ,PD 1 BP,AP 1 BPAPPDBP222请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP 1 BP 的最小值为2（2）.【自主探索】：在“问题提出”的条件不

13、变的情况下， 1 APBP 的最小3值为 （3）.【拓展延伸】：已知扇形 COD 中，COD90，OC6，OA3，OB5，点 P 是 CD 上一点 ，则 2PAPB 的最小值为 答案： 37 ， 2 37 ，13.32.如图，在直角坐标系中，以原点 O 为圆心作半径为 4 的圆交 X 轴正半轴于点 A，点 M 坐标为（6,3），点 N 坐标为（8,0），点 P 在圆上运动，求 PM + 1 PN 的最小值为_23.如图，半圆的半径为 1，AB 为直径，AC、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为 上 一动点，求 PC+PD 的最小值为 答案：5， 3 2 .2【中考真题】(阿氏圆问题)（20

14、17甘肃兰州）如图，抛物线 yx2bx c 与直线 AB 交于 A4, 4， B 0, 4两点，直线 AC : y1 x 6 交 y 轴与点 C ，点 E2是直线 AB 上的动点，过点 E 作 EFx 轴交 AC于点 F ，交抛物线于点 G .(1)求抛物线 yx2bx c 的表达式；(2)连接 GB ，EO ，当四边形 GEOB 是平行四边 形时，求点 G 的坐标；(3)在 y 轴上存在一点 H ，连接 EH ， HF ，当点 E 运动到什么位置时，以 A, E, F, H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点 E, H 的坐标；在的前提下，以点 E 为圆心， EH 长为半径作圆，点 M 为E 上一动点，求1 AMCM 的最小值.2答案：(1) y=x22x+4；(2) G（2，4）；(3)E（2，0）H（0，1）； 5 5 2写在最后： “胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+kPB”（k1 的常数）型的最值问题。两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将 kPB 这条线段的长度转化为某条具体线段 PC 的长度，进而根据“垂线段最短 或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。不过两类问题的难点都在于如何对 k 值进