概率论与数理统计课件：ch4-1 数学期望

1、分布函数能完整地描述随机变量 的统计规律性, 但实际应用中并不都 需要知道分布函数，而只需知道随机 变量的某些特征.,判断棉花质量, 既看纤维的平均长度,平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好;,又要看纤维长度与平均长度的偏离程度.,例如：,引 言,考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小.,由上面例子看到，与随机变量有关 的某些数值，虽不能完整地描述随机变 量, 但能清晰地描述其在某些方面的重 要特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义.,随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写,3.1 数学期望 3.2 方差 3.3

2、 协方差与相关系数 3.4 大数定理与中心极限定理,教学内容,Chapter 4 Numerical Characteristics of Random Variable,第四章 随机变量的数字特征,Content,1.掌握常用分布的数学期望 2.会求随机变量函数的数学期望,教学要求,3.1 数学期望,主要内容,Contents,Requests,一、离散型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望三、随机变量的函数的数学期望 四、数学期望的性质,Mathematical Expectation,Chapter 3 Numerical Characteristics of Random V

3、ariable,第三章 随机变量的数字特征,一.离散型随机变量的数学期望,The Mathematical Expectation of Discrete Random Variable,甲,次数,10,80,10,8,9,10,乙,次数,20,65,15,8,9,10,确定甲、乙哪个的射击水平好。,例1,成绩如下：,甲、乙两人射击训练，各射击100次，,平均成绩,解,甲的平均成绩,乙的平均成绩,甲的射击水平高于乙,注,数学期望(均值)= + + + ,甲,次数,10,80,10,8,9,10,乙,次数,20,65,15,8,9,10,设离散型随机变量 X 的分布律为,若级数 绝对收敛，,则称

4、 的值为随机变量X 的数学期望(均值)，,定义1,即,记作,Mathematical Expectation (Mean),收敛,1)数学期望描述随机变量取值的平均特征,注,2)不是每个随机变量都有数学期望,数 学 期 望,随机变量X的数学期望是一个数, 不再是随机 变量.,数学期望是一种加权平均, 以所取值的概率作 权重的加权平均.,概率名人堂,追溯数学期望的历史:,分赌本问题,C. Huygens (16291695 ),提出数学期望,Pierre de Fermat (16011665 ),费马,惠更斯,帕斯卡,Blaise Pascal (16231662 ),(通信),经典历史名题:

5、 分赌本问题,甲、乙两人赌博，各出注金a元。每局个人获胜的概率都是50%，约定：谁先胜6局就赢得全部注金 2a元，现进行到甲胜4局乙胜2局时赌博因故停止，无法继续下去。,问此时注金2a应如何分配给甲乙，才算公平？,(1494年, 帕西奥利),1:1分显然不合理!,2:1分是否公平?,本质:什么是公平?,要结果公平? 还是要机会公平?,公平的比例?,“公平”分为两种：结果公平与机会公平。 如果按照结果公平的原则来分配，则每个人各自取回自己的赌本，即各得一半。但很显然，那个已经赢了较多局数的人肯定不会认为自己受到了公平的待遇，因为他认为自己获胜的机会要更大一些。 其实，要让那个赢的局数多一点的人多

6、得一点注金的想法，大多数的数学家都已经考虑到了，所不同的只是具体以什么比例来分配的问题。 精确的阐述还需要用到数学期望的概念，但我们可以这样来理解这个问题，其出发点就是，谁成功的机会大，谁应分得的份额就大。 设甲最终获胜的概率为p，乙最终获胜的概率为q，则显然有p+q=1。所谓“机会公平”的含义是指，每个人应该按照其最终获胜的概率来分配注金，即甲应该得2ap，乙得2aq。,乙只有在下面两种情形下才有可能获胜： 1）连胜四局，其概率为1/16。 2）在接下来的四局中至少要赢3局，并且第五局一定要赢，这样运用伯努利概型算下来，应该等于4/32或1/8。 最后由概率的可加性，得乙最终获胜的概率为3/

7、16。于是甲获胜的概率为13/16。 于是，最后甲应该分得注金2(13/16)a = 1.625a，乙应该分得0.375a。 如果你算对了， 那祝贺你一下子就超越了那么多古代的数学家。,解法一:,常用离散型随机变量数学期望,1.两点分布,随机变量 ，其分布律为：,The Common Mathematical Expectation of Discrete Random Variables,Two-point Distribution,则X的数学期望为,例2,某种产品每件表面上的疵点数服从参数,的泊松分布,若规定疵点数不超过 1 个为一等品,值 10 元;,疵点数大于 1 个不多于 4 个为二

8、等品,价值 8 元;,疵点数超过 4 个为废品,求:,(1) 产品的废品率;,(2) 产品价值的平均值.,解,由题意知,价,价,因为,所以产品的废品率为,例2,求:,(1) 产品的废品率;,(2) 产品价值的平均值.,解,所以产品价值的平均值为,连续型随机变量的数学期望,其密度函数为,数轴上取很密的分点,的概率,此时，,在,服从上述分布,二.连续型随机变量的数学期望,如果积分 绝对收敛，,记为,设X为连续型随机变量，概率密度为,为连续型随机变量X的数学期望或均值.,定义2,即,则称积分值,The Mathematical Expectation of Continuous Random Var

9、iable,Mathematical Expectation (Mean),例3,求,解,故,例4,某商店对某种家用电器的销售采用先使用后,付款的方式,规定:,概率密度为,一台付款 1500 元;,一台付款 2000 元;,一台付款 2500 元;,一台付款 3000 元.,解,即有,得,随机变量函数的数学期望,为一实函数，,则,也是一随机变量，,理论上，,再按定义按义求出 的数学期,望,函数的数学期望的定理.,下面将不加证明的直接引入计算随机变量的,三. 随机变量的函数的数学期望,设X是随机变量,是X的函数,(1)若X是离散型随机变量，其分布律为：,当 收敛时,Mathematical Ex

10、pectation of the Function of Random Variable,定理 1,随机变量 的数学期望为：,若积分 绝对收敛，,的数学期望为：,(2)若X是连续型随机变量，概率密度是,随机变量,定理 1,设 是二维随机变量，,(1) 设 的联合分布律为:,则Z的数学期望为,定理 2,是关于X和Y的函数,若级数,收敛.,特别,2)二维随机变量 的联合概率密度为,若,则Z 的数学期望为,特别,收敛,例5,求,解,分布.,解,分布.,则有,例6,及,解,根据随机变量函数数学期望的计算公式,有,求,例7,设国际市场上对我国某种出口商品的每年需,它服从区间,上的均匀分布,每销售出一吨商

11、品,可为国,家赚取外汇 3 万元;,若销售不出,则每吨商品需贮,存费 1 万元,问应组织多少货源,才能使国家收益,最大?,解,显然应要求,达式为,表,(3X+X-t),则,此组织 3500 吨商品为好.,易得,因,四、数学期望的性质,性质1 若C是常数，则E(C)=C,性质4 设X、Y 相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y),性质2 若k是常数，则E (k X)=k E(X),性质3 E(X+Y) = E(X)+E(Y),Xi 相互独立,The Properties of Mathematical Expectation,推广,推广,性质3 E(X+Y) = E(X)+E(Y),证,是离散型

12、随机变量，分布律为,1)设,则由数学期望的定义，,2)若 为连续型随机变量，证明略,了解,其中 分别为 X 与Y 的边缘概率密度,了解,性质4 设X、Y 独立，则E(XY)=E(X)E(Y),证,设 为连续型随机变量，,联合概率密度为,由X、Y 独立可得,从而,解,由X、Y 独立, 有,补例,设随机变量X,Y的概率密度分别为,其他,其他,X与Y独立, 求E(XY).,例8,一民航送客车载有 20 位旅客自机场开出,旅客有 10 个车站可以下车.,如到达一个车站没,有旅客下车就不停车,求,(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立).,解,引入随机变量,易知,现在来求,按题意,下车的概率为,因此 20 位旅客都不在第,站下车的概率为,概率为,即,由此,进而,(次).,注:,计算期望后来求和